24，吉林省长春市朝阳区第二实验学校2023-2024学年九年级上学期第四次月考数学试题

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论．
【详解】解：由图可知：到原点的距离最短，
∴在这四个数中，绝对值最小的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较，掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数是解题的关键．
2. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城将成为杭州2023年亚运会的主场馆，杭州奥体博览城核心区占地154．37公顷，建筑总面积为2720000平方米，请将数据2720000用数学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：将2720000用科学记数法表示为．您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3. 下列运算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则准确计算即可．
【详解】∵不是同类项,
∴无法计算，
故A不符合题意；
∵，
∴故B不符合题意；
∵，
∴故C不符合题意；
∵，
∴故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，乘法，积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，
故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
5. 如图，切于，过圆心点，是弦，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质及圆周角定理，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，解题的关键是熟练掌握切线的性质及圆周角定理的应用．
【详解】解：∵切于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 如图是一款汽车千斤顶，其主要部件为四根连杆组成的菱形和螺旋杆，当，时，，两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】：连接交于，由菱形的性质可知，且，，在中，可得，进而求得．
【详解】解：连接交于，
∵四边形是菱形，
∴，且，，
则在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用及菱形的性质，连接对角线构造直角三角形是解决问题的关键．
7. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、一次函数与几何综合，过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解．
【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，

∴，
∴，
∴，
设B点坐标为，则，
∵点B为的中点，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴A点坐标为，
根据题意得，
解得，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用公式法分解因式．直接利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
【答案】9
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
11. 某种苹果的售价是每千克5元，用面值为100元的人民币购买了千克，应找回_______元．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查列代数式，属基础题，简单．根据单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱列式即可．
【详解】解：根据题意，a千克苹果售价为元，所以应找回元．
故答案为：．
12. 如图，以正六边形的顶点C为旋转中心，将正六边形按顺时针方向旋转，使得D的对应点落在直线上，则正六边形至少旋转_________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查正六边形的性质以及旋转的性质，掌握正六边形以及旋转的性质是正确解答的前提．根据旋转的定义以及正六边形的性质进行计算即可．
【详解】解：以正六边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，
则正六边形旋转的最小角度是正六边形的一个外角，即，
故答案为：．
13. 将透明的三角形纸板按如图所示的方式放置在量角器上，使点B，C落在量角器所在的半圆上，且点B，C的读数分别为，若该量角器所在半圆的直径为，则弧的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查弧长的计算，连接，先求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接．
由题意，，
又该量角器所在半圆的直径为，
∴，
∴弧的长为．
故答案为：．
14. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表：
则该运动员踢出的足球在第_________s落地．
【答案】8
【解析】
【分析】此题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
【详解】解：由题意可设抛物线解析式为：，
当时，；当时，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
解得：或，
则该运动员踢出的足球在第落地，
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15 先化简，再求值：，其中．
【答案】；4
【解析】
【分析】利用平方差公式变形后，整理后可将原式化简为，再代入即可求出结论．
【详解】解：原式
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，灵活运用平方差公式变形是解题的关键．
16. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母表示这三个材料），将分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小勇先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．请用列表或面树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．
【答案】见解析，他俩诵读两个不同材料的概率.
【解析】
【分析】本题既可采用画树状图法，也可采用列表法．画树状图时，先固定小勇抽取的情况，再分别画出所有可能的情况；列表时可用横向表示小勇，纵向表示小智．
【详解】解：方法一：列表如下：
一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种，
（他俩诵读两个不同材料）．
方法二：画树状图如下：
一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种，
（他俩诵读两个不同材料）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率.
17. 学校组织学生到离学校的生态园研学，队伍从学校坐大巴车出发．张老师因有事情，从学校自驾小车沿相同路线以大巴车倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前分钟到达生态园．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴的平均速度为
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，先找出等量关系，再列方程求解即可，注意检验．
【详解】解：设大巴的平均速度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴的平均速度为
18. 如图，是的内接三角形，是的直径，，，点F在上，连接并延长，交于点D，连接，作，垂足为E．
（1）求证：．
（2）若，则_________．
【答案】（1）详见解析
（2）8
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解决本题的关键是证明．
（1）根据圆周角定理得，进而可以证明结论；
（2）利用相似三角形的性质可以求出，然后利用勾股定理求出．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
所对的圆周角为和，
，
；
【小问2详解】
解：
∴
，
，
而，，，
，
，
在中，．
19. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由．
【答案】（1）①3015辆，②68.3分
（2）选B款，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可；
②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）根据加权平均数的意义求解即可．
【小问1详解】
①由中位数的概念可得，
B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆；
②分．
∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为分；
【小问2详解】
给出的权重时，
（分），
（分），
（分），
结合2023年3月的销售量，
∴可以选B款．
【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
20. 如图，在的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．

