江西省上饶市第四中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

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一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 要使得分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，则，
故选：．
2. 已知x是正整数，是整数，则x的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，对原式变形得解．
【详解】解：
∴．
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3. 将三角尺和直尺如图所示叠放在一起，已知，则 )
A. B. C. D. 您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷任你下载，家威杏 MXSJ663 全网最新，性比价最高【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质得到．
由三角形外角的性质得到，因此．
【详解】解：如图，
，
，
，，
．
故选：C．
4. 将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A. a2-1
B. a2+a
C. a2+a-2
D. (a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
考点：因式分解.
5. 如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果．
【详解】解：连接，
∵l垂直平分，
，
，
的最小值是，值为7，
故选：C．
6. 如图，在中，，、分别平分，，且交于点F．则下列说法中①；②；③若，则；④；⑤．哪些是正确的（ ）

A. ①③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；由④可得，，由即可推出，可判断⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
如图1，作于点G，于点H，则，

∵与不一定相等，
∴与不一定相等，
即：与不一定相等，
故②错误；
如图1，延长到点K，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故④正确；
由④可得，，，

∵，
∴，即，
故⑤正确，
正确的结论为①③④⑤，
故选：D．
【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6题，每题3分）
7. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
故答案：．
【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
8. 2023年11月中国发布了国产处理器——龙芯，采用先进的12纳米（即0.000000012米）工艺制程，0.000000012米用科学记数法表示为______米．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定与的值是解题的关键．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为整数，据此判断即可．
【详解】解：0.000000012米米．
故答案为：．
9. 若a，b满足，则点在第______象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平面直角坐标系中点的坐标特征．根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．
【详解】解：∵a，b满足，
∴，
解得，
∴，
∴为在第四象限．
故答案为：四．
10. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的变形．利用完全平方公式的变形解题即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
∴，
故答案为：．
11. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为__________.
【答案】##45度
【解析】
【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．
【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．
12. 有一个三角形纸片，，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得的两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是__________．
【答案】或或
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，分三种情况（即三条边两两相等），再根据等腰三角形的两底角相等、外角的性质求解即可.
【详解】由题意可分以下3种情况：
（1）如图1，，和是等腰三角形
是等边三角形
（2）如图2，，此时和是等腰三角形
又
（3）如图3，，此时和是等腰三角形
又
故答案为：或或.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、外角的性质，依据题意，正确划分三种情况是解题关键.
三．解答题（共5题，每题6分）
13. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先计算乘法，然后计算除法，最后计算加减即可；
（2）先利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：
．
14. 一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，则这个正多形是几边形？
【答案】这个正多边形是八边形
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据“多边形的内角与外角是邻补角”，设该正多边形的外角为，则内角为，列出方程求得外角的度数，再利用多边形的外角和除以外角度数，即可得边数．
【详解】解：设该正多边形的外角为，则内角为，
由题意得：，
解得：，
，
答：这个正多边形是八边形．
15 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，先对括号内的分式通分，再计算括号外的除法，化简之后将x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
16. 如图所示，点，分别为的边，上两点，且，，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角定理，全等三角形的判定与性质，连接，先证明，得到，再根据三角形的外角定理即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在和中，
，
，
.
，
．
17. 如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图．
（1）如图①，作出一个边长等于等边三角形；
（2）如图②，作出一个周长等于的等边三角形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接、，即为所求；
（2）连接交于，连接交于，即为所求；
【小问1详解】
解：边长为的等边三角形如图所示；
；
【小问2详解】
解：周长等于的等边三角形如图所示；
．
四．解答题（共3题，每题8分）
18. 小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程．
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答．
【小问1详解】
解：原方程为，
方程两边同时乘以得
，
解得
经检验，是原分式方程的解；
【小问2详解】
解：设？为m，
方程两边同时乘以，
得
∵原方程无解
∴是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
解得，
∴原分式方程中“？”代表的数是．
19. 如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．
（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．
（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
20. 请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值．
小敏的做法是：根据得，
∴，得：.
把作为整体代入：得
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）己知，求代数式的值；
（2）已知 ，求代数式的值．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据完全平方公式求出，然后代入计算即可；掌握整体思想是解题的关键；
（2）根据完全平方公式计算可得，然后利用整体代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，即，
∴，
∴
．
五．解答题（共2题，每题9分）
21. （1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；
（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长．
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）由，得，则，由，得，所以，而，，即可根据“”证明，则；
（2）在上截取，连接，可证明，得，，则，根据平行线的性质得，则，所以，则．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
∵，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
∵，
，
，
，
，
的长是2．
【点睛】此题重点考查等角的补角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22. 对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表：
观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1．
（1）若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
（2）若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值；
（3）若代数式参照代数式取值延后，求的值．
【答案】（1）；
（2）3； （3）．
【解析】
【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可；
（2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可；
（3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
【小问2详解】
解：设相应的延后值为k，得： ，
化简得：，
，解得，
当时，成立，
∴相应的延后值是3．
【小问3详解】
解：设相应的延后值为m，得：，
化简得：，
，
将代入，可得
∴．
【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键．
六．解答题（共1题，12分）
23. 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点交M，交y轴于N．

（1）点A的坐标为__________，点B的坐标为__________．
（2）当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）．
（3）若，则t的值为__________．
（4）若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）；
（3）1或9 （4）点P的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标；
（2）判断出，即可得出结论；
（3）分两种情况，列出方程可求出答案；
（4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
，，
，
，
，
当点在线段上时，即时，
如图1，由运动知，，

，
，
，
，
，
，
，
；
小问3详解】
解：当点在线段上时，
，
；
当点在轴正半轴时，即，

如图2，由运动知，，
，
同①的方法得，，
，
，
即时，的值为1或9；
故答案为：1或9；
【小问4详解】
解：∵，，，
，，，
当时，，
，点；
当时，
又，
，
，
，点，
综上所述：点P的坐标为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．x
0
1
2
3
4
0
3
8
15
24
35
0
3
8
15
24