2023-2024学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省日照市高三（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1,2,3,4}，B={x|x<3}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2}B. {−1,0,1}C. {0,1,2}D. {x|x<3}
2.已知锐角α满足sinα=45，则sin(α−π4)=( )
A. 7 210B. −7 210C. 210D. − 210
3.若无穷等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“∃k∈N*，ak>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.实数a，b，c满足3c−3b=1，a=c+lg5(x2−x+3)(x∈R)，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
5.在平行四边形ABCD中，AB=3 2,AD=2,AE=EB,∠BAD=π4，则AC⋅DE=( )
A. 2B. 2 2C. 2 3D. 4
6.设A，B为两个事件，已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(B|A−)=0.2，则P(B|A)=( )
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6
7.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=2sinωx(ω>0)图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为12，则ω的值为( )
A. 36B. 33C. 3D. 2
8.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为S1，S2，S3，则( )
A. S1二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若z∈R，则z=z−B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若z2+1=0，则z=iD. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则( )
A. f(x)=2cs(2x+π6)
B. 函数f(x)的图象关于x=7π12对称
C. 函数f(x)的图象关于 (−π3,0)对称
D. 函数f(x)在[π2,5π6]上单调递增
11.数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p)，那么当n比较大时，X近似服从正态分布N(μ,σ2)，其密度函数为φμ,σ(x)=1 2πσe−(x−μ)22σ2，x∈R.任意正态分布X～N(μ,σ2)，可通过变换Z=X−μσ转化为标准正态分布Z−N(0,1).当Z～N(0,1)时，对任意实数x，记Φ(x)=P(ZA. Φ(x)+Φ(−x)=12
B. 当x>0时，P(−x≤ZC. 随机变量X～N(μ,σ2)，当μ减小，σ增大时，概率P(|X−μ|<σ)保持不变
D. 随机变量X～N(μ,σ2)，当μ，σ都增大时，概率P(|X−μ|<σ)增大
12.在平面四边形ABCD中，点D为动点，△ABD的面积是△BCD面积的3倍，又数列{an}满足a1=3，恒有BD=(an−3n−1)BA+(an+1+3n)BC，设{an}的前n项和为Sn，则( )
A. {an}为等比数列B. a4=−81
C. {an3n}为等差数列D. Sn=(3−n)3n−3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(x−2)5的展开式中x3的系数是______．
14.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则离心率等于 ．
15.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为______．
16.已知函数f(x)=x+sinx的图象上存在三个不同的点A，B，C，使得曲线y=f(x)在A，B，C三点处的切线重合，则此切线的方程为______.(写出符合要求的一条切线即可)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记△ABC的三个内角分别为A，B，C.其对边分别为a，b，c，若a2−b2+c2=2，△ABC的面积为 24．
(1)求tanB；
(2)若b=1，求sinAsinC．
18.(本小题12分)
已知n2(n≥4)个正数排成n行n列，aij表示第i行第j列的数，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为q.已知a24=1，a42=18，a43=316．
(1)求公比q；
(2)记第n行的数所成的等差数列的公差为dn，把d1，d2，…，dn所构成的数列记作数列{dn}，求数列{dn}的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数(单位：千人)，得到如下表格：
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程y​=b​x+a​；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p，2p−1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求p的取值范围．
