北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题2.3一元一次不等式与一次函数(知识解读)(原卷版+解析)

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专题2.3 一元一次不等式与一次函数（知识解读） 【学习目标】1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用．2．通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力．3．把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会．【知识点梳理】知识点 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。【典例分析】【考点1：一元一次不等式与一次函数】【典例1】（2022秋•霍邱县期中）函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2【变式1-1】（2022秋•宁明县月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），则不等式kx+b＜0的解集为（　　）A．x＜2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＞4【变式1-2】（2022秋•昭平县期中）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（　　）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【典例2】（2022春•元宝区校级期末）一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如右图所示，则mx+n＞﹣x+a的解集为（　　）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜2 D．x＞2【变式2-1】（2022春•振兴区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2【变式2-2】（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（　　）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【典例3】（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．【变式3-1】（2022秋•岑溪市期中）画出函数y＝x+2的图象，利用图象：（1）求方程x+2＝0的解；（2）求不等式x+2＜0的解集；（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝﹣3与坐标轴交于C、D两点．（1）求直线AB：y＝kx+b与CD交点E的坐标；（2）直接写出不等式kx+b＞x﹣3的解集；（3）求四边形OBEC的面积．【考点2：一元一次不等式与一次函数的实际应用】【典例4】（2022春•正定县期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【变式4】（2020春•定边县期末）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的费用相同？专题2.3 一元一次不等式与一次函数（知识解读） 【学习目标】1.进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用．2．通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力．3．把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会．【知识点梳理】知识点 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。【典例分析】【考点1：一元一次不等式与一次函数】【典例1】（2022秋•霍邱县期中）函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　）A．x＞3 B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2【答案】B【解答】解：一次函数y＝kx+b，当y＞0时，图象在x轴上方，∴函数图象与x轴交于（3，0）点，∴不等式kx+b＞0的解集为x＜3，故选：B．【变式1-1】（2022秋•宁明县月考）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），则不等式kx+b＜0的解集为（　　）A．x＜2 B．x＜4 C．x＞2 D．x＞4【答案】D【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（4，0），与y轴交于点（0，2），∴y随x的增大而减小，且x＝4时，y＝0，当x＞4时，y＜0，即kx+b＜0，∴不等式kx+b＜0的解集为x＞4．故选：D．【变式1-2】（2022秋•昭平县期中）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b﹣1≤0的解集是（　　）A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【答案】A【解答】解：由不等式kx+b﹣1≤0得kx+b≤1．观察图象，当x≥0时，y≤1，即kx+b≤1．所以不等式kx+b﹣1≤0的解集是x≥0．故选：A．【典例2】（2022春•元宝区校级期末）一次函数y1＝mx+n与y2＝﹣x+a的图象如右图所示，则mx+n＞﹣x+a的解集为（　　）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜2 D．x＞2【答案】A【解答】解：∵mx+n＞﹣x+a，即：y1＞y2，根据图象知：当x3时有y1＞y2，故选：A．【变式2-1】（2022春•振兴区校级期末）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点B（m，0）（m＞1），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞1 D．x＞2【答案】C【解答】解：在y＝2x中，令y＝2时，则2x＝2，∴x＝1，∴A（1，2），由图可得：不等式kx+b＜2x的解集为x＞1．故选：C．【变式2-2】（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（　　）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．【典例3】（2021秋•桐城市校级期末）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．【解答】解：（1）∵点C在直线l1：y＝2x﹣2上，∴2＝2m﹣2，解得m＝2；∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，∴，解得：；（2）由图象可得，不等式组1＜kx+b＜2x﹣2的解集为2＜x＜3．【变式3-1】（2022秋•岑溪市期中）画出函数y＝x+2的图象，利用图象：（1）求方程x+2＝0的解；（2）求不等式x+2＜0的解集；（3）若﹣1≤y≤3，求x的取值范围．【解答】解：画出函数y＝x+2的图象如图：（1）由图象知，方程x+2＝0的解是x＝﹣2；（2）由图象知，不等式x+2＜0的解集是x＜﹣2；（3）由图象知，当﹣1≤y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．【变式3-2】（2022春•垦利区期末）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（1，0），直线y＝﹣3与坐标轴交于C、D两点．（1）求直线AB：y＝kx+b与CD交点E的坐标；（2）直接写出不等式kx+b＞x﹣3的解集；（3）求四边形OBEC的面积．【解答】解：（1）把A、B的坐标代入y＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝2，所以直线AB的解析式是y＝﹣2x+2，解方程组得：，所以点E的坐标是（2，﹣2）；（2）由图象可知，x＜2时，y＝kx+b的图象在y＝﹣3的图象的上方，故不等式kx+b＞x﹣3的解集是x＜2；（3）y＝x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝6，则点C的坐标是（0，﹣3），点D的坐标是（6，0），∵B点坐标是（1，0），E点坐标是（2，﹣2），所以四边形OBEC的面积S＝S△DOC﹣S△BOE＝﹣＝4．【考点2：一元一次不等式与一次函数的实际应用】【典例4】（2022春•正定县期中）某学校团支部书记暑假带领该校同学去旅游，甲旅行社说：“若团支部书记买一张全票，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团支部书记在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；（2）请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．【解答】解：（1）由题意，得y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720．（2）①当y甲＝y乙时，600x+1200＝720x+720，解得x＝4，当学生人数是4人时，两家旅行社的收费是一样的；②当y甲＞y乙时，600x+1200＞720x+720，解得x＜4；当0＜x＜4（x为整数）时，乙旅行社更优惠；③当y甲＜y乙时，600x+1200＜720x+720，解得x＞4．当x＞4（x为整数）时，甲旅行社更优惠．【变式4】（2020春•定边县期末）某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．（1）什么情况下选择甲公司比较合算？（2）什么情况下选择乙公司比较合算？（3）什么情况下两公司的费用相同？【答案】（1）x＞300 （2）x＜300 （3）x＝300【解答】解：设制作宣传材料数为x，由“甲广告公司提出：每份材料收费20元，另收设计费3000元；乙广告公司提出：每份材料收费30元，不收设计费”得：甲广告公司的收费为20x+3000，乙广告公司收费为30x．∴20x+3000﹣30x≥0，∴x≤300．故（1）x＞300时选择甲公司比较合算；（2）x＜300时选择乙公司比较合算；（3）x＝300时两公司的收费相同．