江西省宜春市丰城市第九中学慢班2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知，那么在中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据x的范围，求出各个代数式的取值范围，进而即可得到答案．
【详解】∵，
∴，，，
∴最大的数是：，
故选B．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握算术平方根，平方运算以及倒数，是解题的关键．
2. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（ ）
A. 100B. 28C. 10或14D. 100或28
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或是直角边的两种情况，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解： 当8是直角边时，设第三边为斜边值x，
由勾股定理得：，
当8是斜边时，则可设第三边直角边值y，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，当已知条件没有明确哪边是斜边时，必须分类讨论．
3. 下列命题中，正确的命题的是（ ）
A. 有两边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 四个角相等的菱形是正方形D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、有两邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误；
C、四个角相等的菱形是正方形，故原命题正确；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
4. 函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于零和分母不等于零列出不等式求解即可．
【详解】解：由题知，且，
解得且，
故选：B．
5. 如图，在中，，，，以为边在外作 ，且，则的最小值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作直线，点B关于直线对称点，连接与直线交于，此时有最小值，利用，得到直线到距离为，进而得到，最利用勾股定理即可得到的最小值．
【详解】解：如图，过点D作直线，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于，由两点间线段最短可知，当点D在位置时，有最小值，
设点到的距离为，
，
，
，即直线到距离为，
，
由勾股定理得：，
故选C．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离，勾股定理，作出辅助线是解题关键．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，
∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可得，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______．
【答案】10
【解析】
【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为：，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键．
9. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形ABCD是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是3与∠ABC=60°求出菱形的边长，然后利用菱形的面积=底×高计算即可．
【详解】解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD=AB×3=BC×3，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
∴AB=2BE，
在△ABE中，AB2=BE2+AE2，
即AB2=AB2+32，
解得AB=2，
∴S四边形ABCD=BC•AE=2×3=6．
故答案是：6．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．
10. 已知过点的直线不经过第一象限，设，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：过点的直线不经过第一象限，
，，
将代入直线，
，
，
解得，
，
时，，
当时，
故．
故答案为：．
11. 在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则______°．
【答案】45
【解析】
【分析】作关于竖直边的对称线段，连接，根据勾股定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形计算即可．
【详解】解：如图，作交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作交于点H，
由勾股定理得，
则+=，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
，
∵
∴
∴
∴
故答案为：45．
【点睛】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12. 如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n个矩形的面积为，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．
【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是
…
∴故第n个矩形的面积为：
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂．
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再利用零指数幂意义计算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
14. 如图，一棵高的大树在一次暴风雨中被刮断，树顶落在离树根点处．研究人员要查看断痕处的情况，在离树根的处竖起一架梯子，请问这架梯子的长是多少？
【答案】这个梯子的长13米
【解析】
【分析】设AB为x,根据勾股定理求得米，米，米，即可求得AD的值.
【详解】设折断处，则
由勾股定理知
解得
∴米，米，米
根据勾股定理得
答：这个梯子的长13米.
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
15. 如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD.

（1）求证：DE平分∠ADC；
（2）试判断AE和DE的位置关系.
【答案】（1）见解析（2）垂直
【解析】
【分析】作EF∥AB∥CD，求出FE=DF即可.
【详解】如图作EF∥AB∥CD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE=∠AEF，
∴AF=FE.
又∵点E为BC中点，
∴FAD中点，
∴AF=FE=FD，
∴∠FDE=∠FED=∠EDC，
∴DE平分∠ADC.
（2）由（1）易知AE与DE垂直.
【点睛】作辅助线是解题的关键.
16. 已知一次函数，
（1）m，n为何值时，函数的图象经过原点？
（2）若函数图象经过第二、三、四象限，求m，n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟记一次函数过原点与经过的象限所对应的，关系是解本题的关键；
（1）由一次函数过原点，可得，从而可得答案；
（2）由一次函数的图象经过第二、三、四象限，可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：依题意得 ，
解得 ，
因此，当时，函数的图象经过原点；
【小问2详解】
∵图象经过第二、三、四象限，则，
解得：．
17. 如图，在中，点E，F在对角线上，且．证明：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据平行四边形性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【小问1详解】
证明：∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
四、解答题（共3题，每小题8分，共24分）
18. 如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，在AC上找一点M，使；
（2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据格线的特征找出AC的中点即可；
（2）连接AB、AC的中点，则该线上的任一点都符合要求.
【详解】（1）在图1中，点M即为所求；
（2）在图2中，点N即为所求．
【点睛】本题考查了三角形的面积及三角形的中位线，当三角形的底相同时，三角形的面积与高成正比例关系，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
19. 已知直线经过点，并且与直线交于点．