参考公式．b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−⋅y−i=1nxi2−nx−2，a​=y−−b​x−．
20.(本小题12分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=AD= 2，BC=2AB.现将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，使平面PBD⊥平面ABCD.若平面PAD∩平面PBC=l1，平面PAB∩平面PCD=l2，直线l1与l2确定的平面为平面α．
(1)证明：l1/​/BC；
(2)求平面α与平面PAD所成角的余弦值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x−ax−1，g(x)=(a−2)ex．
(1)若a<0，讨论F(x)=f(x)+g(x)的单调性；
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，求证：a>x0+2．
22.(本小题12分)
已知椭圆T：y22+x2=1，其上焦点F与抛物线K的焦点重合.若过点F的直线l交椭圆T于点A，B，同时交抛物线K于点C，D(如图1所示，点A，C在椭圆与抛物线第一象限交点下方)．
(1)求抛物线K的标准方程，并证明|AC|<|BD|；
(2)过点F与直线l垂直的直线EG交抛物线K于点E，G(如图2所示)，试求四边形AEBG面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵集合A={−1,0,1,2,3,4}，B={x|x<3}，
∴A∩B={−1,0,1,2}，
故选：A．
直接利用集合的交集的定义求解．
本题主要考查了集合间的关系与运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为锐角α满足sinα=45，
所以csα=35，
则sin(α−π4)= 22(sinα−csα)= 22×(45−35)= 210．
故选：C．
由已知结合同角基本关系先求出csα，然后结合两角差的正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：等差数列的通项公式an=a1+(n−1)d，
当d>0时，∃k∈N*，ak=a1+(k−1)d>0为真命题，
即由“d>0”可以推出“∃k∈N*，ak>0”，
若an=−2n+3，则a1=1>0，但是d<0，
所以由“∃k∈N*，ak>0”推不出“d>0”，
所以“d>0”是“∃k∈N*，ak>0”的充分不必要条件．
故选：A．
利用等差数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由3c−3b=1，得3c−3b>0，即3c>3b，所以c>b；
由a=c+lg5(x2−x+3)(x∈R)，得a−c=lg5(x2−x+3)，
因为y=x2−x+3=(x−12)2+114≥114，
所以lg5(x2−x+3)≥lg5114>lg51=0，即a>c，
综上，a>c>b．
故选：D．
由3c>3b，结合幂函数单调性知c>b；利用对数复合函数的性质推得a>c，从而得解．
本题考查了幂函数和对数复合函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：在平行四边形ABCD中，如图所示：
因为AE=EB，所以E是AB的中点，即AE=12AB，
DE=AE−AD=12AB−AD，AC=AB+AD，
因为AB=3 2,AD=2,∠BAD=π4，所以AB⋅AD=|AB||AD|cs∠BAD=3 2×2× 22=6，
因此，AC⋅DE=(AB+AD)(12AB−AD)=12AB2−12AB⋅AD−AD2=9−3−4=2．
故选：A．
根据题意，将AC与DE都用AB与AD表示，再求数量积即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，P(A)=0.5，则P(A−)=1−0.5=0.5，
则P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)=0.5×P(B|A)+0.5×0.2=0.3，
解可得：P(B|A)=0.4．
故选：B．
根据题意，由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)，代入数据计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=2sinωx(ω>0)图像的一部分，
可得AB=4，且T=2πω，所以圆柱的底面直径2r=2ω，
设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为12，可得ba=2rAC= 32，
所以AC=4r 3=4 3ω，由勾股定理得16+4ω2=163ω2，解得ω= 36．
故选：A．
根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：令正方体、正四面体和球的体积为1，
设正方体的棱长为a，则a3=1，解得a=1，表面积S1=6a2=6，
设球半径为r，则43πr3=1，解得r=334π，表面积S3=4πr2=4π3(34π)2=336π<6，
设正四面体的棱长为b，则正四面体底面正三角形半径23× 32b= 33b，
正四面体的高h= b2−( 33b)2= 63b，体积13× 34b2× 63b= 212b3=1，
解得b= 2×33，表面积S2=4× 34b2=2 3×332=2×376>6，
所以S3故选：C．
令体积为1，求出正方体、正四面体的棱长，球的半径，再求出表面积作答．
