浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(学生版+解析)

这是一份浙江省宁波市镇海中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N函数的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知，则( )
A. B.
C. D.
3. 设，则“”是“关于x的不等式有解”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
5. 下列判断正确的是( )
A. 函数既是奇函数又是偶函数B. 函数是非奇非偶函数
C. 函数是偶函数D. 函数是奇函数
6. 已知函数，则函数的图象关于y轴对称的图象是( )
A. B.
C. D.
7. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则满足的 取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知集合，，，．若，则集合A中元素个数的最大值为( )
A. 1347B. 1348C. 1349D. 1350
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 函数，，若，则实数的值可能为( )
A. 1B. 2C. 3D. 0
10. 下列说法错误的是( )
A. 命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”
B. 已知，，则
C. “成立”是“成立”的充要条件
D. 关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
11. 下列函数中满足性质：“存在两个不等实数、，使得成立”的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知定义在R上的函数，满足对，有，则称为“好函数”.下列说法中正确的是( )
A. 若，则为“好函数”
B. 若“好函数”，则为偶函数
C. 若为“好函数”，则不一定是周期函数
D. 若为“好函数”，且，，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数值域是______．
14. 给定集合A和B，定义运算“”：．若，，则集合的子集的个数为______．
15. 已知实数x，y满足，则的最小值是______．
16. 已知，函数，其中是自然对数的底数．若函数有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是______．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
17. 计算求值：
(1)；
(2)．
18. 已知全集，设集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
19. 二十大正式开幕，二十大报告中，“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”作为一章被单独罗列了出来，过去十年是生态文明建设和生态环境保护认识最深、力度最大、举措最实、推进最快、成效最显著的十年，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．目前，居民用户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示)，阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
(1)若一户家庭一年所交水费756元，问其一年用水多少吨；
(2)将居民缴纳的污水处理费视为污水处理厂的收入，一个中型污水处理厂的月处理污水量在30万吨到300万吨之间，中型污水处理厂的月处理成本y(万元)与月处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为，问该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理利润最大？
20. 已知函数是指数函数．
(1)求a
(2)设函数，，记在上的最小值为，求的最小值．
21. 设函数是定义在R上的奇函数，当，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)判断在R上的单调性；
(3)解关于x不等式，其中．
22. 已知函数，其中．
(1)当时，函数在区间和上单调递增，求a的取值范围；
(2)若对任意的实数a，都存在，使得不等式成立，求实数b的取值范围．
阶梯
用户用水量(吨)
综合水价
(元／吨)
其中
自来水费
(元／吨)
污水处理费
(元／吨)
第一阶梯
0～144(含)
3.50
2.50
1.00
第二阶梯
144～204(含)
7.00
6.00
第三阶梯
204以上
9.00
8.00
镇海中学2022学年第一学期期中考试
高一年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据映射，带值检验即可解决.
【详解】对于，当 时， ，故B错；
对于，当 时， ，故C错；
对于，当 时， ，故D错；
故选：A.
2. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A令即可判断；B、C应用作差法判断大小关系；D利用基本不等式，注意等号成立条件判断即可.
【详解】A：当时，错误；
B：，而，故，错误；
C：，而，若时，错误；
D：，当且仅当时等号成立，而，故，正确.
故选：D
3. 设，则“”是“关于x的不等式有解”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先分，，讨论，求出不等式有解时的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.
【详解】关于x的不等式有解
当时，，得，符合有解；
当时，或，解得或
关于x的不等式有解得，
故“”是“关于x的不等式有解”的必要不充分条件
故选：B.
4. 已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据4和6最小公倍数为12，得，而，易得两集合之间关系.
【详解】,且,,
，又，
则集合中的元素应为12的正整数倍,集合中的元素为24的整数倍,故,.可知,当元素满足为24的整数倍时,
必满足为12的正整数倍,则
故A,B错误，对D选项，若，则此元素既不在集合中，也不在集合中，故D错误，
故选：C.
5. 下列判断正确的是( )
A. 函数既是奇函数又是偶函数B. 函数是非奇非偶函数
C. 函数是偶函数D. 函数是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇偶性的定义和性质，逐项判断即可.
【详解】解：对于A，，所以，故函数是偶函数，不是奇函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，
所以，则为奇函数，故B错误；
对于C，函数定义域满足，定义域不关于原点对称，
则函数非奇非偶，故C错误；
对于D，函数的定义域为，
所以，则函数是奇函数，故D正确.
故选：D.
6. 已知函数，则函数的图象关于y轴对称的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先对时，函数单调性进行分析，然后得到其图像关于轴对称后的单调性，再讨论时，利用基本不等式等到它在此范围内的最值，然后得到其图像关于轴对称后的最值.
【详解】当时，，设，，根据减函数加上减函数为减函数，则在单调递减，故当其关于对称后，变为当时，对称后的函数在上单调递增，故A,B,D错误，
当时，，当且仅当时等号成立，故当其关于对称后，变为，应有最小值2，
故选：C.
7. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增，则满足的 取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据为偶函数得出的对称轴，单调性得出的单调性，由根据题意列不等式求解即可.
【详解】由题知：是在上的偶函数，
所以关于 轴对称,
因为在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，
所以关于 轴对称，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
因为，
所以，解得：，
所以 取值范围为，
故选：A.
8. 已知集合，，，．若，则集合A中元素个数的最大值为( )
A. 1347B. 1348C. 1349D. 1350
【答案】C
【解析】
【分析】通过假设，求出相应的，通过建立不等关系求出相应的值.
【详解】设满足题意，
其中，
则，
，
，
，
，
，
中最小的元素为1，最大的元素为 ，
，
，
，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则,
由题知，即，
故 的最小值为674，
于是 时， 中的元素最多，
即时满足题意，
终上所述，集合 中元素的个数的最大值为1349
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 函数，，若，则实数的值可能为( )
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】BD
【解析】
【分析】首先求出，再代入中，解指数方程即可.
【详解】依题意得，，则，即，解得或者.
故选：BD
10. 下列说法错误是( )
A. 命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”
B. 已知，，则
C. “成立”是“成立”的充要条件
D. 关于x的方程有一个正根，一个负根的充要条件是
【答案】AD
【解析】
【分析】A.利用存在命题的否定式全称命题，并否定结论来判断；
B.利用不等式的性质判断；
C.根据充分性和必要性的概念来判断；
D.利用判别式和韦达定理来判断.
【详解】A.命题“存在，使得不等式成立”的否定是“任意，都有不等式成立”，A错误；
B.，则，又，根据不等式的性质，两式相加得，可推出，B正确；
C.由得，对于，有当时，，故“成立”是“成立”的充要条件，C正确；
D.关于x的方程有一个正根，一个负根，则，解得，D错误.
故选：AD.
11. 下列函数中满足性质：“存在两个不等实数、，使得成立”的是( )
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断AC选项，利用作差法可判断B选项，利用图象法可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，，则，A选项中的满足满足条件；
对于B选项，对任意的、且，
，
所以，，B选项中的函数不满足条件；
对于C选项，取，，则，
，
所以，，C选项中的函数满足条件；
对于D选项，，该函数的定义域为，
作出函数图象，如图，若要使，
则需找,使得D为BC的中点，
所以D选项中的函数满足条件.
故选：ACD.
12. 已知定义在R上的函数，满足对，有，则称为“好函数”.下列说法中正确的是( )
A. 若，则为“好函数”
B. 若为“好函数”，则为偶函数
C. 若为“好函数”，则不一定是周期函数
D. 若为“好函数”，且，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用赋值法，结合“好函数”、函数的奇偶性、周期性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】令，则，故，
令，则，可得，
(则)或，即为偶函数，B正确；
A选项中，不是偶函数，所以A错误.
令，则，若，则，
若，则，无法构成周期函数，C正确；
若，，则，，，
令则，故，则，故，
令则，故，则，故，
综上，，，，，，，，…
可知当x为整数时，的周期为4，
则，D正确.
故选：BCD
【点睛】关于新定义的抽象函数，解题关键点有三个，一个是赋值法，一个是新定义中“定义”的理解和运用，一个是函数的基本性质的综合运用.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的值域是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】由题知函数的定义域为，
所以，将整理得，
所以，当时，；
当时，，解得，
所以，，即函数的值域是
故答案为：
14. 给定集合A和B，定义运算“”：．若，，则集合的子集的个数为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据集合新定义确定集合的元素，按照子集概念求得集合的子集，即可得子集得个数.
【详解】解：因为，，
所以，则集合的子集有：共8个.
故答案为：8.
15. 已知实数x，y满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由得，设，得，代入目标式整理，利用基本不等式求解最值.
【详解】由得，
设，得，
，
，
当且仅当，即或，即或时等号成立
的最小值是
故答案为：.
16. 已知，函数，其中是自然对数的底数．若函数有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先作出的函数图像，令，将零点问题转化为二次函数零点，再一步转化为与的图像交点问题，结合图像分析的范围，即可间接求出参数的范围.
【详解】令,则的有且仅有三个零点，等价于与的图像有且仅有三个交点.
①当只有一解时，此时，即.而时，代入，解得，此时与没有三个交点，舍去；当时，代入解得，由图像可知，此时与图像有有三个交点，符合题意，;
②当有两个解时，即或.设解分别为和，则与以及两条直线有三个交点即可.，当时，由图形可知，不符合题意，故，此时.当，时，此时函数图像共有三个交点，则此时，由韦达定理知，，解得，与矛盾，不符合题意；当，时，由二次函数根分布的条件可知有，解得.
综上所述，有三个零点时，范围为.
故答案为：
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
17. 计算求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算即可；
(2)根据对数的运算性质及换地公式计算即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
18. 已知全集，设集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)或.
