河北省2024届九年级上学期中考模拟数学试卷(含解析)

这是一份河北省2024届九年级上学期中考模拟数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，下列计算，已知，则多项式的值为等内容，欢迎下载使用。

考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题(本大题有16个小题，共42分。1～10小题各3分，11～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若时，化简（ ）
A．B．C．D．
2．把长为2023个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（ ）
A．2022个B．2023个 C．2022或2023个 D．2023或2024个
3．如图，将一个含的三角板，绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，且，则线段（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
5．2022年10月12日下午，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，神舟十四号飞行乘组三位航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进行授课，央视新闻抖音号进行全程直播，某一时刻观看人数达到421.1万，421.1万用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特·海恩发明的，它是由7个不规则的积木单元，拼成一个的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（ ）
A．B．C．D．
8．用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则多项式的值为（ ）
A．24B．18C．D．
10．如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
11．如图，边长为4的正方形内接于，E是劣弧上的动点（不与点A，B重合），F是劣弧上一点，连接，，分别与，交于点G，H，且，则在点E运动过程中，下列关系会发生变化的是（ ）
甲：与之间的数量关系；乙：的长度；
丙：图中阴影部分的面积和
A．只有甲B．只有甲和乙C．只有乙D．只有乙和丙
12．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是的外角，求证：．
证法1：如图．
∵（三角形内角和定理）
又∵（平角定义）
∴（等量代换）
∴（等式性质）
证法2：如图，
∵，，
且（量角器测量所得）
又∵（计算所得）
∴（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
13．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（ ）
A．；B．；C．；D．；
14．2022年12月4日11时01分，神州十四号载人飞船与空间站组合体成功分离返回地球，为了欢迎在中国空间站出差183天的航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲回家，北京市育英学校举行了“我的航天梦”英语演讲比赛．有9名学生通过海选进入决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A．众数B．频率C．平均数D．中位数
15．如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
16．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D．9月份该厂利润达到200万元
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中19小题第一空1分，第二空2分)
17．小明在学习圆的相关知识时，看到书本上提到可以用一把丁字尺（如图1）来找圆心，他想到爸爸的工具箱里有丁字尺，于是想利用丁字尺还原一个破损的圆，已知尺头，尺身刻度线垂直平分，他摆出的情况如图2，发现两次测量丁字尺的尺身交于刻度为6cm的位置，则这个破损的圆的直径是_______cm.
18．在中，，点分别为的中点，，连接，将分成四块，如图（1）中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，则___________．
19．如图①，为四个等圆的圆心，为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是___；
如图②，为五个等圆的圆心，为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 __．（答案不唯一）
三、解答题(本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．（7分）已知：整式，，，整式．
(1)当时，写出整式的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式；
(3)嘉淇发现：当取正整数时，整式、、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
21．（8分）我们定义：一个整数能表示（a，b是整数）的形式，则这个数为“和谐数”，例如8是“和谐数”，理由：因为，所以8是“和谐数”．
(1)请判断14______“和谐数”（填“是”或“不是”）；
(2)请你写出一个大于14且小于20的“和谐数”：______；
(3)当整数m，n满足时，求“和谐数”的值；
(4)若实数x，y满足，求的最小值．
22．（8分）小红、小明、小亮要参加某电视台组织的主持人演讲比赛，按程序分别进行答辩、笔试和网络投票，
(1)在进行答辩之前，需要抽签决定答辩次序，直接写出小红抽到第一个答辩的概率；
(2)答辩、笔试成绩如下表，网络投票每张选票只限填写小红、小明、小亮其中的一人，且每张得票记1分，统计选票后，绘出不完整的统计图．
答辩、笔试成绩统计表
根据以上信息，请解答：
①网络选票总数是________；补全条形统计图：
②比赛组委会将答辩、笔试和网络投票三项得分按5∶4∶1的比例确定每人的总成绩，分数最高者为冠军，请你通过计算说明谁是冠军．
23．（10分）对于平面直角坐标系中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图．
(1)已知点A的坐标为，点P关于点A的“垂链点”为点Q；
①若点P的坐标为，则点Q的坐标为_______________；
②若点Q的坐标为，则点P的坐标为__________；
(2)如图2，已知点C的坐标为，点D在直线上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标；
(3)如图3，已知图形G是端点为和的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点，使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围．
24．（10分）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且该抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．我们规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包括边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．
(1)如果抛物线经过点．
①求的值；
②直接写出“区域”内整数点的个数；
(2)当时，如果抛物线在“区域”内有4个整数点，求的取值范围；
(3)当时，抛物线与直线交于点，把点向左平移5个单位长度得到点，以为边作等腰直角三角形，使，点与抛物线的顶点始终在的两侧，线段与抛物线交于点，当时，直接写出的值．
26．（14分）的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且．
(1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______；
(2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：；
(3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由；
(4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比．
参考答案：
1．B
解析：解：，
，
，


