2023年上海市虹口区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市虹口区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 不等式的解集为______．
2. 对于正实数，代数式的最小值为______．
3. 已知球的半径为3，则该球的体积为 _________ .
4. 在的二项展开式中项的系数为______．
5. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
6. 已知首项为2的等比数列的公比为，则这个数列所有项的和为______．
7. 设曲线斜率为3的切线为，则的方程为______．
8. 第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）
9. 设，，若函数为奇函数，则______．
10. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______．
11. 在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为______．
12. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为______．
①双曲线的离心率为2；②双曲线的一条渐近线的斜率为；
③线段AB长为 ；④的面积为．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13. 设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14 若复数z满足且，则
A. B. C. D.
15. 已知是椭圆与抛物线的一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A. B. C. D.
16. 已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（ ）
A B. 1C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 设内角 所对的边分别为 ，已知．
（1）求角A；
（2）若，求证：是直角三角形．
18. 在等差数列中，，且，，构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
（1）求证：；
（2）求点到侧面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
20. 本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．
（1）若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；
（2）已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；
（3）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．
21. 设，已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数，是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合．
虹口区2022学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
高三数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 不等式的解集为______．
【答案】
【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解．
【详解】原不等式等价于，解得．
故答案为：．
2. 对于正实数，代数式的最小值为______．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时取等，
所以代数式的最小值为4，
故答案为：4
3. 已知球的半径为3，则该球的体积为 _________ .
【答案】
【分析】根据球的体积公式计算可得；
【详解】解：因为球的半径，所以球的体积；
故答案为：
4. 在的二项展开式中项的系数为______．
【答案】35
【分析】直接利用二项式展开式的通式进行求解即可.
【详解】由，
令，解得：.
.
得项的系数为.
故答案为：
5. 设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．
【答案】2
【分析】将根代入方程，化简即可得到，列方程组即可求得.
【详解】将代入方程得：，
即，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：2
6. 已知首项为2的等比数列的公比为，则这个数列所有项的和为______．
【答案】3
【分析】由等比数列的前项和公式结合数列极限即可得出答案.
【详解】因为数列是以首项为2，公比为的等比数列，
所以等比数列的前项和为：，
而，
则这个数列所有项的和为：3.
故答案为：3.
7. 设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．
【答案】
【分析】根据导数几何意义求解.
【详解】设切线与函数的切点为
又因为，所以在处的导数值为
所以，又因为切点在函数上，即
所以切点为，所以切线方程，即
故答案为：
8. 第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动．已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为______．（结果用分数表示）
【答案】##
【分析】根据古典概型的概率公式，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】“甲同学参加了2天活动，其余同学各参加了1天的活动”共有种可能，
“甲同学参加连续两天活动”共有种可能，
故甲同学参加连续两天活动的概率.
故答案为：.
9. 设，，若函数为奇函数，则______．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得值，结合奇函数即可求解.
【详解】由于为奇函数，所以定义域关于原点对称，由 ，故
取，则，代入得，由此的定义域为，因此，所以，
故答案为：
10. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______．
【答案】
【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式.
【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为,
所以,即,
所以,此时,
因为对称轴为,
故有:,
即,
因为,
所以,
故.
故答案为:
11. 在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为______．
【答案】##
【分析】先利用余弦定理求出的长，因为是的外心，
设外接圆的半径为，所以，再利用正弦定理
求出，由，，
知道动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形
画图，由图可知菱形为，求出即可得.
【详解】在中，因为，，，
所以由余弦定理：，
所以，
又因为是的外心，设外接圆的半径为，
所以，
由，
所以，
由正弦定理：，
所以，
由，，，
所以动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形，
如图所示：
由图知为 所对的圆心角与圆周角，
所以有，
所以
，
所以
，
所以动点的轨迹所覆盖图形面积为：
，
故答案为：.
12. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，且，，则在下列结论中，正确结论的序号为______．
①双曲线的离心率为2；②双曲线的一条渐近线的斜率为；
③线段AB的长为 ；④的面积为．
【答案】①④
【分析】利用双曲线定义结合可得，利用，求得，继而可得，即可求得额离心率，判断①，由离心率可得，判断②，利用，求得，判断③，计算的面积判断④.
【详解】如图示：不妨设A在第一象限，则，
由于，可得： ，
由于，所以 ，
故 ，可得： ，
故 ，而,故，
所以由可得 ，即，
所以①双曲线的离心率 ，①正确；
由可得，故 ，
则双曲线的渐近线的斜率为，②错误；
由以上分析可知，③错误；
在 中， ，
故 ，④正确，
故答案为︰①④﹒
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线定理的理解和应用，解答本题的关键在于利用双曲线定义结合已知求得后，要注意推出 ，从而 ，即可求得相关线段长，则离心率渐近线斜率和弦长以及面积问题即可解决.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑．
13. 设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】因为直线与圆，
由点到直线的距离公式可得:，解得：且，
因为成立，则且一定成立，
但且成立，则不一定成立，
所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件，
故选：A.
14. 若复数z满足且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由，解得(舍)或.
故选：C.
15. 已知是椭圆与抛物线一个共同焦点，与相交于A，B两点，则线段AB的长等于（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【分析】先求得A，B两点的坐标，进而求得线段AB的长
【详解】椭圆的右焦点坐标为，
则抛物线的焦点坐标为，
则，则，抛物线
由，解得或
则
故选：B
16. 已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.
