北京市第二中学教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市第二中学教育集团2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x≠﹣2C．x＝2D．x＝﹣2
3．华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的D．缩小为原来的
6．如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为，则点到的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
二、填空题
9．若分式的值为0，则x的值是 ．
10．一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数是 ．
11．分解因式： ．
12．已知则的值为 ．
13．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．

14．若，则等于 ．
15．已知可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为 ．
16．如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．解方程：
20．先化简，再求值：已知，求代数式的值．
21．小刚同学在几何学习过程中有一个发现：直角三角形中，如果有一个锐角是，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半，下面是他的探究发现过程，请你与他一起用尺规完成作图并补全证明过程．
(1)尺规作图（保留作图痕迹）：已知一条线段，作出等边（点在线段上方），再作的角平分线交于；
(2)补全证明过程（写出结论依据）：
由作图可知：
∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴垂直平分（________），，
∴，，
又∵，
∴，
即在中，，，则．
22．已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
(2)在边上画出点，使的面积恰好是的面积的一半；
(3)已知为轴上一点，若与的面积相等，写出点的坐标．
24．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．
25．列分式方程解应用题
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期，某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买，两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，求每套型号的“文房四宝”的价格．
(1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整：
(2)请你完整解答本题．
26．已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像，这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
例如化简，方法一：需把原式写成后化简，化简的结果为；方法二：繁分式的分子分母同乘进行化简，化简的结果为．
请根据以上方法，回答下面的问题：
(1)繁分式化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式有意义，的取值范围是_______；
(2)若实数，满足，．
①_______（用含的式子表示）；
②求证：不论取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．
27．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点．
(1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______；
(2)如图2，当点在上运动时．
①直接写出的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：
若图形上存在点，满足，则称图形是点的“关联图形”．