．
故答案为：B．
2．D
解析：解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点；
个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点；
个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点；

个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点；
∴2023个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住2024个点，两端不在整数点上，盖住2023个点；
故答案为：D．
3．A
解析：解：如图，连接，延长交于点，
由旋转可知，，，，，
为等边三角形，
，
在与中，
，，，
（），
，
∴，且，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
4．D
解析：解：①，计算错误，不符合题意；
②，计算错误，不符合题意；
③，计算错误，不符合题意；
∴计算正确的有0个，
故选D．
5．B
解析：解：421.1万＝＝．
故选：B．
6．C
，即可求出的长．
解析：解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
故选：C．
7．D
解析：解：A、B、C三个选项中俯视图都是由3个小正方形组成，D选项俯视图中有4个小正方形组成，因此俯视图面积最大的是D选项中的图形，故D正确．
故选：D．
8．A
解析：解：设，
可化为，
∴，
∴，
故选：A．
9．D
解析：解：∵，
∴
．
故选：D．
10．A
解析：解：正三角形的每个内角是：，
正方形的每个内角是：，
正五边形的每个内角是：
，
正六边形的每个内角是：
，
则
．
故选：A．
11．C
解析：解：如图，连接，
∵正方形内接于，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即与之间的数量关系不变；
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
而在点E运动过程中，的长度在发生变化，
∴的长度会改变；
根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为，不变；
综上所述，关系会发生变化的是乙．
故选：C
12．B
解析：解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
B的说法正确，符合题意；
C、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
D、∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意，
综上，B的说法正确，
故选：B．
13．C
解析：∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；
∴，，，
∴，
故王师傅的依据为：；
∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为，
∴，，且，
∴，
故学生小顾的依据为：；
故答案为：C
14．D
解析：解：∵有9名学生参加比赛，一名学生想知道自己能否进入前5名，
∴这名学生要知道这组数据的中位数，
故选：D．
15．A
解析：解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB．
∵四边形ABDC是矩形，
∴AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，
∴C（-3，0），B（0，4），
∵∠CDB=90°，
∴BC==5（cm），
∵EH∥CD，
∴△BEH∽△BCD，
∴，
∴，
∴EH=0.3t，BH=0.4t，
∴E（-0.3t，4-0.4t），
∵F（0，0.4t），
∵QE=QF，
∴Q（-t，2），
∴点Q在直线y=2上运动，
∵B，D关于直线y=2对称，
∴QD=QB，
∴QP+QD=QB+QP，
∵QP+QB≥PB，PB==2(cm)，
∴QP+QD≥2，
∴QP+QD的最小值为2．
故选：A．
16．C
解析：A、设反比例函数的解析式为，
把(1,200)代入得，k＝200，
∴反比例函数的解析式为：，
当x＝4时，y＝50，
∴4月份的利润为50万元，正确意；
B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；
C、当y＝100时，则，
解得：x＝2，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．
D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，
则，解得：，
故一次函数解析式为：y＝30x−70，
故y＝200时，200＝30x−70，
解得：x＝9，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．
故选：C．
17．
解析：如图：确定圆心O，依题意：
在直角中：
故答案为．
18．
解析：解：，
在的垂直平分线上，
点分别为的中点，
，
，
，
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，设交于，过作于，过作于，延长交轴于，如图：

设，
，
，
又，
，
，即，
，
，
，
同理，
，
，
，
，
同法可得，
设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
设直线解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立得，解得：，
，
在中，令得，
，
四块图形恰好能拼成如图（2）的矩形，
，
，
，
，
化简整理可得，
，
，
在中，
，
故答案为：．
19． 作图见解析，和（答案不唯一） 作图见解析，与的交点和（答案不唯一）
解析：解：图①既是轴对称图形，也是中心对称图形，则只需过它的对称中心任意画一条直线即可，如图所示：
如过的一条直线（答案不唯一），
故答案为：和；
图②它不是中心对称图形，
图①中，直线过图形的对称中心即可；一个圆时，只要过圆心即可，则画一条过和的交点和的直线即可，如图所示：
故答案为：与的交点和．
20．(1)
(2)
(3)正确，理由见解析
解析：（1）解：，
当时，
原式

