河北省邯郸市馆陶县实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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九上全册
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚．
3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A. 2B. C. 2或D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程”．
根据一元二次方程定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
，
又，
，
，
故选：B．
2. 点A、、都在上，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半．根据圆周角定理的含义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
3. 若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可．
【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为，
所以它们的对应高之比为，
故选：A．
4. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据若，则即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5. 在阳光下，嘉琪身高，自己影子的长是，同一时刻测得工厂的国旗旗杆比企业旗的旗杆影子长，则该旗杆的高度差是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形相似的应用，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
设该旗杆高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等列比例式求解即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意得，，解得．即该旗杆的高度是．
故答案为：C．
6. 某学校规定学期体育成绩满分10分，其中平时测试、期中考试、期末考试三项得分依次按的比例计入学期体育成绩．佳硕三项成绩分别是8分、8分、9分，则学期体育成绩为（ ）
A. 分B. 分C. 分D. 分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是加权平均数的计算，直接利用加权平均数公式进行计算即可．
【详解】解：依题意得：
（分），
则佳硕这学期的体育成绩是分，
故选B
7. 已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上的点，横纵坐标值的乘积等于比例系数，逐一判断即可．
【详解】解：，
点的坐标可能为，
故选：A．
8. 如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（ ）
A. 甲与丙B. 甲与乙
C. 乙与丙D. 三个矩形都不相似
【答案】A
【解析】
【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．
【详解】解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3，
∴甲和丙相似，
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例．
9. 关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根与判别式的关系，根据一元二次方程无实数根判别式小于0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
10. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（ ）
A. 1B. 5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查方差的定义及加权平均数的计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义．
【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、，
∴这组数据的的平均数为，
故选D．
11. 如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为12cm，被分为60等份．如果小玻璃管口正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是（ ）

A. 8cmB. 10cmC. 20cmD. 60cm
【答案】A
【解析】
【分析】易知，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
故选A．
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12. 如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
13. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可．
【详解】解：当是的垂线时，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
根据作图痕迹可知，
A选项中，是的角平分线，不符合题意；
B选项中，不与垂直，不符合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，不与垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．
14. 如图，四边形内接于，是延长线上一点，如果的半径为，，那么的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，由圆内接四边形的性质得出，由圆周角定理得出，再由弧长公式即可求出的长．
【详解】解∶连接、，如图所示∶

∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴的长．
故选∶ D．
【点睛】此题综合考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质、弧长公式；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
15. 如图，已知的半径为5，所对的弦长为6，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，点、之间的距离是（ ）．

A. 5B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理和旋转的性质，
根据垂径定理可得，由勾股定理求出，由旋转的性质可得，，进而可解答．
【详解】解：设所在圆的圆心是O，连接交于H，连接，如图所示：

依题意得：，
点是的中点，且为半径，
，
中，
，
，
在中，
，
由旋转的性质可得：，，
，
故选：D．
16. 如图，等腰直角三角形中，，顶点A、在反比例函数图象上，点一定在（ ）．
A. 函数图象上B. 函数图象上
C. 函数图象上D. 函数图象上
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质和几何意义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质；
作轴于点E，轴于点F，连接，根据反比例函数的性质得，再证明，得出，设出点C的反比例函数式，进而可解答．
【详解】解：作轴于点E，轴于点F，连接，
顶点A、在反比例函数图象上，
，
又三角形是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设点，
则，
，
，
设点在图象上，
，
点在反比例函数图象上，
，
，
点在图象上，
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分．把答案写在题中横线上）
17. 已知关于的方程，方程的解是_____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运用配方法解一元二次方程；
根据配方法即可解答．
【详解】解：
，
，，
故答案为：，．
18. 反比例函数的图象在第_____象限，若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是_____．
【答案】 ①. 一、三 ②.
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
先判断出反比例函数图象所在的象限，再由各点横坐标的大小判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【详解】解：，
反比例函数的图象在第一、三象限，
在每一象限内y的值随x的增大而减小，
，
，
，
故答案为：一、三；
19. 如图，若和的面积分别为，，
（1）=_____（用三角函数表示）；
（2）_____（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】 ①. ②. ＝
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，（1）过A点作于G，过D点作于H．在中，根据三角函数可求，在中，根据三角函数可求，根据三角形面积公式可得，（2）由（1）即可得解，关键是要熟练掌握好边角之间的关系，作出高线
【详解】（1）过A点作于G，过D点作于H，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
（2）由（1）知：．
∴．
故答案为．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
20. 山东淄博烧烤火遍中国，吸引各地游客，某烧烤店2月份的利润10万元，要使4月份的利润达到万元，求平均每月增长的百分率．
【答案】每个月增长的百分率为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，设平均每月增长的百分率为，由题意得：，解方程计算即可．
【详解】解：设平均每月增长的百分率为，由题意得：，
解得，（舍去），
答：每个月增长的百分率为．
21. 图1是木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，点，离地高度均为，水平距离，求半径的长．