本题主要考查球的表面积的求解，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解；设z=a+bi(a,b∈R)，
A选项，因z∈R，则b=0，则z=a+bi=a−bi=z−，故A正确；
B选项，注意到i2=−1∈R，但i∉R，故B错误；
C选项，注意到(−i)2=−1，则z有可能为−i，故C错误；
D选项，z=1−i1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i，则|z|=1，故D正确．
故选：AD．
设z=a+bi(a,b∈R)，A选项，b=0，后由共轭复数定义可得答案；
B选项，注意到i2=−1；
C选项，注意到(−i)2=−1；
D选项，利用复数除法可得z，后由复数模公式可判断选项正误．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由图象可得A=2，T=4[π6−(−π12)]=π，所以ω=2πT=2，
由五点作图法可得2×(−π12)+φ=π2，所以φ=2π3，
所以f(x)=2sin(2x+2π3)，
由诱导公式可得f(x)=2sin(2x+2π3)=2sin(2x+π6+π2)=2cs(2x+π6)，故A正确；
f(7π12)=2cs(2×7π12+π6)=2cs4π3=−1，不是最值，故函数f(x)的图象不关于x=7π12对称，故B错误；
f(π3)=2cs[2×(−π3)+π6]=2cs(−π2)=0，故函数f(x)的图象关于 (−π3,0)对称，故C正确；
当x∈[π2,5π6]时，2x+π6∈[7π6,11π7]⊆[π,2π]，故函数f(x)在[π2,5π6]上单调递增，故D正确．
故选：ACD．
由函数图象求出函数解析式，利用诱导公式及余弦函数的性质逐项判断即可得解．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，根据正态曲线的对称性可得：Φ(−x)=P(Z<−x)=P(Z≥x)=1−P(Z对于B，当x>0时，P(−x对于C，D，根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值，x=u即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X数值分布在(μ−σ,μ+σ)中的概率为0.6826，是常数，
故由P(|X−μ|<σ)=P(μ−σ故选：BC．
根据Φ(x)=P(Z本题主要考查了正态分布曲线的特征，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图，连接AC交BD于E，则S△ABDS△BCD=12BD⋅AE⋅sin∠AEB12BD⋅EC⋅sin∠CED=AEEC=3，即AE=3EC，
所以AE=3EC⇒BE−BA=3(BC−BE)⇒BE=14BA+34BC．
设BD=tBE(t>1)，又BD=(an−3n−1)BA+(an+1+3n)BC，
所以an−3n−1=t4an+1+3n=3t4⇒an+1+3n=3(an−3n−1)⇒an+1=3an−2⋅3n⇒an+13n+1−an3n=−23，
又a1=3⇒a131=1，
故{an3n}为首项是1，公差为−23的等差数列，C正确；
则an3n=1+(n−1)(−23)=5−2n3⇒an=5−2n3⋅3n，
故a4=5−2×43⋅34=−81，B正确；
又an+1an=5−2(n+1)3⋅3n+15−2n3⋅3n=3(3−2n)5−2n=3−65−2n≠常数，
则{an}不是等比数列，A不正确；
an=(5−2n)3n−1=(n−4)3n−1−[(n+1)−4]3n，
Sn=a1+a2+a3+…+an=(1−4)30−[(n+1)−4]3n
=(3−n)3n−3，D正确．
故选：BCD．
连接AC交BD于E，根据面积关系推出AE=3EC，根据平面向量知识推出BE=14BA+34BC，结合an=(−n+2)⋅3n，由此可判断B；根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断C；利用裂项法求出Sn，可判断D．
本题考查了数列与向量的综合，重点考查了数列的递推关系以及数列求和问题，属于中档题．
13.【答案】40
【解析】解：因为C52x3(−2)2=40x3，
所以(x−2)5的展开式中x3的系数是40．
故答案为：40．
利用二项展开式的通项公式，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
14.【答案】 5
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的简单性质，属于基础题．
先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条渐近线的方程求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】
解：∵双曲线的渐近线方程为y=±bax，一条渐近线的方程为y=2x，
∴ba=2，设a=t，b=2t，(t>0)，
则c= t2+4t2= 5t，
∴离心率e=ca= 5，
故答案为： 5．
15.【答案】13π
【解析】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=2 3
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，
在直角三角形OMN中，ON= 3，∴圆N的半径为 13
∴圆的面积为13π
故答案为：13π
先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
本题考查二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．