（1）在图1中作出边上的点E，使得；
（2）在图2中作出边上的点F（不与点A重合），连接，使得；
（3）在图3中作出边上的点G，使得．
【答案】（1）见解析
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）构造线段，且使，连接，交于点E．利用相似三角形的性质即可证明点E是符合条件的点；
（2）过点A作，交于点F．连接，利用直角三角形的性质可证明点F是符合条件的点；
（3）取格点K，连接，交网格线于点G，连接，取格点M，N，利用相似三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点G是符合条件的点．
【小问1详解】
解：如图所示，取，，连接，交于点E．

∵，
∴
∴，
∴，
∴点E就是所求作的符合条件的点．
【小问2详解】
解：如图所示，过点A作，交于点F，连接，

∵于点F，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴点F就是所求作的符合条件的点．
【小问3详解】
解：如图所示，取格点K，连接，交网格线于点G，连接，取格点M，N，

∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键．
21. 随着“双减”政策落地，周末家庭野外郊游可能会成为我们的生活常态．小诚骑自行车从家里出发30分钟后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小诚离家一段时间后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程与小诚离家时间的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小诚骑车速度的3倍，根据图中的信息：
（1）妈妈驾车速度是_________．
（2）求小诚在游玩后前往乙地过程中，小诚离家的路程y与x的函数关系式．
（3）若妈妈比小诚还早30分钟到达乙地，则在妈妈出发后，直接写出小诚离家几小时后两人相距．
【答案】（1）60 （2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一元一次方程的应用．（1）先求出小诚骑自行车的速度为，再根据妈妈驾车的速度是小诚骑车速度的3倍求解即可．
（2）用待定系数法求解即可；
（3）设在妈妈出发后，直接写出小诚离家x小时后两人相距，分两种情况：当两人相遇前两人相距，当两人相遇后两人相距，
【小问1详解】
解：小诚骑自行车的速度为，
∵妈妈驾车的速度是小诚骑车速度的3倍
∴妈妈驾车的速度是．
【小问2详解】
解：设小诚在游玩后前往乙地过程中，小诚离家的路程y与x的函数关系式为，
把点代入，得，
解得，
；
【小问3详解】
解：设在妈妈出发后，直接写出小诚离家x小时后两人相距，
分两种情况：当两人相遇前两人相距，根据题意，得
解得：；
当两人相遇后两人相距，根据题意，得
，
解得：；
综上，在妈妈出发后，小诚离家小时或小时后两人相距．
22. 【感知】如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连结，过点D作，交的延长线于点M．求证：．
【探究】如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连结，过点Q作，交射线于点M．已知，，，直接写出的值．
【应用】如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上，连结，作，的边交边于点M．若，，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差推出，，，利用即可证明；
（2）作于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质推出，，根据角的和差推出，结合，推出，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出，则，根据矩形的性质推出，进而推出，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）根据题意推出，，推导出，，
，，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出，结合，推出，根据相似三角形的性质得出，根据题意推出，根据相似三角形的性质求出，据此求解即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图2，作于点，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
如图3，作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
23. 如图，在中，，，．点M、N分别是、的中点，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度沿向终点C运动（点P不与点N重合），当点P运动过程中作点P关于直线的对称点Q，点P的运动时间为t秒．