【答案】半径的长为
【解析】
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，如图，连接，过点O作于点E，交弧于点F．利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，作半径交于，

则，，
设，则，
在中，
，
解得：
答：半径的长为．
22. 已知如图，是的中线，且，E为上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，试求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由得，再根据等角的补角相等求出，结合已知即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质可得，求出，结合已知代入计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵是的中线，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用已知相等角，等角的补角相等，证明三角形相似是解题的关键．
23. 如图，为了推广全民健身活动，九（1）班同学到某小区随机调查了名居民，把每周锻炼身体时间统计制成条形统计图，其中每周锻炼3小时的人数被污染，班长只记得中位数是2小时，只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，中位数就会变大．
（1）求的值，并补全条形统计图；
（2）求众数和平均数（若除不尽，结果保留一位小数）．
【答案】（1）49，见解析
（2）2；
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数，平均数的计算
（1）根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有x人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人，根据中位数是2小时，只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，分类计算即可．
（2）根据众数和平均数的定义计算即可．
【小问1详解】
根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有x人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人，
∵中位数是2小时，
故中位数是第25个数据2小时或第中位数是第24个数据，第25个数据的平均数为2小时，
∵只要再调查1名居民且锻炼时间不低于3小时，中位数就会变大．
∴中位数是第26个数据或第25个数据，第26个数据的平均数，中位数都大于2小时，
当中位数是第25个数据2小时，数据；增加一个数据后，中位数是第25、26个数的平均数，大于2小时，符合题意；
当第中位数是第24个数据，第25个数据的平均数为2小时，数据；
增加一个数据后，中位数是第25个，为2小时，没有变大，不符合题意；
故，
此时每周锻炼3小时的人数为，补图如下：
【小问2详解】
根据题意，每周锻炼1小时有10人，每周锻炼2小时有15人，每周锻炼3小时有9人，每周锻炼4小时有10人，每周锻炼5小时有5人，
故众数2小时，
平均数为．
24. 如图，点，点，点，连接，过点作曲线交线段于点（不与点、重合），已知．
（1）当时，作曲线把线段分成两部分，求；
（2）当时，线段、图象和坐标轴围成的区域（不含边界）整点个数为8时，求的取值范围．（注：横、纵坐标均为整数的点称为整点）
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】本题目是双曲线的综合题，熟练掌握分类讨论的思想，是解题的关键．
（1）分或两种情况分类讨论，利用待定系数法即可求解；
（2）将，，，分别代入双曲线，即可求出整点个数，然后得到时的整点个数来确定的取值范围．
【小问1详解】
时，
当时，点坐标为，
∴，解得；
当时，点坐标为，
∴，解得；
∴或；
【小问2详解】
曲线过，
∴，
当时，，有整点，，
当时，，有整点，
当时，，有整点，
当时，，有整点，
当时，，无整点，
即时，在曲线和坐标轴围成的区域（不含边界）共有5个整点，
∴当时，整点个数应为，
所以．
25. 如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．

（1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长；
（2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，）
【答案】（1）36cm；
（2）变化了，长度增加了4cm．
【解析】
【分析】（1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图1，过点D作于点F，
由题意知，
∴，，
∴．
【小问2详解】
如图2，过点D作于M，过点E作于点N，
由题意知四边形是矩形，
∴，
在中，
，，
在中，，
∴由勾股定理可得，
则，
原来，
，
∴变形前后两轴心的长度增加了．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
26. 【问题背景】如图1，点，，在同一直线上，，易证：；
（1）在图1中，当点为中点时，求证：；
【拓展应用】如图2，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．
（2）求证：；
（3）若，，求线段长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由相似三角形的性质推出，等量代换得到，利用相似三角形的判定定理即可证明结论成立；
（2）证明，推出，再证明，即可证明结论成立；
（3）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理列式得到，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：，
，
点为中点，
，
又，
；
【小问2详解】
证明：由折叠可得，，，，
∴，
，，
由（1）得，
，
即；
【小问3详解】
解：在中，，，
∴，
∵点为中点，
∴，
在中，，
由（2）得，
∴，
解得或，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解一元二次方程以及全等三角形的判定和性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．