内蒙古兴安盟阿尔山中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1. 将一块含角的三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，根据对顶角相等可得到，，根据余角的定义可得到，最后根据三角形的内角和为，即可计算出的度数．
【详解】解：如图所示：
，
根据题意可得：，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等、余角的定义、三角形的内角和为，熟练掌握对顶角相等、余角的定义、三角形的内角和为是解题的关键．
2. 已知一个三角形的周长为偶数，其中两条边长分别等于和，则第三边的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，即
∴A，D不符合题意；
当时，三角形的周长为，是奇数，不符合题意；
当时，三角形的周长为，是偶数，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键．
3. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）
A. 12B. 18C. 22D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】由图可得五边形面积为正方形的面积加上梯形的面积，根据阴影部分面积为五边形面积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可求得面积为，再根据，构造，即可求解．
【详解】解：由图可知，
五边形的面积正方形的面积梯形的面积，
即：五边形的面积，
阴影部分的面积五边形的面积的面积的面积
即：阴影部分的面积
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
4. 方程，，则（ ）
A. 1B. 0C. 1.5D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得：，，进而可得，，求出，，代入式子求解即可．
【详解】解：∵，，即：，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为：，是解决问题的关键．
5. 若多项式可分解为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：．
【详解】解：多项式可分解为，
．
．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键
6. 计算的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可求解，掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
7. 已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A. 1B. 1或2C. 0或2D. 0或1
【答案】B
【解析】
【分析】去分母，化分式方程为整式方程，根据分式方程产生增根或，即可求解．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
移项、合并同类项，得，
∵方程无解，
∴或，
∴或，
∴或，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
8. 如图，已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则，，三点所构成三角形是（ ）
A. 含角的直角三角形B. 等边三角形
C. 顶角是的等腰三角形D. 视点的位置而定
【答案】B
【解析】
【分析】点与点关于对称，点与点关于对称，推出，，，推出，由此即可判断．
【详解】解：如图，
∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题．
9. 通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（ ）
A 点B. 点C. 点D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可．
【详解】根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示：
根据图形可以看出是反射光线，
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法，根据轴对称的性质得相等的角是补全光线的关键．
10. 已知在四边形中，，点P在之间，E为上一点，F为上一点，平分交于点G，交于点H．下列结论：
①，②，③．
其中正确的结论共有（ ）个．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论：如图，当时，设 再结合角平分线的定义与平行线的性质逐一进行计算再判断即可；当时，如图，设 再结合角平分线的定义与平行线的性质逐一进行计算再判断即可.
【详解】解：如图，当时，
设
平分交于点G，




，故①符合题意；
，故②符合题意；
，故③符合题意；
当时，如图，
设
同理可得：①②符合题意；
而
故③不符合题意；
综上：①②符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 一个多边形内角和与外角和的差为，则它是 _____边形．
【答案】九
【解析】
【分析】根据题意，可知多边形的内角和为，多边形的外角和是，再根据内角和外角和列出方程，求出边数即可．
【详解】解：设这是一个n边形，则
，
解得．
答：它的边数是九边形．
故答案为：九．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角和，根据外角和的度数以及内角和度数之间的关系列出方程是解出本题关键．
12. 一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则该正多边形的边数为______．
【答案】12##十二
【解析】
【分析】一个多边形的每个内角度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角和的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
【详解】设多边形的每个外角为，则其内角为：，
解得：，
即这个多边形是：．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
13. 若(2x＋1)0＝1，则x的取值范围是_____.
【答案】x≠-
【解析】
【详解】任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.由此可得2x+1≠0，解得，所以当(2x＋1)0＝1，x的取值范围是.
14. 如图，中，，以点A为圆心，长为半径作弧；以点B为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则的度数为__________．
【答案】34°或80°
【解析】
【分析】由作法得，AD=BC，BD=AC，利用SSS证△ABD≌△BAD，得出∠ABD=∠BAC=23°，再分两种情况：当点D在AB上方时，当点D在AB下方时，分别求解即可．
【详解】解：由作法可知，AD=BC，BD=AC，
又∵AB=AB，
∴△ABD≌△BAD（SSS），
∴∠ABD=∠BAC=23°，
当点D在AB上方时，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=57°-23°=34°；
当点D在AB下方时，
∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=57°+23°=80°；
∴∠DBC的度数为34°或80°，
故答案为：34°或80°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题意关键是要分类讨论，以免漏解．
15. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是_____．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可.
【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.
【点睛】做辅助线证明全等是解题关键.
三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图，在中，，D为上一点，且，过D作，连接，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得到，则，则，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和，
，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求平方根的方法解方程，证明是解题的关键．
17. 证明命题：三角形的外角和等于360°．（要求画出图形，写出已知、求证、证明）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可．
【详解】已知：为三个外角，
求证：．
证明：∵，，
∴
∵
∴
【点睛】本题抓药考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．
18. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．
（1）图1中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示；
（2）图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含、的式子表示；
（3）图1，图2中空白部分面积、分别为19、68，求值．
【答案】（1）
（2）
（3）15
【解析】
【分析】（1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积；
（2）等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积；
（3）先用，表示，再列方程求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：由图形，得；
【小问3详解】
解：，
，
∴，得．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键．
19. 翻开史书，中华文化灿烂的历史展现在眼前，尤其是红色革命文化的精神，值得人们传承和弘扬，一部部红色典籍更是每个时代都需要的精神食粮．某学校计划开设阅读课让同学们学习革命文化，便购买了《红岩》和《林海雪原》供学生阅读，首次购买书籍的单价及花费如下表：
已知首次购买到的两种书籍数量相等．
（1）求学校购买的两种书籍的单价各为多少元？
（2）首次购书之后，学校发现学生对革命文化有了更深入的了解，现打算再次购买500本，这一次学校共花费6600元，那么这次购买《林海雪原》多少本？
【答案】（1）《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本
（2）300本
【解析】
【分析】（1）根据表中数据列出分式方程，解方程并检验结果即可；
（2）设购买《林海雪原》本，根据题意列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题知，学校购买《红岩》的单价为元/本，
购买《林海雪原》的单价为元/本，，
则根据题意，得，解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意
∴．
答：学校购买《红岩》的单价为15元/本，《林海雪原》的单价为12元/本．
【小问2详解】
解：设购买《林海雪原》本，，则购买《红岩》本，
根据题意，得，
解得．
答：这次购买《林海雪原》300本．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．
20. 在中，，平分，交于点D，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得；
（2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，∵平分，
∴，，
在中，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
∵E是的中点，，
∴，即；
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质．
21. 【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是 ．
． ． ． ．
（2）求得的取值范围是 ．
． ． ． ．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：．
【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
（1）根据，，推出和全等即可；
（2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
（3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：在和中
，
，
故选B；
（2）解：由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选C．
（3）证明：如图2，延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
，
即．《红岩》
《林海雪原》
单价（元/本）
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