北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题2.1不等式关系及性质(知识解读)(原卷版+解析)

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专题2.1 不等式关系及性质（知识解读） 【学习目标】1.了解不等式概念；2.理解不等式的解集；3.能用数轴表示不等式的解集；4.掌握不等式的基本性质并运用。【知识点梳理】知识点1 不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．知识点2 解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．知识点3 不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）【典例分析】【考点1：不等式定义】【典例1-1】下列数学表达式中：①﹣3＜0．②2x+3y≥0，③x＝1，④x2﹣2xy+y2，⑤x≠2，⑥x+1＞3中，不等式有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【典例1-2】x是不大于5的数，则下列表示正确的是（　　）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【变式1-1】下列式子是不等式的是（　　）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【变式1-2】y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　）A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0【变式1-3】用不等式表示：（1）2x与3y的差为非负数：　 　；（2）a与b的的和不超过2：　 　．【典例2】今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　）A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20【变式2-1】某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330±10g，表明了这罐八宝粥的净含量x的范围是（　　）A．320＜x＜340 B．320≤x＜340 C．320＜x≤340 D．320≤x≤340【变式2-2】假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　km/h．【考点2：不等式的解】【典例3】（2022春•南关区校级月考）在4，3，2，1，0，﹣，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-1】（2022春•郯城县期末）下列各数中，是不等式x＞2的解的是（　　）A．﹣2 B．2 C．1 D．3.5【变式3-2】（2022春•运城期末）在﹣1，0，1，中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点3：不等式的解集】【典例4】如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【变式4-1】在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集正确的是（　　）A． B． C． D．【变式4-2】在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（　　）A． B． C． D．【考点4：不等式的基本性质】【典例5】（2022秋•平南县期末）若a＞b，则下列不等式中，错误的是（　　）A．3a＞3b B．﹣＜﹣ C．4a﹣3＞4b﹣3 D．ac2＞bc2【变式5-1】（2022秋•桂平市期末）若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【变式5-2】（2022秋•衢江区期中）若x＞y，则下列式子中，不正确的是（　　）A．﹣3x＞﹣3y B．x+3＞y+3 C．x﹣3＞y﹣3 D．3x＞3y【典例6】（2022春•漳州期中）关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1可变形为x＜1，则（　　）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜1【变式6-1】（2022•萧山区开学）由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是 　 　．【变式6-2】（2022秋•萧山区期中）若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围 　 　．x＜ax＞ax≤ax≥a专题2.1 不等式关系及性质（知识解读） 【学习目标】1.了解不等式概念；2.理解不等式的解集；3.能用数轴表示不等式的解集；4.掌握不等式的基本性质并运用。【知识点梳理】知识点1 不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”．知识点2 解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．知识点3 不等式的基本性质性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即若a＞b,则a±c＞b±c性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＞0，则ac＞bc（或）性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变，即：若a＞b,c＜0，则ac＜bc（或）【典例分析】【考点1：不等式定义】【典例1-1】下列数学表达式中：①﹣3＜0．②2x+3y≥0，③x＝1，④x2﹣2xy+y2，⑤x≠2，⑥x+1＞3中，不等式有（　　）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≤，≥，≠，则不等式有：①②⑤⑥，共4个．故选：B．【典例1-2】x是不大于5的数，则下列表示正确的是（　　）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【答案】D【解答】解：∵x是不大于5的数，∴x≤5．故选：D．【变式1-1】下列式子是不等式的是（　　）A．x+4y＝3 B．x C．