16.【答案】y=x+1或y=x−1
【解析】解：f(x)=x+sinx的导数为f′(x)=1+csx，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，
则曲线在A，B，C三点处的切线方程分别为：
l1：y=(1+csx1)x−x1csx1+sinx1，
l2：y=(1+csx2)x−x2csx2+sinx2，
l3：y=(1+csx3)x−x3csx3+sinx3．
∵直线l1，l2，l3互相重合，∴csx1=csx2=csx3，
且−x1csx1+sinx1=−x2csx2+sinx2=−x3csx3+sinx3．
∴csx1=csx2=csx3，
∴sinx1=±sinx2，sinx2=±sinx3，sinx3=±sinx1．
①若sinx1=−sinx2，sinx2=−sinx3，sinx3=−sinx1．
则sinx1=0，sinx2=0，sinx3=0，
于是−x1csx1=−x2csx2=−x3csx3，
∵csx1=csx2=csx3=±1≠0，
∴x1=x2=x3，与A，B，C三点互不重合矛盾．
②若sinx1=sinx2，sinx2=sinx3，sinx3=sinx1中至少一个成立，
不妨设sinx1=sinx2成立，则x1csx1=x2csx2，
若csx1=csx2≠0，则x1=x2，矛盾，舍去，
于是csx1=csx2=0，sinx1=sinx2=±1，
∴满足要求的切线方程为y=x+1或y=x−1．
故答案为：y=x+1或y=x−1．
求得f(x)的导数，设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，分别求得f(x)在A，B，C处的切线方程，由切线重合的条件，结合分类讨论思想，可得所求切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由余弦定理知：b2=a2+c2−2accsB，
∵在△ABC中，a2−b2+c2=2，
∴2accsB=2，即csB=1ac，
又∵S△ABC=12acsinB= 24，
∴acsinB= 22，即sinB= 22ac，
∴tanB=sinBcsB= 22．
(2)由(1)知tanB= 22>0，则角B为锐角．
∵sin2B+cs2B=1tanB=sinBcsB= 22，
∴sinB= 33csB= 63．
由正弦定理知：asinA=bsinB=csinC，则sinA=absinB，sinC=cbsinB．
∴sinAsinC=absinB⋅cbsinB=acb2sin2B．
又∵b=1，acsinB= 22，
∴sinAsinC=acb2sin2B=acsinB⋅sinB= 22× 33= 66．
【解析】(1)先利用余弦定理，得csB=1ac，再利用三角形面积公式，得sinB= 22ac，最后利用同角三角函数基本关系即可求解；
(2)先根据同角三角函数基本关系求出csB和sinB；再利用正弦定理表示出sinA和sinC；最后将数值代入即可求解．
本题考查同角三角函数基本关系和正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意知a41，a42，a43成等差数列，
∵a42=18,a43=316，∴其公差为316−18=116，
a44=a43+116=14，
又∵a24，a34，a44成等比数列，且a24=1，
∴公比q2=a44a24=14，由于aij>0，故q=12；
(2)结合(1)问，由a42=18,a43=316，公差为116，所以a41=18−116=116，
而a41=a11×q3=a11×18=116，故a11=12，所以an1=a11×(12)n−1=(12)n；
又a14=a24q=2，所以an4=a14×(12)n−1=2×(12)n−1，
由于an1，an2，an3，an4，…为等差数列，公差为dn，
所以an4=an1+3dn，即dn=13[2×(12)n−1−(12)n]=(12)n，
所以Sn=12[1−(12)n]1−12=1−(12)n．
【解析】(1)由题意知a41，a42，a43成等差数列，借助公差算出a44=a43+116=14，由a24，a34，a44成等比数列，即可算出公比；
(2)借助等比数列求出an1，an4的通项公式，利用an1，an2，an3，an4，…为等差数列，求出dn，借助等比数列的求和公式求出Sn即可．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得x−=4+5+7+84=6，y−=0.3+0.3+0.4+0.64=0.4，
又i=14xiyj=8×0.6+7×0.4+5×0.3+4×0.3=10.3，
i=14xiyi−4x−⋅y−=10.3−4×6×0.4=0.7，
i=14xi2=82+72+52+42=154，
i=14xi2−4x−2=154−4×36=10，
b =i=14xiyi−4x−⋅y−i=14xi2−4x−2=0.710=0.07，
所以a =y−−b x−=0.4−0.07×6=−0.02，
故得y关于x的线性回归方程为y =0.07x−0.02；
(2)设小江、小沈两人中选择考研的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2，
P(X=0)=(1−p)(2−2p)=2(1−p)，P(X=1)=p(2−2p)+(1−p)(2p−1)=−4p2+5p−1，
P(X=2)=p(2p−1)=2p2−p，
E(X)=0×2(1−p)2+1×(−4p2+5p−1)+2×(2p2−p)=3p−1，
E(0.6X)=0.6×(3p−1)≤0.75，解得p≤34，
又因为0≤p≤10≤2p−1≤1，解得12≤p≤1，
故12≤p≤34，
故p的取值范围为[12,34].
