东莞市东华高级中学2024届高三上学期一模数学试卷(含答案)

这是一份东莞市东华高级中学2024届高三上学期一模数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，且，则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知复数满足，，若为纯虚数，则( )
A.0B.C.1D.2
3．在中，，，，则( )
A.B.16C.D.9
4．在斜中，若，则( )
A.1B.C.D.2
5．已知等差数列与等差数列的前n项和分别为与,且,则( )
A.B.C.D.
6．中国5G技术领先世界，其数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了( )．
A.20%B.23%C.28%D.50%
7．若直线与圆及圆共有3个公共点，则所有符合条件的a的和为( )
A.0B.C.D.
8．已知，则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为:15，16，18，20，20，22，24，25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是( )
A.平均数B.极差C.中位数D.众数
10．已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是( )
A.是图象的一条对称轴B.
C.是奇函数D.方程有3个实数解
11．如图,在棱长为2的正方体中,E为棱BC的中点,F为底面ABCD内的一动点（含边界）,则下列说法正确的是( )
A.过点,E,的平面截正方体所得的截面周长为
B. 存在点F,使得平面
C.若平面,则动点F的轨迹长度为
D.当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为
12．已知P为双曲线上一点，为其左右焦点，则( )
A.若，则的面积为
B.若，则的周长为
C.双曲线C上存在一点R，使得成等差数列
D.有最大值
三、填空题
13．设的小数部分为，则__________.
14．设为等差数列的前n项和，且，则_______．
15．已知椭圆与双曲线（，）具有相同的左、右焦点、，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为__________.
16．已知函数（），若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为________.
四、解答题
17．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①，其中S为的面积，②，③．
在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，_______________．
（1）求角A；
（2）若D为边的中点，，求的最大值．
18．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前1012项和．
19．如图，在直三柱中，，，，，E，F分别为，的中点．
（1）若，求x,y,z的值；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20．春节临近,为了吸引顾客,我市某大型商超策划了抽奖活动,计划如下:有A,B,C三个抽奖项目,它们之间相互不影响,每个项目每位顾客至多参加一次,项目A中奖的概率是,项目B和C中奖的概率都是.
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A,B,C三个项目,如果A,B,C三个项目全部中奖,顾客将获得100元奖券;如果仅有两个项目中奖,他将获得50元奖券;否则就没有奖券.求每位顾客获得奖券金额的期望;
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目.已知某顾客中奖了,求他参加的是A项目的概率.
21．已知双曲线(,)的右顶点为A,左焦点为F,过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直,垂足为N,且.
（1）求C的方程.
（2）过点的直线交C于,两点,直线AP,AQ分别交y轴于点G,H,试问在x轴上是否存在定点T,使得?若存在,求点T的坐标;若不存在,请说明理由.
22．设a，为函数（）的两个零点．
（1）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）证明：．
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得，所以由，得，解得且，所以实数t的取值范围是，故选D.
2．答案：A
解析：由，得，
因为纯虚数，则，解得.
故选：A
3．答案：D
解析：由题意得在中，，
故由，，，
得，，
即，
即，
故.
故选：D.
4．答案：D
解析：斜中，，
所以
.
故选：D
5．答案：D
解析：因为数列、都是等差数列,
所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题意，将信噪比从1000提升至5000，
则最大信息传递速率C从增加至，
所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：，圆心，半径
由，得，圆心，半径，
圆心距为，，故两圆相交，
直线与圆及圆共有3个公共点，
情形一，与圆在下方相切时，则，得，
情形二，与圆在上方相切时，则，得，
情形三，过两圆的交点时，
两圆相减得，代入圆得：，
则两交点分别为，代入直线，
得，或
则所有符合条件的a的和为.
故选：D
8．答案：D
解析：依题意，，，
令，，
当时，，即，函数在上单调递减，
，即，因此，
令，，当时，，当时，，
函数在上单调递减，，而，
函数在上单调递增，显然，
则方程有两个不等实根，，有，
，而，则有，
令，，，
即函数在上单调递减，当时，，即，
因此，即有，而，在上单调递增，
于是得，即，取，，于是得，
又，在上单调递增，从而，
所以，D正确.
故选：D
9．答案：ACD
解析：对于A，去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均分为，
去掉最高分和最低分之后，6个数据的平均分为，A正确；
对于B，去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10，去掉最高分和最低分之后，6个数据的极差为8，B错误；
对于C，去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的中位数为20，C正确；
对于D，去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20，去掉最高分和最低分之后，6个数据的众数为20，D正确.