【解析】
【分析】(1)解一元二次不等式求集合A，应用集合补、并运算求结果.
(2)由集合的包含关系，讨论、求参数范围，然后取并.
【小问1详解】
由题设，，故或，
所以或.
【小问2详解】
由，
若，即，可得或；
若，则(区间端点等号不同时成立)，可得；
综上，或.
19. 二十大正式开幕，二十大报告中，“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”作为一章被单独罗列了出来，过去十年是生态文明建设和生态环境保护认识最深、力度最大、举措最实、推进最快、成效最显著的十年，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题．目前，居民用户综合水价按三档分阶梯计价(如下表所示)，阶梯水量以年为计价周期，周期之间不累计、不结转．
(1)若一户家庭一年所交水费756元，问其一年用水多少吨；
(2)将居民缴纳的污水处理费视为污水处理厂的收入，一个中型污水处理厂的月处理污水量在30万吨到300万吨之间，中型污水处理厂的月处理成本y(万元)与月处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为，问该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理利润最大？
【答案】(1)吨；
(2)每月处理万吨时处理利润最大.
【解析】
【分析】(1)根据题设写出水费的分段函数表达式，再根据求对应用水量值即可；
(2)由，结合二次函数性质求其最大值即可.
【小问1详解】
设用水量为吨，则：
当，水费元；
当，水费元；
当，水费元；
由题设，水费，
当元，而，，
所以，可得吨.
【小问2详解】
由题意，处理利润且，
所以，在上递增，
当万吨时，最大万元.
20. 已知函数是指数函数．
(1)求a
(2)设函数，，记在上的最小值为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】(1)根据指数函数的定义建立方程组即可求解.
(2)首先根据题意求出的表达式，再利用换元法，将其转化成二次函数，讨论二次函数对称轴在区间的位置，分别求最小值，然后利用分段函数以及二次函数研究的最小值即可.
【小问1详解】
为指数函数，根据定义得，解得.
此时.
【小问2详解】
由(1)可知，，则.令，，则只需求在上的最小值.
当，即时，在上单调递增，此时在处取得最小值；
当，即时，开口向上，在对称轴处取得最小值，即时，此时；
当,即时，在上单调递减，此时在处取得最小值，.
综上，可得.
由可得，当时，单调递减，在处取最小值；
当时，；
当时，单调递增，在处取最小值.
综上的最小值为1.
21. 设函数是定义在R上的奇函数，当，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)判断在R上的单调性；
(3)解关于x的不等式，其中．
【答案】(1)；
(2)在上单调递减；
(3)见解析.
【解析】
【分析】(1)令，根据其为奇函数，则；
(2)因其是奇函数，则只需证明在上单调性，利用定义法证明其单调性，取值，作差，因式分解，判定符号，得到结论.
(3)根据其为奇函数移项得，根据其为单调减函数，则，接下来对分类讨论即可.
【小问1详解】
当，则，根据为奇函数，
则，
【小问2详解】
在上单调递减，
理由：为奇函数，且，故我们证明其在上单调性，
任取，且，
，所以，，
，即，
在上单调递减，又因为为分段函数的衔接点，且为奇函数，
则在上单调递减.
【小问3详解】
，则，
因为为奇函数，则，
因为在上单调递减，则，
，即，即，
①当时，，解得，
②当时,,不等式化为,解得或;
③当时,,不等式为,解得;
④当时,,不等式为,解得;
⑤当时,,不等式为,解得;
综上知,时,不等式的解集为;
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为
时,不等式的解集为.
22. 已知函数，其中．
(1)当时，函数在区间和上单调递增，求a的取值范围；
(2)若对任意的实数a，都存在，使得不等式成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】(1)令，知，设两个零点为，去掉绝对值后，得，根据函数在区间和上单调递增，列出不等式，求出即可.
(2)原问题中的命题为全称命题，可先求出满足其命题的否定形式的实数b的取值范围，求出的取值范围的反面就是满足原题命题要求的实数b的取值范围.
【小问1详解】
当时，令，，
所以一定有两个零点，设为，且，
则，
则当或时，有，则；
当时，有，则.
所以，函数，
因为在题中区间单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，则要使，函数在区间上单调递增，应满足，
即有，解得；
又函数在区间上单调递增，显然在R上连续，则应满足，解得.
所以，a的取值范围为.
小问2详解】
问题条件“对任意的实数a，都存在，使得不等式成立”，由此可先确定
问题条件得反问为“存在实数a，对于任意，使得不等式成立” ，
只要，的最大值和最小值之差小于2即可，
因为在为增函数，所以，
，解得且
故满足问题(2)的实数b的取值范围为：
阶梯
用户用水量(吨)
综合水价
(元／吨)
其中
自来水费
(元／吨)
污水处理费
(元／吨)
第一阶梯
0～144(含)
3.50
2.50
1.00
第二阶梯
144～204(含)
7.00
6.00
第三阶梯
204以上
9.00
8.00