(1)已知原点是点的“关联图形”，则点的坐标是_______；
(2)如图1，已知点，，当线段是点的“关联图形”时，在图1中画出所有满足条件的点所形成的图形，并指出线段可以通过怎样的几何变换得到该图形；
(3)如图2，已知是点的“关联图形"，其中点，，．
①当点在第一、三象限角平分线上时，的取值范围是_______；
②当时，请在图3中画出所有满足条件的点所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
型号
总价（元）
单价（元/套）
购买套数
型
型
3000
参考答案：
1．B
【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解．
【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选B．
2．A
【分析】分式有意义，分母不等于零，据此来求x的取值范围．
【详解】当分母x-2≠0．即x≠2时，分式有意义；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是记住分式无意义时分母为零．
3．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
【详解】解：．
故选：C．
4．C
【分析】根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断．
【详解】A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质、非零数的0次幂的意义．要注意几点：单独一个字母的指数为1，而不是0；幂的乘方是指数相乘，不是相加；进行积的乘方时，积中每个因式都要分别乘方；零指数幂、负整数指数幂的底数非0．
5．C
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍，
则有，
∴该分式的值是原分式值的，故C正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，给分子分母同时乘以一个整式（不为0），不可遗漏是解答本题的关键．
6．C
【分析】过点作于，于， 于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过点作于，于， 于，
，
∵的外角平分线与的外角平分线相交于点，
∴ ，，
∴ ，
故选：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．
7．D
【分析】先解关于x的方程得到用m的代数式表达的x的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m的不等式组，解此不等式组即可求得m的取值范围．
【详解】解：由题意可知
解关于x的方程得：，
∵关于x的方程的解为正数，
∴ ，解得：且．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的根，解不等式组，解题的关键是理解m的取值需同时满足以下两个条件：（1）解关于x的方程所得的不能是增根，即；（2）．
8．A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先根据正方形的性质表示出，，再根据完全平方公式的变形得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：正方形的边长为，，，
，
两个阴影部分都是正方形且面积和为60，
重叠部分的面积为
故选A．
9．2
【分析】根据分式的值为0，即分母不为0，分子为0得到x-2=0，且x+3≠0，求出x即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴x-2=0，且x+3≠0，
∴x=2．
故答案为:2.
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件：分式的值为0，要满足分母不为0，分子为0．也考查了解方程和不等式．
10．6
【分析】本题考查了多边形的外角和，根据外角和求出边数即可．
【详解】解：∵多边形外角和为，每个外角都等于，
∴边数．
故答案为：6．
11．b（a+2）（a-2）
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】.
故答案为：b（a+2）（a-2）.
【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式.
12．12
【分析】根据已知，可得x=3y，根据代数式求值，可得答案．
【详解】由，得：x=3y．
当x=3y时，原式==12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了分式的值，利用了代数式求值．
13．10
【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质和角平分线的定义证明，从而得到，同理得到是解题的关键．遇到平行线和角平分线时，注意会构成等腰三角形．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴的周长
，
故答案为：10．
14．16
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为16
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算，正确的计算是解决本题的关键．
15．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．18
【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可．
【详解】解：解：如图，连接BF，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠DBF=∠DBE=30°，
又∵∠ABC=30°，
∴∠CBF=60°，
∴即射线BF的位置是固定的，
∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°，
∴BF=BC.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，
∴AB=2AC=12，BC=，
∴BF=，
设BD=2x，则DF=x，
∴，即，解得x=3
∴BD=6
∴的周长为18．
故填：18．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，依次计算去绝对值、求一个数的算术平方根、负整数指数幂以及零次幂，再计算加减即可．
【详解】解：
18．
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：
．
19．
【分析】方程两边都乘（x+1）（x-1），去分母后化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边同乘，得：
，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20．，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，最后代入求值即可．掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式．
21．(1)画图见解析
(2)等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合
【分析】本题考查作图，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题关键是掌握等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定．
（1）先作等边三角形，再作的角平分线即可；
（2）由等腰三角形的三线合一可得垂直平分，进一步可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：，线段即为所求；
（2）由作图可知：
∵是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴垂直平分（等腰三角形顶角平分线与底边高线、中线重合），，
∴，，
又∵，
∴，
即在中，，，则．
22．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，先根据线段的和得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：
即
在和中
23．(1)画图见解析，
(2)画图见解析
(3)或．
【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，三角形的中线的含义，割补法求图形面积，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
（1）在直角坐标系中找出A、B、C关于x轴的对称点，B，，然后顺次连接即可得到，最后写出点坐标即可；
（2）利用三角形的中线等分三角形的面积，结合D的横坐标为2，画图即可；
（3）根据与的面积相等求出，然后写出P的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
∴；
（2）如图，D即为所求；
．
（3）∵，，
∴，
∴，
又，
∴或．
24．（1）详见解析，（2）35°.
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE=AE=AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B=x°，由（1）可知∠BAE=∠B=x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【详解】
(1)连接AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE=AC，
∴AE=AC，
∵D是EC的中点，
∴AD⊥BC；
(2)设∠B=x°，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=x°，
∴由三角形的外角的性质,∠AEC=2x°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2x°，
在三角形ABC中,3x°+75°=180°，
x°=35°，
∴∠B=35°.
【点睛】本题考查了等腰三角形与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形与线段垂直平分线的性质.
25．(1)1300；；
(2)每套B型号的“文房四宝”的价格为100元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用：
（1）先求出型号的“文房四宝”花费元，再根据每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高得到每套型号的“文房四宝”的价格为元，据此可求出购买型号的“文房四宝”套；
（2）根据（1）所求结合一共购买40套“文房四宝”列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，型号的“文房四宝”花费元，
∵每套型号的“文房四宝”的价格比型号的“文房四宝”的价格高，，
∴每套型号的“文房四宝”的价格为元，
∴购买型号的“文房四宝”套，
故答案为：1300；；；
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴每套B型号的“文房四宝”的价格为100元．
26．(1)；且；
(2)①；②
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关键；
（1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范围即可；
（2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可；
②先化简分式，代入，约分后可得答案．
【详解】（1）解：；
∵繁分式有意义，
∴且，
∴的取值范围是且；
（2）①∵，．
∴
；
②∵，
∴，
；
27．(1)，；
(2)①；②，证明见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）利用等边三角形的性质证明，，从而可得结论；
（2）①利用三角形的内角和定理可得答案；②如图，在上截取，连接，证明，可得，再证明即可．
【详解】（1）解：如图，当点为中点时，等边，
∴，，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：60，；
（2）①∵，，
∴由八字形可得：，
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
28．(1)
(2)图见解析，线段可以通过沿直线进行翻折得到该图形
(3)①；②图见解析，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，坐标与图形：
（1）根据等腰进行求解即可；
（2）先根据A、B坐标得到点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，设点是线段上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，由线段是点的“关联图形”，推出，进而得到所有满足条件的点P所形成的图形即为线段，其中；则线段可以通过沿直线进行翻折得到线段；
（3）①由在第一、三象限角平分线上，得到，设为上一点，可得；当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则，可得；当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则，可得；当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则， 可得；综上所述，；
②设为上一点，则，当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则，当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则； 当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，则；同（2）可得，当点Q在线段上时围成的区域为四边形，当点Q在线段上时，围成的区域为四边形，当点Q在线段上时，围成的区域为四边形；再利用割补法求出对应区域的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴点B平移到点A的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
设点是线段上一点，则点B平移到点Q的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴，
∵线段是点的“关联图形”，
∴，
∴，
∴，
当时，，当时，，
∴所有满足条件的点P所形成的图形即为线段，其中；
∴线段可以通过沿直线进行翻折得到线段；

（3）解：①∵在第一、三象限角平分线上，
∴，
设为上一点，
∴，
∴，
∴；
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴；
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴；
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴；
综上所述，；
②设为上一点，
∴，
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴，
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴；
当点在线段上时，同理可得点Q的坐标为，
∴，
∴；
∴同（2）可知，当点Q在线段上时围成的区域为四边形，当点Q在线段上时，围成的区域为四边形，当点Q在线段上时，围成的区域为四边形；
∴所有满足条件的点P所形成的区域的面积为．