（1）求直线的解析式；
（2）在所给出的平面直角坐标系中，画出直线的图像，并结合画出的图像写出当时，自变量的取值范围；
（3）若点在内部（不包括边界），求的取值范围．
【答案】（1）
（2）画图像见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入可求出点的坐标，将点的坐标代入，运用待定系数法，解二元一次方程组即可求解；
（2）根据函数解析式作图，根据两直线交点坐标，图形结合分析即可求解；
（3）根据点的纵坐标为，分别代入，求出对应的的值，由此即可求解．
【小问1详解】
解：把代入得，，
∴，
把，代入得，
，解得，，
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图所示，与图函数图像，

∵，
∴当时，．
【小问3详解】
解：∵点在内部（不包括边界），
∴当时，，解得，，
当时，，解得，，
∴点在内部（不包括边界）时，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中两直线的位置的关系，大小关系的判定，点与直线的位置关系，掌握待定系数法求解析，两直线交点判定函数值大小，点与直线的位置关系的判定方法，图形结合分析是解题的关键．
20. 计算：
（1）____， ____，____，____，____，
【归纳与应用】
(2)观察(1)中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来；
(3)利用你总结的规律，计算：
①若,则____；
②____.
【答案】解：（1）3；0.5；0；6； （2）（3）①②
【解析】
【详解】分析：（1）根据算术平方根的定义计算即可；
（2）当时，；当时，.综合可得：.
（3）①因为，所以，所以
②因为，所以.
详解：(1)， ，，，，
（2）当时，；当时，.综合可得：.
（3）①因为，所以，所以.
②因为，所以.
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简.
五、解答题（共2题，每小题9分，共18分）
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)若P是BC边上的中点，连结AP，求证：BP·CP=AB2一AP2；
(2)若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系?请直接写出你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）成立；证明见解析；（3）AP2-AB2=BP•CP.
【解析】
【分析】（1）根据AB2=AP2+BP2，移项后，结合BP=CP，可得出结论；（2）过A作AM⊥BC于M，AB2=AM2+BM2，AP2=AM2+MP2，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；（3）过A作AM⊥BC于M，AB2=AM2+BM2，AP2=AM2+MP2，利用平方差公式，结合图形，即可得出结论；
【详解】（1）∵AB=AC，P是BC边上的中点，
∴AP⊥BC，BP=PC，
在RT△ABP中，AB2=AP2+BP2，AB2-AP2=BP2=BP•CP；
（2）如图：过A作AM⊥BC于M，
∵AB2=AM2+BM2，AP2=AM2+MP2，
∴AB2-AP2=BM2-MP2=（BM+MP）（BM-MP），
∵BM=CM，
∴BM+MP=CM+PM=CP，
∴AB2-AP2=BP•CP，
故上面的结论成立.
（3）过A作AM⊥BC于M，
∵AB2=AM2+BM2，AP2=AM2+MP2
∴AP2-AB2=MP2-BM2=（MP+BM）（MP-BM）=BP（MP-CM），
∵MP-CM=CP，
∴AP2-AB2=BP•CP．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理及平方差公式是解题关键.
22. 如图，在中，，，点，分别在，上，且．连接，，，分别为，的中点．

（1）如图1，请直写出与的数量关系；
（2）如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由；
（3）若，，直接写出将绕点在平面内旋转过程中的最大值．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，可得，根据中位线的判定和性质可得，故；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得，根据中位线的判定和性质可得，故；
（3）将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证，，由，，可知当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 即可求得的最大值是．
【小问1详解】
解：；理由如下：
∵，，
∴。
即，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故．
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故．
【小问3详解】
解：如图：

将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证，
∴当最大时，最大，
∵，，
∴当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为，
如图：

此时，
∴的最大值是．
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
六、解答题（共1题，12分）
23. 如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为与之间的函数关系如图②所示．

（1）______________；
（2）当为何值时，为等腰三角形？请简要说明理由．
【答案】（1），；
（2）当或或时，为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）根据图②三角形的面积，可得矩形的长和宽；
（2）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得的值．
【小问1详解】
解：由图②知：，
当时，与重合，，
，
，
∵四边形是矩形，
∴，
故答案为，；
【小问2详解】
解：当为等腰三角形时，分三种情况：
①当时，如下图所示，过作于，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（），
∴，
∴，
∴，
即；
②当时，如下图所示，在的延长线上，此时正方形是正方形，

∴
③当时，如下图所示，过作于，

∵，
∴，
同理得：（），
∴，
∴，
综上，当或或时，为等腰三角形．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．