四川省内江市威远中学2024届高三下学期一模文科数学试卷（Word版附解析）

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命题人：第四组 做题人：第四组 审题人：第四组
数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求出集合A，求出集合B的补集，即可确定的元素，根据元素的个数，即可求得的真子集的个数.
【详解】由题意
，
，故，
故，则的真子集的个数为，
故选：C
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求出复数z即可得出答案.
【详解】由题意，复数满足，可得，
所以．则1，
故选：C．
3. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
4. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
故选：D．
5. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+2
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
6. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
7. 已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
8. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是
A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 21小时
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：，两式相除得，解得， 那么，当时，故选C．
考点：函数的应用
9. 设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得.
【详解】
不妨取，由可得：，
由可得，
由图可取要使存在且，使得，
需使，，解得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.
解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据化简可得，代入 ，所以，再根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.
【详解】
由题意，为 的外心，为边上的中点，可得： ，因为，可得： ，又 ，所以有 即 ，因为 ，所以 ，又因为，所以 ，由余弦定理：
故选：C.
11. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.
【详解】设点P的坐标为，如图所示：
由可知：，而，∴
∴，整理得，即.
∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.
故选：D
12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
第Ⅱ（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据已知条件求得，再求焦点到渐近线距离即可.
【详解】根据题意可得，故可得，则，
则右焦点坐标为，一条渐近线为，
右焦点到一条渐近线的距离.
故答案为：.
14. 若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【解析】
【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以.
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
15. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，

由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16. 已知，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，画出函数的图象，求出时的最大值，判断零点的范围，结合韦达定理，设，将转化为，进而可得结果．
【详解】函数，图象如图，
函数有三个不同的零点，，，
且，即方程有三个不同的实数根
，，，且，
当时，，因为，所以，当且仅当时取得最大值．
当时，；，此时，
由，可得，，
，
，递减，,
的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列 ， 求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出；
（2）根据等比数列通项公式可得，由此利用错位相减法能求出数列前n项和．
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以，即．
【小问2详解】
由题意可知：，则，
则，
可得，
两式相减可得
，
所以．
18. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓．某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，则这2人中至少有1人为女生的概率．
附：
①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联．
【答案】（1）没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据表中的数据，代入公式求，再与临界值比较大小，即可判断；
（2）首先将抽到的学生编号，再采用列举的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异
【小问2详解】
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生有2人，
设男生为，，；女生为，．
则从这5人中选出2人的组合有，，，，，，，，，共10种，
其中至少有1人为女生的组合有，，，，，，共7种，
故所求概率为.
19. 如图，四棱锥中，，，，平面ABCD⊥平面PAC．

（1）证明：；
（2）若，M是PA的中点，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据底面的几何关系，可证明，再根据面面垂直的性质定理，即可证明；
（2）首先求点到平面距离，再根据体积转化，即可求解.
【小问1详解】
取BC中点N，连接AN，则，又，，
所以四边形ANCD为正方形，则，，

又在中，，则，所以，即．
又平面ABCD⊥平面PAC，平面平面，平面，
所以平面，又面PAC，所以．
【小问2详解】
连接，交于O，连接，
因平面，平面，所以
由于，，又因为，为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面
所以，
，
又因为M为PA中点，所以
20. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2），为定值．
【解析】
【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案；
（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.
【小问1详解】
设双曲线的焦距为，
由题意得，，
解得，故双曲线的方程为．
【小问2详解】

由题意得，，
当直线的斜率为零时，则．
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，
联立，整理得，
则，解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
21. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值；
（2）若当时，恒有，求实数的取值范围；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，，即可得到关于、的方程组，解得即可；
（2）令，求出函数的导函数，依题意可得，从而得到，再分、、三种情况讨论，分别结合函数的单调性，即可得解.
【小问1详解】
因为，则，
则，，即切点坐标为，斜率，
由题意可得：，解得，；
【小问2详解】
令，
则，
由题意可知：当时，恒有，且，则，解得，
若，则有：
①当时，
因为，可知，令，
因为，在内单调递增，可得在内单调递增，
则，即，符合题意；
②当时，则在内恒成立，符合题意；
③当时，令，
则，
因为，则，，
可知在内恒成立，
则在内单调递增，可得，
则在内单调递增，可得，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
注：22与23题为选做题，2选1，均为10分．
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．
【答案】（1）（， ），；
（2）
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式平方和为1消去参数,可得曲线的普通方程,根据可求出曲线的直角坐标方程;
(2)先求出曲线的轨迹,再根据图象找出与有两个公共点时的临界情况,求出参数的范围即可.
【小问1详解】
∵曲线的参数方程为(为参数，)，
∴曲线的普通方程为： （， ），
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的直角坐标方程为．
【小问2详解】
∵曲线的普通方程为： （， ）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，
∴或（舍去），
当过点时， ，所以.
∴当与有两个公共点时， ．
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若且，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；
（2）分类讨论的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定的值，利用基本不等式即可证明.
【小问1详解】
不等式可化为或，
由，可得，解得或；
由，可得，解得，
所以不等式的解集为．
【小问2详解】
由题意，知，
当时，，
因在上单调递减，则；
当时，，
因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；
当时，，
因在上单调递增，则.
综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，
因，所以，当且仅当时等号成立，不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100