；
故答案为：；
（2）


；
（3）嘉淇的发现正确，理由如下：


，
，
当取正整数时，整式、、满足一组勾股数．
21．(1)是
(2)18
(3)12或14
(4)12
解析：（1）解：∵，
∴14是“和谐数”；
故答案为：是
（2）解：∵，
∴18是“和谐数”；
故答案为：18
（3）解：∵，
∴，
∴，解得：，
∴当时，，
当时，，
综上所述，“和谐数”的值为12或14；
（4）解：∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴的最小值为12．
22．(1)；
(2)①300张；条形图见解析；②小明；
解析：（1）
解：∵三人抽到第一个答辩的概率相等，
∴小红抽到第一个答辩的概率为．
（2）
解：①由小红的得票数和百分比可得：
总票数=102÷0.34=300（张）；
小亮的票数=300-102-108=90（张）；
∴完整条形图为：
②由答辩、笔试和网络投票三项得分按5∶4∶1的比例确定每人的总成绩，可得：
小红得分=92×0.5+85×0.4+102×0.1=90.2（分）；
小明得分=89×0.5+88×0.4+108×0.1=90.5（分）；
小亮得分=90×0.5+89×0.4+90×0.1=89.6（分）；
小明分数最高，
故：小明是冠军．
23．(1)①
(2)或
(3)或
解析：（1）点A的坐标为，即点A是原点，根据旋转性质得：①点②点，
故答案为，
（2）①当点D在第一象限时，点D关于点C的“垂链点”在x轴上，
轴，
故点；
②当点D在第二象限时，如下图，设点，点(0，n），
点D的“垂链点”在y轴上，
过点D作轴于点H，
，
，
，,
，
则，即，解得：，
故点，
综上，点或
（3）图形G所在的直线表达式为：，
设点，其中，
当N落在正方形的右边的一条边上，
①当T在x轴上方时，如下图：
分别过M、N作y轴的垂线交于点、，
同理可证：M，
，即，，
而，且，
则；
②当T在x轴下方时，
当时，点M关于点T的“垂链点”恰好为N在正方形的边上，
故；
当点T在下方时，且，
同理可得：解得：且，不符合题意舍去；
当N点落在正方形的上面的一条边上时，同理可得：，而，且，
解得：，
综上，t的取值范围是：或．
24．(1)支撑杆的高度为9cm．
(2)手机的宽度为8cm．
解析：（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，

即



所以此时支撑杆的高度为9cm．
（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，
由题意可得：
∴四边形为正方形，



设
则


由勾股定理可得：
解得
经检验不符合题意，舍去，取
（cm），
即手机的宽度为8cm．
25．(1)①；②6个
(2)当时，“区域”内有4个整数点；
(3)或
解析：（1）解：①∵抛物线经过点，
∴，
解得；
②∵，
∴，
令，则，
解得或，
∴A，B，
当时，，
∴在y轴上有整点，，
当时，，
∴在的直线上有整点，，
当时，，
∴在x=2的直线上有整点，，
综上所述：“区域G”内整数点共有6个；
（2）解：令，则，
解得或，
，，
，
抛物线的对称轴为直线，
“区域”内有4个整数点，
在对称轴上有2个整数点，在和上各有一个整数点，
当时，，
解得，
当时，“区域”内有4个整数点；
（3）解：当时，，
，
点向左平移5个单位长度得到点，
，
，
，抛物线的对称轴为直线，
当时，点与抛物线的顶点重合，当时，点始终在顶点的上方，
点与抛物线的顶点始终在的两侧，
点在点上方，
，
过点作交于，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，，
，
，
点在抛物线上，
，
解得或．
26．(1)，；
(2)证明见解析
(3)，证明见解析；
(4)
解析：（1）解：∵，，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴，；
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
而，
∴．
（3）解：，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
（4）解：∵，，
∴，
如图，
在上截取，而，
∴，，
∴，而，
∴，，
∴． 姓名成绩
小红
小明
小亮
答辩成绩（分）
92
89
90
笔试成绩（分）
85
88
89