【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法公式，以及平均数公式，即可求解；
(2)X的所有可能值为0，1，2，依次求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，∵AD/​/BC，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC/​/平面PAD，
∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l1，∴l1//BC；
(2)设AB∩CD=Q，则直线l2为直线PQ，由(1)知l1/​/BC，
由题意知PD=PB，取BD的中点O，连接PO，
则PO⊥BD，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴PO⊥平面ABCD，
取BC的中点E，连接DE，则四边形ABED为正方形，连接OA，OE，则OE⊥OB，
∴OE，OB，OP两两垂直，
以O为坐标原点，OE，OB，OP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,1,0)，C(2,−1,0)，A(−1,0,0)，D(0,−1,0)，P(0,0,1)，Q(−2,−1,0)，
PQ=(−2,−1,−1)，BC=(2,−2,0)，PA=(−1,0,−1)，AD=(1,−1,0)，
设平面α的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⊥BC，n1⊥PQ，
∴−2x1−y1−z1=02x1−2y1=0，取y1=1，得n1=(1,1,−3)，
设平面PAD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⊥PA，n2⊥AD，
∴−x2−z2=0x2−y2=0，取y2=1，得n2=(1,1,−1)，
∴cs=n1⋅n2|n1||n2|=5 3× 11=5 3333，
∴平面α与平面PAD所成角的余弦值为5 3333．
【解析】(1)由线线平行可得BC/​/平面PAD，进而由线面平行的性质可得结论；
(2)设AB∩CD=Q，则直线l2为直线PQ，取BD的中点O，连接PO，可得OE，OB，OP两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面α的一个法向量，平面PAD的一个法向量，利用向量的夹角公式可得平面α与平面PAD所成角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：(1)∵F(x)=f(x)+g(x)=e2x+(a−2)ex−ax−1，
F′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，
∴①当a<−2时，F′(x)<0⇒1②当a=−2时，F′(x)=2(ex−1)2≥0恒成立；
③当−2∴当a<−2时，F(x)在(−,0)和(ln(−a2),+∞)上单调递增，在(0,ln(−a2))上单调递减；
当a=−2时，F(x)在R上单调递增；
当−2证明：(2)由题意知f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，
即存在唯一的x0∈(0,+∞)，使得f(x0)=e2x0−ax0−1=0，
若要证明a>x0+2，则只需证明x0即只需证明e2x0−(x0+1)2>0(x0>0)即可，
不妨设h(x)=e2x−(x+1)2(x>0)，求导得h′(x)=2e2x−2(x+1)(x>0)，
令u(x)=h′(x)=2e2x−2(x+1)(x>0)，则u′(x)=4e2x−2>4−2=2>0，
所以当x>0时，h′(x)=2e2x−2(x+1)单调递增，所以h′(x)=2e2x−2(x+1)>h′(0)=0，
所以当x>0时，h(x)=e2x−(x+1)2单调递增，所以h(x)=e2x−(x+1)2>h(0)=0，
即当x0>0时，有不等式e2x0−(x0+1)2>0成立，
综上所述：若f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0，则a>x0+2．
【解析】(1)解导数不等式即可求解；
(2)证明e2x0−(x0+1)2>0(x0>0)，令h(x)=e2x−(x+1)2(x>0)，证明h(x)为增函数即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】证明：(1)设抛物线K的方程为x2=2py(p>0)，
由椭圆T得：a= 2，b=1，则c=1，
故抛物线K的焦点坐标为(0,1)，
所以p2=1，所以抛物线K的方程为x2=4y；
易知过点F的直线l的斜率存在，故可设直线l方程为y=kx+1，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，
联立y=kx+1y22+x2=1，消去y得(2+k2)x2+2kx−1=0，则x1+x2=−2k2+k2，x1x2=−12+k2，
所以|AB|= (1+k2)[(−2k2+k2)2−4×(−12+k2)]=2 2(1+k2)2+k2，
联立y=kx+1x2=4y，消去y得x2−4kx−4=0则x3+x4=4k，x3x4=−4，
则|CD|= (1+k2)(16k2+16)=4(+k2)，
又|BD|−|AC|=(BD|+|BC|)−(|AC|+|BC|)=|CD|−|AB|=4(1+k2)−2 2(1+k2)2+k2=2(1+k2)(4+2k2− 2)2+k2>0，即|AC|<|BD|；
解：(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x5,y5)，G(x6,y6)，
当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l方程为y=kx+1(k≠0)，则直线EG方程为y=−1kx+1，
由(1)的过程可知|AB|=2 2(1+k2)2+k2，
由|CD|=4(1+k2)，以−1k替换k，可得|EG|=4(1+1k2)，
S四边形AEBG=12|AB|⋅|EG|=4 2(1+k2)2(1+k2)2−1=4 21−1(1+k2)2，
因为1+k2>1，所以1(1+k2)2∈(0,1)，1−1(1+k2)2∈(0,1)，S四边形AEBG=4 21−1(1+k2)2>4 2；
当直线l的斜率不存在时，|AB|=2 2，|EG|=4，所以S四边形AEBG=12|AB|⋅|EG|=12×2 2×4=4 2；
综上所述：S四边形AEBG≥4 2，所以四边形AEBG面积的最小值为4 2．
【解析】(1)由椭圆性质可求抛物线方程，然后联立直线与抛物线及椭圆方程，结合弦长公式表示|CD|，|AB|，利用比较法即可判断；
(2)结合弦长公式表示|AB|，|EG|，结合四边形面积公式及二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了椭圆及抛物线的性质在抛物线方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆，直线与抛物线位置关系的应用，属于中档题．A大学
B大学
C大学
D大学
2023年毕业人数x(千人)
8
7
5
4
2023年考研人数y(千人)
0.6
0.4
0.3
0.3