2023年上海市奉贤区高三上学期一模数学试题含详解

这是一份2023年上海市奉贤区高三上学期一模数学试题含详解，共19页。

2. 已知，（为虚数单位），则__________.
3. 方程的两个实数根为，若，则实数__________.
4. 已知等差数列中，，则值等于__________.
5. 己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于__________.
6. 若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________.
7. 在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.
8. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.
岁未成年人的身高的主要百分位数
数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）.
9. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.
10. 长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.
11. 设且满足，则__________.
12. 已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
二､选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分）
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（ ）
A. B. C. D.
15. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若事件与互斥，则
B. 若事件与相互独立，则
C. 如果分别是两个独立的随机变量，那么
D. 若随机变量的方差，则
16. 已知，，，，满足，，，有以下个结论：
①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A. 结论①、②都成立
B. 结论①不成立、②成立
C. 结论①成立、②不成立
D. 结论①、②都不成立
三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17. 已知为奇函数，其中.
（1）求函数的最小正周期和的表达式；
（2）若，求的值.
18. 如图，在四面体中，已知.点是中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.
19. 某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：
请根据上表所给的信息进行估计.
（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？
（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于
20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若把直线斜率分别记作，若，求点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.
21. 已知函数,其中.
（1）求函数在点的切线方程;
（2）函数否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
2023届奉贤区高三一模考试数学试卷
一､填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设，则__________.
【答案】##
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，集合的元素是整数，所以.
故答案为：
2. 已知，（为虚数单位），则__________.
【答案】
【分析】两个复数相等，则实部和虚部分别相等.
【详解】因为，又,
所以，即.
故答案为：.
3. 方程的两个实数根为，若，则实数__________.
【答案】
【分析】根据韦达定理求解即可.
【详解】，，.
，解得.
故答案为：
4. 已知等差数列中，，则的值等于__________.
【答案】14
【分析】利用等差数列的通项公式求出，，便可求得.
【详解】解：由题意得：
等差数列，所以设等差数列的首项为： ，公差为：
又，
故答案为：
5. 己知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，它的渐近线方程为，则它的离心率等于__________.
【答案】
【分析】利用双曲线的性质和之间的关系即可求得离心率.
【详解】由已知双曲线的渐近线方程为
所以，故
所以，故
所以离心率
故答案为：
6. 若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________.
【答案】1
【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可.
【详解】根据基本不等式可得，所以与算数平均数的最小值为1.
故答案为：1.
7. 在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为__________（结果用数值表示）.
【答案】462
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后利用二项式系数的性质可求得结果.
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
所以当或时，其系数最大，
则最大系数为，
故答案为：462.
8. 下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.
岁未成年人的身高的主要百分位数
数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）.
【答案】
【分析】由百分位数估算出身高低于小明的男性同龄人所占比例，再乘男性同龄人总人数即可.
【详解】小明今年岁，从表中可以得出，岁男性身高的主要百分位数中，，，小明的身高为，介于和之间，说明至少有的男性同龄人身高低于小明，
∵小明所城市男性同龄人约有万人，
∴小明的身高至少高于（万人）.
故答案为：.
9. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体个顶点中任取个，有个结果，
这个点在同一个平面有个，
故所求概率．
故答案为：．
10. 长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.
【答案】2
【分析】根据，利用勾股定理建立方程，则方程有解即可求解.
【详解】设
又因为，所以
即化简得，
即关于的方程有解，
当时，不符合题意，
当时，所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以侧棱的长的最小值为2，
故答案为:2.
11. 设且满足，则__________.
【答案】
【分析】令，则，根据即可求解．
【详解】令，则
所以，整理得
解得，所以
故答案为：
12. 已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.
【答案】200
【分析】首先求出关于利润的表达式，再利用导数求出函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意可知，设利润为，则，而，当时，，时，，即在单调递增，单调递减，所以时，利润最大.
故答案为：
二､选择题（13-14每题4分，每题5分，共18分）
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】D
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
B选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
C选项，函数的定义域为；函数的定义域为，不是相同函数.
D选项，由于，所以与的定义域、值域都为，对应关系也相同，
所以与是相同函数.
故选：D
14. 紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据圆台的体积公式计算即可．
【详解】解：设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，
则，，，
，
故选：B．
15. 下列结论不正确的是（ ）
A. 若事件与互斥，则
B. 若事件与相互独立，则
C. 如果分别是两个独立的随机变量，那么
D. 若随机变量的方差，则
【答案】A
【分析】由已知，选项A，根据事件与互斥，可知；选项B，根据事件与相互独立，可知；选项C，根据分别是两个独立的随机变量，可得；选项D，由，可得，即可作出判断.
