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吉林省长春市五十二中赫行实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如图，，，，，则值为（ ）
A. 5B. 7.5C. 2.5D. 10
4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A 2026B. 2025C. 2023D. 2022
5. 如图，将一扇车门侧开，车门和车身夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 0.95米
6. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 27
7. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，，若四边形的面积为6，，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______．
11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．
12. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cs∠AOB的值是_____．
13. 如图中，点是中点，连接交于点，若面积为，则的面积为 _____
14. 如图，在矩形中，是AD边的中点，于点F，于G．连接．下列四个结论中正确的有_________．
①；②；③；④．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：．
16. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
18. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长．
19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）的面积为________．
（2）图①中，画出的中线AD；
（3）图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1．
20. 图1是一辆登高云梯消防车实物图，图2是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简?
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）；
（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．
①
②
③
④
在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______．
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）．
23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】（1）请根据相似三角形的判定定理的相关内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】：
（2）如图②，在中，垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，，则的长为_____________．
（3）如图③，在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结．点H为的中点，连结．设的长度为m．则m的最大值为_____________．
24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）．
（2）当点M与点C重合时，求t的值．
（3）设与重叠部分图形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式．
（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．猜想：如图．在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明．
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如图，，，，，则值为（ ）
A. 5B. 7.5C. 2.5D. 10
4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A 2026B. 2025C. 2023D. 2022
5. 如图，将一扇车门侧开，车门和车身夹角为，车门的底边长为0.95米，则车门底边上点N到车身的距离为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 0.95米
6. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 27
7. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
8. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，，若四边形的面积为6，，则k的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _______．
11. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______．
12. 如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cs∠AOB的值是_____．
13. 如图中，点是中点，连接交于点，若面积为，则的面积为 _____
14. 如图，在矩形中，是AD边的中点，于点F，于G．连接．下列四个结论中正确的有_________．
①；②；③；④．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：．
16. 解方程：x2+4x﹣12＝0．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．
18. 如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．求截去正方形的边长．
19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）的面积为________．
（2）图①中，画出的中线AD；
（3）图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1．
20. 图1是一辆登高云梯消防车实物图，图2是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点A在一定范围内转动，张角为，转动点A距离地面的高度为．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简?
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）；
（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．
①
②
③
④
在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______．
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）．
23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】（1）请根据相似三角形的判定定理的相关内容，结合图①，写出证明过程．
【定理应用】：
（2）如图②，在中，垂直于的平分线于点E，且交边于点D，点F为的中点．若，，则的长为_____________．
（3）如图③，在矩形中，，，点E在边上，且．将线段绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结．点H为的中点，连结．设的长度为m．则m的最大值为_____________．
24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段MP的长为________（用含t的代数式表示）．
（2）当点M与点C重合时，求t的值．
（3）设与重叠部分图形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式．
（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．猜想：如图．在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明．
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