故选：ACD
10．答案：ACD
解析：，其中，
的最小正周期为，则有，故，
函数在处取得最大值2，则，
解得，则，B选项错误；
函数在处取得最大值2，则是图象的一条对称轴，A选项正确；
将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，
再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，
，函数为奇函数，C选项正确；
在同一直角坐标系下作出函数和函数的图象，如图所示，
两个函数图象有3个交点，可知方程有3个实数解，D选项正确.
故选：ACD
11．答案：ACD
解析：A选项,如图,取AB的中点G,连接GE,,
因为E为BC的中点,所以,,
所以过点,E,的平面截正方体所得的截面为梯形,
其周长为,故A选项正确;
B选项,假设存在点F,使得平面,
则,得F只能在线段BD上,
再由,得F只能在线段CD上,即F与D重合,不符合题意,故B选项错误;
C选项,如图,取AD的中点M,CD的中点N,
连接,MN,,可得,,
又平面,平面,平面,平面,
所以平面,平面,
又,所以平面平面,
所以动点F的轨迹为线段MN,其长度为,故C选项正确;
D选项,由A,C选项可得,平面平面,
所以当F在点D时,F到平面的距离最大,此时为等边三角形,
因为平面,所以三棱锥的外接球球心一定在直线上,
以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,设,
由得,,解得,
所以,
所以三棱锥外接球的表面积为,故D选项正确．
故选：ACD．
12．答案：BD
解析：由题意得，，，不妨设且在双曲线的右支，如图.
对A、B：由双曲线定义可得，设，在中由余弦定理得：，
当时，可得，解得，故A错误；
当时，，解得，
所以的周长为，故B正确；
对于C：假设存在点R，不妨设在双曲线的右支，则，所以公差，且，
当,R,三点不共线时，设则，即，
又因为，所以，
又因为,R,三点不共线，所以，故此种情况不符合；
当,R,三点共线时，则，故此种情况不符合；
综上所述，则假设不成立，故不存在点R，故C错误.
对D：，
令，则，因为，所以，
所以，所以的最大值为，故D正确.
故选：BD.
13．答案：7
解析：因为，所以的整数部分为3，
则，即，
所以
，
故.
故答案为：7
14．答案：
解析：由可得，
所以.
故答案为：
15．答案：；
解析：由题设，又，
直线与y轴的交点的坐标为，则，
中，
综上，，整理得，可得或（舍），
由，则，
由椭圆性质知：当Q为短轴顶点时取到最大，此时，
由，则，即，故.
故答案为：
16．答案：
解析：不等式对恒成立，
等价于，即，
所以，
设，其中，
则，令得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，又，，
所以存在使得，
所以若，则或，即或，
，，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①，由余弦定理得：，
又，所以，
得，
因为，所以．
选②，因为，由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理得：，
因为，所以．
选③，因为，由正弦定理得：，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，即．
（2）在中，设，
由正弦定理得，
所以，，
∴，其中，
当时取等号，所以的最大值是．
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d，
又，则，，
因为成等比数列，所以，
即，
得，
又因为是公差不为零的等差数列，所以，
即.
（2）由（1）知
，
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由向量的线性运算法则，可得，
又由，所以．
（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
所以，，．
设平面法向量为，则，
取，可得，，所以，
设与平面所成的角为，可得．
20．答案：（1）16
（2）
解析:（1）设一位顾客获得X元奖券,,50,0,
,
,
所以每位顾客获得奖券金额的期望是(元)
（2）设“该顾客中奖”为事件M,参加项目A,B,C分别记为事件,,,
则,
所以,
即已知葉顾客中奖了,则他参加的是A项目的概率是.
21．答案：（1）
（2）存在,
解析：（1）因为FN的斜率为1,且,
所以,即,因为,则,
所以,由,则,
所以双曲线C的方程为;
（2）设直线AP的方程为,AQ的方程为,
则,,设存在定点,使得,
则,所以.
当PQ不垂直于x轴时,设直线PQ的方程为,
联立方程组,消去y得,
,
所以,.
因为,
所以,
所以,即存在定点,使得;
当PQ垂直于x轴时,直线PQ的方程为,联立方程组,
解得,设,由,得,
所以存在定点,使得;
综上,在x轴上存在定点,使得.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为R，，
当时，，当时，，
故在内单调递减，在单调递增，
故要使有两个零点，则需，故，
由题目条件，可得，
当时，因为，又，
故在内存在唯一零点，
又，故在内存在唯一零点，
则在R上存在两个零点，故满足题意的实数m的取值范围为；
（2）证明：由（1）可设，由可得，
令，则，所以，故，
所以，
要证，
即证，
即证，
因，即证，即，
令，，，
令，则，当时，，
当时，，
故在内单调递减，在单调递增，所以，
所以，令得，
故，在定义域内单调递减，
故，即，，，
则，证毕.