福建省名校联盟全国优质校2024届高三大联考数学试题及参考答案

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准考证号______姓名______
（在此卷上答题无效）
名校联盟全国优质校2024届高三大联考
数学试题
2024.2
本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
3．已知是两个单位向量，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．
5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图像的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A．B．C．D．
6．已知成等比数列，且2和8为其中的两项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在三棱锥中，，点是棱上一动点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．方程所有正根的和为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
B．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
D．某人解答5个问题，答对题数为，若，则
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．
11．已知是圆上任意一点，过点向圆引斜率为的切线，切点为，点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，B．
C．D．的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设是数列的前项和，，则______．
13．设函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是______．
14．如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
若数列的前项和满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
16．（15分）
在三棱柱中，，在底面中，有，且，点为等腰三角形的底边的中点，在中，有．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项目不再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．（注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．）
（1）求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；
（2）记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18．（17分）
已知椭圆的方程为为的左顶点，为的上顶点，的离心率为的面积为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，点且垂直于轴的直线交直线于点，证明：线段的中点在定直线上．
19．（17分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若存在实数，满足，求的取值范围．