2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（解析版）

这是一份2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式，列不等式组求解即可.
【详解】根据题意可得，所以.
故选：C.
3．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算性质计算即可得答案.
【详解】.
故选：B.
4．以为直径端点的圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式求圆心坐标，再求半径即可得答案.
【详解】解：根据题意得的中点即为圆心坐标，为，
半径为，
所以以为直径端点的圆方程是.
故选：D.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三视图知该几何体为三棱柱，由三视图得几何元素的长度，由三棱柱的体积公式求出几何体的体积.
【详解】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为，高为，几何体的高为，所以三棱柱的体积为.
故选：A.
6．不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，再解绝对值不等式即可得答案.
【详解】解：由指数函数在上单调递增，，
所以，进而得，即.
故选：A.
7．若实数满足不等式组，则的最大值是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据实数满足的约束条件画出可行域，将，转化为，平移直线，由直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.
【详解】由实数满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：
将，转化为，平移直线，
当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，
此时目标函数取得最大值，最大值是5，
故选：C
8．若直线与平行，则与间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据与平行，列式求解得，利用平行线间的距离公式代入求解即可.
【详解】因为与平行，所以，得，所以，所以与间的距离为.
故选：C.
9．在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】根据，利用正弦定理得到求解.
【详解】因为在中，，
所以
因为，
所以，
因为则,
或
故选：D
10．已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，若，则或相交，故A选项不正确；
对于B选项，若，则或相交，故B选项不正确；
对于C选项，若，则，为面面垂直的判定定理，故C选项正确；
对于D选项，若，则，故D选项不正确.
故选：C.
11．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合，和充分，必要条件的概念求解即可.
【详解】解：当，由于，，故充分性成立；
当，不妨设，成立，不成立，故必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
12．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.
【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数，所以排除BC，
又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，
故选：A.
【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.
13．已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项.
【详解】，，，，……
所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，
，，所以，
，，所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列.
14．如图，正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接,可得四边形为平行四边形，所以，则（或其补角）为异面直线与所成角，在中由余弦定理可求解.
【详解】取的中点，连接
由分别为的中点，则且
在正方体中且,所以且
所以四边形为平行四边形，所以
则（或其补角）为异面直线与所成角.
设正方体的棱长为2，则在中，,
所以
故选：A
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
15．某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐
一验证四个选项即可得正确答案.
【详解】设，
由图知，，解得，所以，
假设，则即，
，，，，
，
对于选项A：，，
所以，故选项A成立；
对于选项B：，
显然最大值为，不成立，故选项B不成立；
对于选项C：，，所以，故选项C成立；
对于选项D：，
所以，
因为，所以，即，所以，
故选项D成立，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出三角函数的表达式，根据点与点时间间隔相差秒，若设，则这是解题的关键点.
16．已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，利用代数式法结合零点存在定理得出函数的零点，，，然后作出函数，直线、、的图象，观察三条直线、、与函数的图象的交点个数，由此可得出结论.
【详解】令.
①当时，，则函数在上单调递增，
由于，，
由零点存在定理可知，存在，使得；
②当时，，由，解得，.
作出函数，直线、、的图象如下图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有两个交点；
直线与函数的图象有且只有一个交点.
综上所述，函数的零点个数为.
故选：D.
【点睛】思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：
（1）确定内层函数与外层函数；
（2）求出外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数的交点个数，由此可得到原函数的零点个数为.
17．如图，椭圆的右焦点为分别为椭圆的上､下顶点，是椭圆上一点，，记椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求直线方程，并求点的坐标，根据，整理为关于的齐次方程，再求.
【详解】，则，所以直线，与椭圆方程联立，所以点的横坐标是，，即，，整理为：
，两边同时除以得：，
，，所以，得，或（舍）.
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.
18．如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】补全底面为正方形ABCG，由正方形性质有面面，进而可证为平行四边形，则为直线与平面所成角，△中由余弦定理知，结合棱锥侧面为全等三角形知，即可求的取值范围.
【详解】由，，将底面补全为正方形ABCG，如下图示，
O为ABCG对角线交点且，又有，，
∴面，而面，故面面，
若H为DG的中点，连接FH，又为棱的中点，则且，
而，，有平行且相等，即为平行四边形.
∴可将平移至，直线与平面所成角为，且中，
令，，即，
∴△中，，即，
∵，即，
∴，解得（舍去），
综上有，
故选：C
【点睛】关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范围.
二、填空题
19．已知平面向量满足，则______.
【答案】
【分析】根据，由求解.
【详解】因为，
所以，
，
，
故答案为：
20．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
【答案】
【分析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.
【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得.
故双曲线的实轴长为：.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
21．已知，若存在实数，使得成立，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】不等式两边同除以b，先将题意转化为在上有解，即在上有解，设，，，即且，再求出函数对应最值即得结果.
【详解】解：因为，故不等式两边同除以b，得，令，即不等式在上有解.
去绝对值即得，即 即在上有解，设，，，即且即可，
由在上，，，即，故；
由，利用基本不等式，当且仅当即时等号成立，故，即，故，
综上：t的取值范围是，即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：
（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；
（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
三、双空题
22．设等比数列的公比为，前项和为.若，则____，____.
【答案】4 21
【分析】首先根据得到，再计算即可.
【详解】因为，所以.
.
故答案为：；
四、解答题
23．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）本题将代入中进行计算即可得出结果；
（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数转化为，然后通过周期计算公式即可得出结果；
（3）本题首先可根据得出，然后通过正弦函数性质即可求出值域.
【详解】（1），即.
（2），
故的最小正周期.
（3）因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故在上的值域为.
24．如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点.
（1）若是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由为抛物线焦点，即可设直线的方程为，根据直线与圆相切可求k值，写出直线方程.
（2）设直线的方程为，，，，由直线上两点距离公式可知，根据直线与圆相切、求，切线性质：直线与互相垂直及即可求的值.
【详解】（1）因为是抛物线的焦点，所以，即，
设直线的方程为，由直线与圆相切，得，即，
所以，直线的方程为.
（2）设直线的方程为，，，，
由，得，，，
∴.
由直线与圆相切，得，即.
由，，得.
所以，又，解得.
由直线与互相垂直，得，
.
【点睛】关键点点睛：
（1）由过抛物线焦点的直线与圆相切求斜率，写出直线方程.
（2）由直线与抛物线、圆的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式、两直线垂直的性质求参数值.
25．设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.