北京市丰台区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市丰台区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若代数式有意义，则实数的取值范围是()
A．B．C．D．
2．下面分别是表示“节能”、“可回收”、“低碳”和“绿色食品”的相关标志中的部分图形，其中可以看作是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
3．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于秒．将用科学记数法表示应为( )
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是( )
A．B．C．D．
5．如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是( )
A． B．
C． D．
6．如图，可以看作是沿直线平移得到的．如果，，那么线段的长是( )

A．2.5B．4C．4.5D．5
7．甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是( )
A．B．C．D．
8．如图，与均为等腰直角三角形，，点是线段的中点，点在线段上（不与点，重合），连接，．
给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )

A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题
9．若代数式的值为0，则的值为 ．
10．分解因式： ．
11．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ．
12．如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是 ．
13．如图，于点，于点，且，如果，那么的度数是 ．
14．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若，，则的周长是 ．
15．如图，有边长分别为，的型和型正方形纸片，长为、宽为的型长方形纸片若干张、1张型纸片、1张型纸片和2张型纸片可以无缝隙、不重叠地拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 （用含，的式子表示）．

16．学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这5个项目中，依照个人兴趣，选择3个项目参加活动（每人都只选择3个项目）．已知某小组6名学生选择上述项目的统计结果如下表：
如果，那么 ；在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，那么的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．解分式方程：．
21．如图，在中，，点，在边上，．
求证：．