x+y D．x﹣3＞0【答案】D【解答】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此选项不符合题意；B、x，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；C、x+y，没有不等号，不是不等式，故此选项不符合题意；D、x﹣3＞0是不等式，故此选项符合题意．故选：D．【变式1-2】y与2的差不大于0，用不等式表示为（　　）A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0【答案】D【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．【变式1-3】用不等式表示：（1）2x与3y的差为非负数：　 　；（2）a与b的的和不超过2：　 　．【答案】2x﹣3y≥0；a+b≤2．【解答】解：（1）依题意得：2x﹣3y≥0．故答案为：2x﹣3y≥0；（2）依题意得：a+b≤2．依题意得：a+b≤2．【典例2】今据天气预报，2022年4月1日高新区最高气温20℃，最低气温是8℃，则当天我区气温t（℃）的变化范围是（　　）A．t＞8 B．t≤20 C．8＜t＜20 D．8≤t≤20【答案】D【解答】解：若4月1日高新区最高气温是20℃，最低气温8℃，则4月1日高新区的气温t（℃）的变化范围是8≤t≤20．故选：D．【变式2-1】某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330±10g，表明了这罐八宝粥的净含量x的范围是（　　）A．320＜x＜340 B．320≤x＜340 C．320＜x≤340 D．320≤x≤340【答案】D【解答】解：净含量的合格范围是330﹣10≤x≤330+10，即320≤x≤340，故选：D．【变式2-2】假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　km/h．【答案】80（答案不唯一）【解答】解：设车速为vkm/h，则70≤v＜100，∴建议车速为80km/h．故答案为：80（答案不唯一）．【考点2：不等式的解】【典例3】（2022春•南关区校级月考）在4，3，2，1，0，﹣，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：不等式3x﹣2＞2x的解集为x＞2，在4，3，2，1，0，﹣，中，大于2的有4，3，共2个，故选：B．【变式3-1】（2022春•郯城县期末）下列各数中，是不等式x＞2的解的是（　　）A．﹣2 B．2 C．1 D．3.5【答案】D【解答】解：在﹣2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，故选：D．【变式3-2】（2022春•运城期末）在﹣1，0，1，中，能使不等式2x﹣1＜x成立的数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：2x﹣1＜x，解得：x＜1，故符合题意的有：﹣1，0，，共3个．故选：C．【考点3：不等式的解集】【典例4】如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【答案】A【解答】解：由题意，得：x＜1，故选：A．【变式4-1】在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于号，∴必须用实心圆点，∴可排除A、C，∵不等式x≥﹣2中是大于等于，∴折线应向右折，∴可排除B．故选：D．【变式4-2】在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2，其中正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．故在数轴上表示不等式﹣1≤x＜2如下：故选：B．【考点4：不等式的基本性质】【典例5】（2022秋•平南县期末）若a＞b，则下列不等式中，错误的是（　　）A．3a＞3b B．﹣＜﹣ C．4a﹣3＞4b﹣3 D．ac2＞bc2【答案】D【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；B、在不等式a＞b的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C、在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a﹣3＞4b﹣3，故本选项正确；D、当c＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D．【变式5-1】（2022秋•桂平市期末）若m＞n，则下列不等式正确的是（　　）A．m﹣2＜n﹣2 B． C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n【答案】B【解答】解：根据不等式的性质，∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，﹣8m＜﹣8n，6m＞6n，，故A、D、C错误，B正确．故选：B．【变式5-2】（2022秋•衢江区期中）若x＞y，则下列式子中，不正确的是（　　）A．﹣3x＞﹣3y B．x+3＞y+3 C．x﹣3＞y﹣3 D．3x＞3y【答案】A【解答】解：∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，故选项A不正确；∵x＞y，∴x+3＞y+3，故选项B正确；∵x＞y，∴x﹣3＞y﹣3，故选项C正确；∵x＞y，∴3x＞3y，故选项D正确；故选：A．【典例6】（2022春•漳州期中）关于x的不等式（m﹣1）x＞m﹣1可变形为x＜1，则（　　）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜1【答案】D【解答】解：∵不等式（m﹣1）x＞m﹣1的解集为x＜1，∴m﹣1＜0，解得m＜1，故选：D．【变式6-1】（2022•萧山区开学）由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是 　 　．【答案】a＜0【解答】解：∵不等式ax＞b的解集为x＜，∴a＜0，即a的取值范围为a＜0．故答案为：a＜0．【变式6-2】（2022秋•萧山区期中）若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围 　 　．【答案】a＜﹣3【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．x＜ax＞ax≤ax≥a