福建省名校联盟全国优质校2024届高三大联考数学试卷及参考答案
展开准考证号______姓名______
(在此卷上答题无效)
名校联盟全国优质校2024届高三大联考
数学试题
2024.2
本试卷共4页,考试时间120分钟,总分150分。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则( )
A.B.C.D.
2.已知为虚数单位,( )
A.B.C.D.
3.已知是两个单位向量,若,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4.设直线与双曲线分别交于两点,若线段的中点横坐标是,则该双曲线的离心率是( )
A.B.C.2D.
5.一般来说,输出信号功率用高斯函数来描述,定义为,其中为输出信号功率最大值(单位:),为频率(单位:),为输出信号功率的数学期望,为输出信号的方差,带宽是光通信中一个常用的指标,是指当输出信号功率下降至最大值一半时,信号的频率范围,即对应函数图像的宽度。现已知输出信号功率为(如图所示),则其带宽为( )
A.B.C.D.
6.已知成等比数列,且2和8为其中的两项,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7.如图,在三棱锥中,,点是棱上一动点,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8.方程所有正根的和为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题正确的是( )
A.若两组成对数据的样本相关系数分别为,则组数据比组数据的相关性较强
B.若样本数据的方差为2,则数据的方差为8
C.已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
D.某人解答5个问题,答对题数为,若,则
10.对于函数,下列说法正确的是( )
A.在处取得极大值
B.有两个不同的零点
C.
D.
11.已知是圆上任意一点,过点向圆引斜率为的切线,切点为,点,则下列说法正确的是( )
A.时,B.
C.D.的最小值是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设是数列的前项和,,则______.
13.设函数在区间上恰有两个零点,则的取值范围是______.
14.如图,在中,,在直角梯形中,,,记二面角的大小为,若,则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
若数列的前项和满足.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)设,求数列的前项和.
16.(15分)
在三棱柱中,,在底面中,有,且,点为等腰三角形的底边的中点,在中,有.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.(15分)
甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛,比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打共五个项目进行,规定每个项目均采取三局两胜制,且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜(后续项目不再进行比赛).已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中,甲俱乐部获胜的概率均为0.7;在混双项目、女单项目这两项的每局中,乙俱乐部获胜的概率均为0.8,假设每局比赛之间互不影响.(注:比赛没有平局,且所有结果均保留一位小数.)
(1)求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率;
(2)记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
18.(17分)
已知椭圆的方程为为的左顶点,为的上顶点,的离心率为的面积为.
(1)求的方程;
(2)过点的直线交于两点,点且垂直于轴的直线交直线于点,证明:线段的中点在定直线上.
19.(17分)
已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)若存在实数,满足,求的取值范围.
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