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2024武威凉州区高二下学期开学质量检测试题数学含答案
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这是一份2024武威凉州区高二下学期开学质量检测试题数学含答案，共5页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设不同的直线，若，则的值为，已知等差数列，若，则，圆心为，半径为2的圆的方程为，已知是等比数列，若，，则，己知直线，则下列选项中正确的有，带有编号、、、、的五个球，则等内容，欢迎下载使用。
总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在数列 中，，则 （ ）
A．2B．C．D．
3．设不同的直线，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．4
4．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种B．12种C．20种D．36种
5．已知等差数列，若，则（ ）
A．20B．24C．28D．32
6．圆心为，半径为2的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．2D．4
8．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题:本大题共有4个小题,每小题5分，共20分,在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．己知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l的斜率为B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第四象限D．直线l的一个方向向量为
10．带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
11．已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（ ）
A．
B．圆与圆有且仅有2条公切线
C．直线被圆截得的弦长为
D．圆在点处的切线方程为
12．已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C的离心率为
C．D．C的渐近线方程为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共有4个小题,每小题5分，共20分.
13．小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上，若要求《大学》《中庸》两本书相邻，则不同的摆放种数为 ．（用数字作答）
14．点到直线的距离是 ．
15．已知正项等比数列的前3项和为26，且数列的前3项和为，则 .
16．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 .
四、解答题:本大题共有6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列和正项等比数列满足：，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和.
18．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分.
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数.
19．已知圆和圆．
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
20．已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等.
问题：直线经过两条直线和的交点，且______.
（1）求直线的方程；
（2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
22．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．A 8．B 9．AD 10．AC 11．AD 12．AB
13．240 14．/2.4 15．6 16．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①，
由可得：，即②，
联立①②解得：或，因，故，
于是，.
（2）由（1）得：，，则，
故
.
18．(1)36
(2)30
【详解】（1）学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，且不能抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡，
则不同的抽法种数为.
（2）学生乙最终获得7分的情况有2种：一种是抽中3张“龙”卡和1张其他卡，另一种是抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡.
不同的抽法种数为.
19．(1)证明见解析；
(2)公共弦方程为，公共弦的长为.
【详解】（1）由题设，则，
，则，
所以，即圆和圆相交；
（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，
又到的距离，
所以公共弦的长为.
20．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意：，当时，，
两式相减即得：，
因时，，满足上式，
故；
（2），
则，
，
两式相减可得：，
故．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）由，解得交点坐标为.
选①，垂直于直线
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选②，平行于直线，
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选③，截距相等，
当直线经过原点时，，符合题意；
当直线不过原点时，设为，其经过点，
故，即.得直线：.
故直线的方程为或（或）.
（2）由（1）知选①时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，，
故.
选②时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，，
故.
选③时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，.
故.
22．(1)
(2)① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，
所以，故椭圆C的方程为．
（2）①由消去y，化简得：，
设，，则，
，，
故，
因为，所以，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．
总分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在数列 中，，则 （ ）
A．2B．C．D．
3．设不同的直线，若，则的值为（ ）
A．B．C．1D．4
4．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种B．12种C．20种D．36种
5．已知等差数列，若，则（ ）
A．20B．24C．28D．32
6．圆心为，半径为2的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．2D．4
8．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题:本大题共有4个小题,每小题5分，共20分,在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9．己知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l的斜率为B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第四象限D．直线l的一个方向向量为
10．带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
11．已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（ ）
A．
B．圆与圆有且仅有2条公切线
C．直线被圆截得的弦长为
D．圆在点处的切线方程为
12．已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C的离心率为
C．D．C的渐近线方程为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共有4个小题,每小题5分，共20分.
13．小陈同学准备将新买的《大学》《左传》《孟子》《论语》《诗经》《中庸》六本书立起来放在书架上，若要求《大学》《中庸》两本书相邻，则不同的摆放种数为 ．（用数字作答）
14．点到直线的距离是 ．
15．已知正项等比数列的前3项和为26，且数列的前3项和为，则 .
16．已知点是抛物线：上的动点，过点作圆：的切线，切点为，则的最小值为 .
四、解答题:本大题共有6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知等差数列和正项等比数列满足：，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和.
18．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张.每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”4张卡片，则额外获得2分.
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的不同的抽法种数.
19．已知圆和圆．
（1）求证：圆和圆相交；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．
20．已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.
①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等.
问题：直线经过两条直线和的交点，且______.
（1）求直线的方程；
（2）直线不过坐标原点，且与轴和轴分别交于、两点，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
22．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．
①求证：的面积为定值；
②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．A 8．B 9．AD 10．AC 11．AD 12．AB
13．240 14．/2.4 15．6 16．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为，的公比为，由可得：，即①，
由可得：，即②，
联立①②解得：或，因，故，
于是，.
（2）由（1）得：，，则，
故
.
18．(1)36
(2)30
【详解】（1）学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，且不能抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡，
则不同的抽法种数为.
（2）学生乙最终获得7分的情况有2种：一种是抽中3张“龙”卡和1张其他卡，另一种是抽齐“福”“龙”“迎”“春”卡.
不同的抽法种数为.
19．(1)证明见解析；
(2)公共弦方程为，公共弦的长为.
【详解】（1）由题设，则，
，则，
所以，即圆和圆相交；
（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，
又到的距离，
所以公共弦的长为.
20．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意：，当时，，
两式相减即得：，
因时，，满足上式，
故；
（2），
则，
，
两式相减可得：，
故．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）由，解得交点坐标为.
选①，垂直于直线
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选②，平行于直线，
设直线的方程为：，其过点，则，
即，故直线的方程为.
选③，截距相等，
当直线经过原点时，，符合题意；
当直线不过原点时，设为，其经过点，
故，即.得直线：.
故直线的方程为或（或）.
（2）由（1）知选①时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，，
故.
选②时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，，
故.
选③时，直线的方程为，
可知其在轴和轴的交点分别为，.
故.
22．(1)
(2)① 证明见解析；②不存在，理由见解析
【详解】（1）由题意知，焦距，故，又，故，
所以，故椭圆C的方程为．
（2）①由消去y，化简得：，
设，，则，
，，
故，
因为，所以，
所以，
坐标原点到直线l的距离为，
所以的面积为，
故的面积为定值．
②假设存在椭圆上的点P，使得OAPB为平行四边形，则，
设，则，
又因为，即，得，
与矛盾，
故椭圆上不存在点P，使得OAPB为平行四边形．
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