22．已知，求代数式的值．
23．下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵______，，
∴（______）（填推理的依据）．
24．北京水稻历史悠久，为重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
25．根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
，，，；
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征的其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是（，且为整数），个位上的数是（，且为整数），那么这个两位数可以表示为，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律可以表示为_________④_________（用含，的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
26．如图，在中，，，在线段上取一点，便得，连接，在线段延长线上取一点，使得，．
(1)求的度数（用含的式子表示）；
(2)延长线段至点，使得，连接交于点，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
27．在平面直角坐标系中，对于点和点（点的横、纵坐标相等），给出如下定义：为过点且与轴垂直的直线，为过点且与轴垂直的直线，先作点关于的对称点，再作点关于的对称点，则称点是点关于点的“关联点”．
例如：如图，点关于原点的“关联点”是．
(1)如果点是点关于点的“关联点”，那么___________；
(2)点关于点的“关联点”为，如果是以为底的等腰三角形，求该三角形的面积；
(3)点关于点的“关联点”为，如果以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，直接写出的取值范围．
项目
贴鼻子
打地鼠
套圈
猜谜语
跳房子
选择人数
4
4
3
信息一：基地有、两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”，试验田比试验田少20亩；
信息二：试验田总产量为10吨，试验田总产量为23吨；
信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．根据分式的分母不能为零求解即可．
【详解】解：要使代数式有意义，只需，
则实数的取值范围是，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答．
【详解】解：将用科学记数法表示应为，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的运算法则计算即可；熟知幂的运算法则是解题的关键．
【详解】A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
5．D
【分析】本题考查的是作图基本作图，根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意；
B．不是三角形的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是的边上的高，故此选项符合题意．
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平移的性质．直接根据图形平移的性质进行解答即可．
【详解】解：∵由平移而成，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
7．C
【分析】本题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率时间工作总量；
根据工作效率时间工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可；
【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；
根据工作效率时间工作总量，可得：；
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关键是证明三角形全等；
根据，得出即即可判断①正确；结合与均为等腰直角三角形，可证明即可得出根据即可判断出故②正确；根据是线段的中点，`得出，即可判断③正确；三角形三边关系可得即可判断出④错误；
【详解】解：与均为等腰直角三角形，，
故①正确；
在与中
故②正确；
点是线段的中点，
故③正确；
故④错误；
故选：B．
9．
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10．/
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为；
当度数为的角为底角时，则顶角的度数为；
综上所述，顶角的度数为或，
故答案为：或．
12．9
【分析】本题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【详解】解：由是一个完全平方式，得，
故答案为：9．
13．140
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出，再证明，推出，即可求解．
【详解】.解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：140．
14．15
【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，全等三角形对应边相等，是解题的关键．通过证明得出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：15．
15．/
【分析】该题主要考查了完全平方公式的应用，解答的关键是掌握完全平方公式；
根据题意以及完全平方公式解答即可；
【详解】解：根据题意，1张型纸片、1张型纸片和2张型纸片无缝隙、不重叠地拼成一个正方形，则正方形面积为：，
故这个正方形的边长为，
故答案为：．
16． 4 2
【分析】该题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意；
根据6名学生每人都只选择3个项目，得出6名学生共参加个项目，从而求出时，的值；再根据题意得出，为正整数，且解答即可
【详解】解：根据题意6名学生每人都只选择3个项目可得，6名学生共参加个项目，
如果，
那么；
根据题意可得，，即，
在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，
已有一人选择了贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目，故选择猜谜语的人数
为正整数，且
故当 时，，此时最小，
故答案为：4；2．
17．
【分析】该题主要考查了实数的混合运算和同底数幂除法运算，解题的重点是熟悉零指数幂，负整数指数幂，以及同底数幂除法运算；
先计算零指数幂，负整数指数幂，同底数幂除法运算，再合并即可；
【详解】解：原式
．
18．
【分析】此题考查了完全平方公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键；原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
【详解】解：原式
．
19．
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法运算即可；
【详解】解：原式
．
20．
【分析】本题考查了分式方程的解答，解题的关键是掌握分式方程的解法，注意，检验；
根据分式方程的解答方法解答即可；
【详解】解：方程两边乘，得
解得：；
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
21．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是解题的关键；
根据等角对等边得出，再根据“”证，即可得出结论；
【详解】证明：在中，，
．
在和中，
．
．
22．，
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出的值，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：原式
．
，
．
原式．
23．（1）见解析；（2）QB，三线合一
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，三线合一．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．0.575吨
【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨，利用试验田比试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确的等量关系．
【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为吨，
则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为吨．
由题意可得，
．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
．
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
25．①答案不唯一，如：；②它与1的和；③；④；⑤见解析
【分析】①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可；
②根据题干十位上的数乘以它与1的和的规律解答即可；
③根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可；
④根据题干这两个两位数相乘的规律解答即可；
⑤将化简即可；
【详解】解：①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”写出算式为：答案不唯一，如：，
故答案为：答案不唯一，如：；
②观察算式发现规律为：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位，
故答案为：和它与1的和；
③根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”可得另一个两位数可以表示为，
故答案为：；
④由②中的规律：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位可得：，
故答案为：；
⑤证明：
，
．
【点睛】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意．
26．(1)
(2)，见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）根据，，得出，再根据，证明，在中，得出，再根据，即可得出．
（2）依题意补全图形，在上取一点，使得，连接，在中，得出 ，，再根据，得出，故，证明和即可解答；
【详解】（1）解：，，
．
，
．
在中，，
．
，
．
（2）解：依题意补全图形，如图．
数量关系：．
证明：在上取一点，使得，连接．
在中，，且，
．
，
．
．
，
．
，．
，
．
，
．
．
．
，
．
．
．
27．(1)
(2)
(3)且
【分析】该题主要考查了坐标与图形，等腰三角形性质，解不等式等知识点，解题的关键是读懂题意；
（1）根据点是点关于点的“关联点”，根据对称性质即可解答；
（2）根据点关于点的“关联点”为，设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为．得到点到直线的距离等于点到直线的距离，点到直线的距离等于点到直线的距离．即可得出，设是的中点，根据是以为底的等腰三角形，即可得出，计算面积即可；
（3）根据点关于点的“关联点”为，得出和，再根据以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，即可列不等式求解即可；
【详解】（1）点是点关于点的“关联点”，
；
（2）∵点关于点的“关联点”为，
设点关于直线的对称点为，则点关于直线的对称点为．
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
点到直线的距离等于点到直线的距离．
设是的中点．
∵是以为底的等腰三角形，
∴．
∴点的纵坐标为2．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）点关于点的“关联点”为，
，
以为边的等腰直角三角形只在第一象限内，
解得：，
时，不能构成三角形，
故，
故当且时，以为边的等腰直角三角形只在第一象限内．