重庆市望江中学校2023-2024学年高二下学期数学学业水平测试卷

这是一份重庆市望江中学校2023-2024学年高二下学期数学学业水平测试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若M＝{x｜x＞1}，N＝{x｜x≥a}，且NM，则（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
2．设，，且，则锐角为（ ）
A B C D
3．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（ ）
A B C D
4．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对
主视图 左视图 俯视图
6．下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数是R上的偶函数，且在（-∞，上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2 B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2 D．-2≤a≤2
8.将两个数交换,使,下面语句正确一组是 ( )
a=c
c=b
b=a
b=a
a=b
c=b
b=a
a=c
a=b
b=a
A B C D
9．设,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A B C D
10．已知a>0，a0，函数y=ax与y=lga(-x)的图象只能是 ( )

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.
11．有一种电子产品，它可以正常使用的概率为，则它不能正常使用的概率是_______．
12．在等比数列中, 若则=___________
13．在△ABC中，若_________
14．设不等式组表示的平面区域为D，若直线上存在区域D上的点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，满分44分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分8分）
在△中，角，，成等差数列．
（1）求角的大小； （2）若，求的值．
16．（本小题满分8分）
某校在高二年级开设了，，三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从，，三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）
（1）求，的值；（2）若从，两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组的概率．
A
B
C
D
P
E
图5
17．（本小题满分14分）
如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．
（1）求证：PB//平面；
（2）若四面体的体积为，求的长．
18．（本小题满分14分）
已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，数列的前项和．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（本小题满分14分）
直线与圆交于、两点，记△的面积为（其中为坐标原点）．
（1）当，时，求的最大值；
（2）当，时，求实数的值．
高中学业水平测试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．
11．（或） 12．9
13．（或） 14．
三、解答题
15．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分．
解：（1）在△中，，
由角，，成等差数列，得．
解得．
（2）方法1：由，即，得．
所以或．
由（1）知，所以，即．
所以


．
方法2：因为，是△的内角，且，
所以或．
由（1）知，所以，即．
以下同方法1．
方法3：由（1）知，所以．
即．
即．
即．
即．
因为，
所以．
即．解得．
因为角是△的内角，所以．
故．
16．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分．
解：（1）由题意可得，，
解得，．
（2）记从兴趣小组中抽取的2人为，，从兴趣小组中抽取的3人为，，，则从兴趣小组，抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，，，，，，，，，共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组的事件为，则包含的基本事件有，，共3种．
所以．
故选中的2人都来自兴趣小组的概率为．
A
B
C
D
P
E
OO
H
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．
（1）证明：连接交于点，连接，
因为是正方形，所以点是的中点．
因为点是的中点，
所以是△的中位线．
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：取的中点，连接，
因为点是的中点，所以．
因为平面，所以平面．
设，则，且．
所以

．
解得．
故的长为2．
18．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分．
解：（1）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
因为数列的前项和．
所以当时，，
当时，，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）可知，．
设数列的前项和为，
则 ， ①
即 ， ②
①－②，得

，
所以．
故数列的前项和为．
19．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．
解：（1）当时，直线方程为，
设点的坐标为，点的坐标为，
由，解得，
所以．
所以
．
当且仅当，即时，取得最大值．
（2）设圆心到直线的距离为，则．
因为圆的半径为，
所以．
于是，
即，解得．
故实数的值为，，，．
20．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分．
解法1：当时，，令，得，是区间上的零点．
当时，函数在区间上有零点分为三种情况：
①方程在区间上有重根，
令，解得或．
当时，令，得，不是区间上的零点．
当时，令，得，是区间上的零点．
②若函数在区间上只有一个零点，但不是的重根，
令，解得．
③若函数在区间上有两个零点，则
或
解得．
综上可知，实数的取值范围为．
解法2：当时，，令，得，是区间上的零点．
当时，在区间上有零点在区间上有解在区间上有解．
问题转化为求函数在区间上的值域．
设，由，得．且．
而．
设，可以证明当时，单调递减．
事实上，设，
则，
由，得，，即．
所以在上单调递减．
故．
所以．
故实数的取值范围为．兴趣小组
小组人数
抽取人数
24
36
3
48
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
A
B
C
D
C
B