（1）线段的长是________．
（2）当点Q落在边上时，求t的值．
（3）当与重叠部分图形是等腰三角形时，求四边形与重叠部分图形的面积．
（4）当________时，线段最短，点Q从开始运动到此时的运动路径长是________．
【答案】（1）5 （2）或9
（3）或
（4）；
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得，再利用三角形中位线定理即可得到答案；
（2）过点C作于点D，分点P与点D重合和点P在点C处两种情况，分别求出点P经过的路径长，即可得到答案；
（3）分两种情况：当点P在上时，设与交于点E，连结，设，利用勾股定理列方程求解，即可得到的长，进一步计算即可得到答案；当点P在上时，同理可得答案；
（4）分三种情况讨论：①当点P在上时，作直线，过点A作，当点P在点A处时，点Q在点H处，此时取得最小值为4；②当点P在上时，连结，设与交于点O，可得点C关于直线的对称点为点D，作关于直线的对称线段，过点A作，则点Q在线段上运动，当时，点Q在点G处，取最小值，并可求得最小值为；③当点P在上，则点在直线上，且点P在点处时，点Q在点处，此时取最小值，最小值即的长，且；综合①②③，即可得到的最小值和的值．
【小问1详解】
，
，
点M、N分别是、的中点，
；
【小问2详解】
过点C作于点D，
点P与点Q关于直线对称，
，
如图1，当点P上，点Q在点C处时，点P与点D重合，
，
，
，
，
如图2，当点P在点C处时，点Q在点 D处，
此时，
，
所以t的值为或9；
【小问3详解】
如图3，当点P在上时，设与交于点E，连结，
此时，设，则，，
在中，，
，
解得，
，
重叠部分图形的面积为，
如图4，当点P在上时，，
同理，可求得，
重叠部分图形的面积为，
综合以上可知，四边形与重叠部分图形的面积为或；
【小问4详解】
①如图5，当点P在上时，作直线，过点A作于点H，
点P与点Q关于直线对称，
，即点Q在直线上，
当点P在点A处时，点Q在点H处，此时取得最小值，
而，
；
②如图6，当点P在上时，连结，设与交于点O，
，，
，相似比为，
，
，是相似三角形的对应高，
，即，
即点C关于直线的对称点为点D，
作关于直线的对称线段，过点A作于点G，
则点Q在线段上运动，
当时，点Q在点G处，取最小值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
③如图7，当点P在上，连结，则点在直线上，
且点P在点处时，点Q在点处，此时取最小值，最小值即的长，且，
综合①②③可知，的最小值为，
此时，
．
【点睛】本题主要考查了轴对称的综合性问题，三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，利用勾股定理列方程和找到动点的路径是解答本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合．
（1）求a值．
（2）设点D是抛物线的顶点，过点P作直线轴交抛物线于点E，当时，求m的值．
（3）将抛物线上P、A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，求m的取值范围．
（4）设点，在平面内构造面积最小的矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂直且A，P，Q三点都在矩形的内部或边上，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小且平分该矩形面积时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）把代入，求解即可；
（2）求出，点E纵坐标为，根据，得到，求解即可．
（3）设抛物线与直线相交于M、N，求得，，然后利用图象法求解即可；
（4）构造面积最小的矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂直且A，P，Q三点都在矩形的内部或边上，且平分该矩形面积，所以为矩形的对角线，点A在矩形边上或内部；再根据当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，所以分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时；当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时；分别求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，得
解得：；
【小问2详解】
解：如图，

∵
∴
∴抛物线的顶点
∵点P在抛物线上，横坐标为m，
∴，
∵轴交抛物线于点E，
∴点E纵坐标为，
∵，
∴，
化简整理，得，
解得：．
【小问3详解】
解：联立得，
解得：，
如图，

设抛物线与直线相交于M、N，
∴，，
由图可得当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时， m的取值范围为或
【小问4详解】
解：∵构造面积最小的矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂直且A，P，Q三点都在矩形的内部或边上，且平分该矩形面积，
∴为矩形的对角线，点A在矩形边上或内部；
∵当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小
∴分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时，
如图：

∴，解得；
当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时，
如图：

∵时，
∴，解得；
综上，在平面内构造面积最小矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂直且A，P，Q三点都在矩形的内部或边上，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小且平分该矩形面积时， m的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形的面积，二次函数与一次函数图象的交点．此题是二次函数与几何的综合题目，属中考试压轴题目，难度较大．画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

0
2
3
6
…
0
…