【详解】由，
，
故选：C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 设的内角 所对的边分别为 ，已知．
（1）求角A；
（2）若，求证：是直角三角形．
【答案】（1）
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案.
【小问1详解】
由条件，得，
即，亦即，
故，因为，所以．
【小问2详解】
证明：由正弦定理及得，
由（1）知，故，于是，
则，即，
因，故，又，
从而，
所以，则，
因此是直角三角形．
18. 在等差数列中，，且，，构成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．
【答案】（1）
（2）6
【分析】（1）将全部用代换，结合等比性质可求的通项公式；
（2）化简得，结合分组求解法求出，由的单调性可求的最小值．
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及，
得，即，解得．
当时，，，构成等比数列，符合条件；
当时，，，不能构成等比数列，不符合条件．
因此，于是数列的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）知，故，所以
易知在正整数集上严格递增，且，．
故满足的正整数的最小值为6．
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．
（1）求证：；
（2）求点到侧面的距离；
（3）在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在满足条件的点，1
【分析】（1）由已知条件可证平面，即可得到；
（2）以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离公式即可求解；
（3）假设存在满足条件的点E，并，利用向量的加减运算，求出，利用线面夹角公式得出，求得，即可求出的长.
【小问1详解】
证明：由点在底面ABC上的投影为AC的中点，知平面ABC，
又平面ABC，故，
因是以AC为斜边的等腰直角三角形，故，
而，平面，，故平面，
由平面，得．
【小问2详解】
由点，为AC的中点，侧面为菱形，知，
由是以AC为斜边的等腰直角三角形，，可得，，
由（1）知直线，，两两垂直，故以点为坐标原点，
直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
又，故点到平面的距离为：
【小问3详解】
假设存在满足条件的点E，并，
则，
于是，由直线DE与侧面所成角的正弦值为，
可得，
即，解得．
又，故．
因此存在满足条件的点，且．
20. 本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．
（1）若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；
（2）已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；
（3）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为171.7；
（2）0.0312； （3）27.25
【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X的分布列及期望；
（2）利用条件概率去求此人是高中生的概率；
（3）依据方差的定义去求这80人的方差．
【小问1详解】
由，解得．
所以的分布列为
【小问2详解】
设事件A为任取一名本市市民的身高位于区间，
事件为任取一名本市市民为高中生，则，
．
所以．
于是，此人是高中生的概率为0.0312．
【小问3详解】
由于身高在区间，的人数之比为5：3，
所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的
人数分别为50人与30人．
在区间中抽取的50个样本记为，，…，其均值为176，
方差为10，即，．
在区间中抽取的30个样本记为，，…，．其均值为184，
方差为16，即，；
所以这80人身高的均值为．
从而这80人身高的方差为
因此，这80人身高的方差为27.25．
21. 设，已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数，是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合．
【答案】（1）的单调递增区间为：与；单调递减区间为：；
（2）是定值6； （3）.
【分析】（1）由函数，求导函数，令，由导函数的零点将定义域分段，分析当变化时，，的变化情况，即可得函数的单调区间；
（2）方法一：根据，，确定，与之间的等式关系，又由得与的关系，即可得与的关系，由（1）知和是函数的极值点，则当和分别求解，确定是否为定值即可；
方法二：由，两式联立进行因式分解可得，即可得为定值；
（3）由于函数在闭区间上的最大值只有可能在，6，，这4处取得，分别求解得，，，讨论或 ，分别求解的取值情况，即可得的取值集合．
【小问1详解】
解：由，，可得．
因，由，解得．
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为：与；单调递减区间为：．
小问2详解】
方法1：因为存在极值点，所以由（1）知：，且．
因为，，故由，得即．
因为，所以（*）
由题意，得，即．
由（1）知，和是函数的极值点，
故当时，由（*）可得，
解得，即，
此时．
当时，由（*）可得，
解得，即，此时．
综上，可得结论成立．
方法2：因为存在极值点，所以由（1）知：，且．
因为，，故由，
得即．
因为，所以（*）
由题意，得，即，将其代入（*），
得（**）
即
亦即．
由于，因此．
【小问3详解】
解：因函数在闭区间上最大值只有可能在，6，，这4处取得．
又，，，
（因）
①若为在区间上的最大值（等于40），
令，则，且，由，得．
设，则恒成立，故在上严格递增，
于是在上存在唯一的，使，易知，进而相应的．
而此时，，因此符合题意．
②若为在区间上的最大值（等于40），则，或．
（i）当时，，，
为在区间上的最大值，因此符合题意．
（ii）当时，，，，
于是不符合题意，舍去．
综上所述，符合条件的的取值集合为．
【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，主要涉及利用导数确定函数单调区间、极值点与方程的根、闭区间上的最值问题，需要注意解题的基本思路和基本方法，属于中等难度的题.本题解决极值点与函数方程的关键是运算问题，方法一强调，与之间的等式关系为，又由得与的关系，整理可得与的关系，再结合的取值情况即可得为定值；方法二强调的是多元变量的因式分解问题，主要涉及的是分组因式分解方法，需要保证两两分组后有公因式，利用方程的根即可得为定值；而对于函数在闭区间上的最大值即比较区间端点值与极值的大小即可得最大值的取值情况，且注意检验最值是否取到.
X
155
165
175
185
195
205
P
0.22
0.27
0.25
0.15
0.1
0.01
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增