【详解】由已知，
选项A，若事件与互斥，则，故该选项错误；
选项B，若事件与相互独立，则，故该选项正确；
选项C，若分别是两个独立的随机变量，那么，故该选项正确；
选项D，若随机变量的方差，则，故该选项正确；
故选：A.
16. 已知，，，，满足，，，有以下个结论：
①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A. 结论①、②都成立
B. 结论①不成立、②成立
C. 结论①成立、②不成立
D. 结论①、②都不成立
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.
【详解】对于结论①，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；
对于结论②，
方法一：
∵
又∵
∴
化简得，
∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.
方法二：（特值法）
当时，，
∴，∴.
∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.
故选：B.
【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.
三､解答题（17-19每题14分，20-21每题18分，共78分）
17. 已知为奇函数，其中.
（1）求函数的最小正周期和的表达式；
（2）若，求的值.
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据列关于的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据，求出，与然后再求解.
【小问1详解】
因为为奇函数，
所以，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是；
【小问2详解】
若
所以
18. 如图，在四面体中，已知.点是中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，作出二面角的平面角，并求它的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）作图见解析，
【分析】（1）根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可；
（2）取的中点，由，得，得是二面角的平面角，再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.
【小问1详解】
是中点，
又是中点，
面
所以面
小问2详解】
由题知，，，
取的中点，连接，
,
根据三角形全等证明方法,可以证明,
,
所以是二面角的平面角，
利用勾股定理计算出,
由余弦定理得，解得，
所以，，
所以，
所以中，.
19. 某地区1997年底沙漠面积为（注：是面积单位，表示公顷）.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在每年底将观测结果记录如下表：
请根据上表所给的信息进行估计.
（1）如果不采取任何措施，到2020年底，这个地区的沙漠面积大约变成多少？
（2）如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造面积沙漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区的沙漠面积将首次小于
【答案】（1）
（2）到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于
【分析】(1) 从增加数看, 数字稳定在 2000 附近, 所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列. 求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式, 首项可以选2002年的增加数. 列出经过n年后的沙漠面积, 再根据已知列出不等式.
（2）设在2002年的基础上, 再经过n年, 该地区的沙漠面积将小于 , 列出不等式能求出结果.
【小问1详解】
从表中数据看，每年沙漠面积增长量可以假设是一个等差数列，公差约，
假设表示年底新增沙漠面积，那么到2020年底新增沙漠面积约
，
到2020年底，这个地区的沙漠面积将大约变成.
【小问2详解】
以2003年年底为第一年，设年年底后这个地区的沙漠面积小于,
,
化简得,
所以到2021年底这个地区沙漠治理的总面积首次小于.
20. 已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标；
（3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据焦点坐标、三角形面积、就是可得答案；
（2）设，利用点在椭圆上和可求出点坐标；
（3）求出直线、直线的方程可得点坐标及，利用得到，再由可得，即，利用的范围可得答案.
【小问1详解】
，所以椭圆标准方程为；
【小问2详解】
设，，
得到，所以；
【小问3详解】
因为点是椭圆上在第一象限内的点，所以，
直线的方程为，
直线的方程为，
所以，
，，
，
，
，
，则，
.
21. 已知函数,其中.
（1）求函数在点的切线方程;
（2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点
（3）
【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;
(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;
(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.
【小问1详解】
解:由题知,
,
所以在点的切线方程为,
即;
【小问2详解】
设,定义域,
,
当时,恒成立,
所以在单调递增,
所以不存在极值点,
当时,令，
当时,，
当时,，
所以在单调递减,在单调递增,
所以函数存在一个极小值点,无极大值点,
综上:时,不存在极值点,
时,存在一个极小值点,无极大值点;
【小问3详解】
由题知原不等式,
可化为,
当时,恒成立,
当时,
即,
由(2)知在有最小值,
所以,
,
,
,
,
即,
,,
综上: .
【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需;
(2) 若，恒成立，则只需;
(3) 若，恒成立，则只需;
(4) 若，恒成立，则只需;
(5) 若，恒成立，则只需;
(6) 若，恒成立，则只需;
(7) 若，恒成立，则只需;
(8) 若，恒成立，则只需.岁
男
女
岁
男
女
观测年份
该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数
1998
2000
1999
4000
2000
6001
2001
7999
2002
10001
岁
男
女
岁
男
女
观测年份
该地区沙漠面积比原有（1997年底）面积增加数
1998
2000
1999
4000
2000
6001
2001
7999
2002
10001