122，河北省张家口市张北县第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份122，河北省张家口市张北县第三中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共27页。

注意事项：
1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 如图所示的圆柱的左视图是（ ）
您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看，得到的图形是：
．
故选：B．
3. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格结构找出所在的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可．
【详解】由图得，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据与y轴交点坐标的特点求解即可．
【详解】解：，
当时，，
∴与轴的交点坐标为，
故选：A．
【点睛】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
5. 将方程化成的形式，则b的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法，进行转化即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
∴；
故选C．
【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤，是解题的关键．
6. 某校连续三年开展植树活动，第一年植树棵，第三年植树棵，设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设该校这两年植树棵树的年平均增长率为，根据题意得
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的运动高度（米）与运动时间（秒）之间的解析式是，则小球运动到最高点时的高度是（ ）
A. 30米B. 35米C. 36米D. 45米
【答案】D
【解析】
【分析】将解析式配方，根据顶点式，得出顶点坐标即可求解．
【详解】解：∵，，
∴当时，取得最大值，为
∴小球运动到最高点时的高度是45米，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据顶点式求得顶点坐标是解题的关键．
8. 如图，为的切线，切点为A，OB交于点C，P是上的点，连接，，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键；
由为的切线，可知，然后根据在同圆中，同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半，即可解答；
【详解】为的切线，
，
，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，若点恰好在边上，则的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用旋转的性质，得到，，，得到为等边三角形，进而得到，利用，即可得解．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．
10. 某商城推出免利息分期付款购买电脑活动，在活动期间王先生要购买一款标价为7999元的电脑，前期付款1999元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为（千元），付款月数（为正整数），选取5组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．
【详解】解：由题意得，即，
故y是x的反比例函数，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题关键．
11. 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（ ）
A. 小强赢的概率最小B. 小文赢的概率最小
C. 小亮赢的概率最小D. 三人赢的概率都相等
【答案】A
【解析】
【详解】画树形图得：

所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
所以是小强赢的概率最小．
12. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（ ）

A. B. 当时，y随x的增大而减小
C. 点B的坐标为D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、抛物线开口向下，，选项错误，不符合题意；
B、，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴点B的坐标为，选项正确，符合题意；
D、∵抛物线与x轴交于，
∴，
∴，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
13. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和扇形面积计算公式、三角形的面积公式，可以计算出图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【详解】解：连接，
由已知可得，，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴弓形的面积，
∴阴影部分的面积=，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知，弓形的高度（是的中点），现设计安装玻璃，则所在的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂径定理可得， 再表示出OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵弓形的跨度，为弓形的高，是的中点，
∴于，
∴，
设圆的半径为，
∵弓形的高，
∴，，
在中，由勾股定理可知∶
，
∴，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答是解题的关键．
15. 在中，，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，根据下列作图痕迹判断，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】解：当是的垂线时，，
，
，
∵，
∴．
根据作图痕迹可知，
A选项中，是的角平分线，不符合题意；
B选项中，，不符合题意；
C选项中，是的垂线，符合题意；
D选项中，不与垂直，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
16. 题目：“在中，，，，求的长度．”对于其答案，甲答：的长度为，乙答：的长度为，丙答：的长度为，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数值及勾股定理分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴假设是直角三角形，
∴，
∵，
∴假设与已知条件出现矛盾，
∴不是直角三角形；
当是锐角三角形时，过点作，垂足为，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，在中，，
∴；

当是钝角三角形时，过点作，垂足为，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二室1分：19小题每空1分）
17. 已知α为锐角，且，则_______度．
【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查了根据特殊级三角函数值求角的度数，熟知60度角的余弦值为是解题的关键．
【详解】解：∵α为锐角，且，
∴，
故答案为：．
18. 如图是幻灯机的原理图，放映幻灯片时，通过光源和镜头，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片中图形到镜头的距离为，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为．
（1）与___________；（填“位似”或“不位似”）
（2）屏幕图形的高度为___________．
【答案】 ①. 位似 ②.
【解析】
【分析】（1）根据题意作出图形，根据位似三角形的定义即可得出结论；
（2）根据题意作出图形，过点作于点，线段的延长线交与点，再根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）由题意作出下图，结合图形可知：
，
，
与位似．
故答案为：位似．
（2）过点作于点，线段的延长线交与点，
，，
，
由题意：，，，
由（1）得，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，位似三角形的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19. 如图，已知直线与，轴分别交于A，两点，并与反比例函数的图象分别交于点，．
（1）的值为___________；的值为___________；
（2）将直线沿轴向上平移，若平移后点，的对应点同时落在另一个反比例函数的图象上，则的值为___________．
【答案】 ①. 4 ②. 1 ③. 36
【解析】
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中求得的值；由已求得的的值，得到反比例函数的解析式，把D的坐标代入反比例函数式中可求得a的值；
（2）用待定系数法可求得直线的解析式，则可求得点A的坐标；设直线向上平移的距离为n，则可得平移后点A、D的坐标，代入中，即可求得m的值．
【详解】（1）解：由题意知，点C的坐标代入反比例函数解析式中得：，
即反比例函数的解析式为；
由于点D在的图象上，故有，解得；
故答案为：4，1；
（2）解：由（1）知，点D的坐标为，
由于直线过点C、D，则有，
解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，得，
即点A的坐标为；
设直线向上平移n个单位长度，则平移后点A、D的坐标分别为，上述两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，点与函数图象的关系，点的平移等知识，掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值，再进行加减运算；
（2）公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的运算，解一元二次方程．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，公式法解一元二次方程．
21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C，连接．

（1）求k的值；
（2）求．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）将点代入即可得解；
（2）将点代入中，解得，将点代入中，解得，再根据三角形面积公式即可得解．
【小问1详解】
解：将点代入中，解得；
【小问2详解】
将点代入中，解得．将点代入中，解得，
∴．
当时，，即，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是用待定系数法求出函数解析式，再确定交点的坐标．
22. 河北省博物馆坐落在省会石家庄市中心，是全国爱国主义教育示范基地，某数学小组用皮尺和测角仪测量该博物馆最高处的高度，如图，他们在地面上架设测角仪，先在点C处测得博物馆最高点A的仰角，然后沿方向前进到达点N处，测得点A的仰角（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为，请利用同学们的测量数据求的长度和该博物馆最高点A距离地面的高度．（参考数据：，，）

【答案】该博物馆最高点A距离地面的高度为．
【解析】
【分析】在中，利用正切函数的定义求得，据此求解即可．
【详解】解：由题意可得四边形CMBE是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，
解得，
∴，
，
即MB的长度为52m，该博物馆最高点A距离地面的高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
23. 现有甲、乙两个不透明的布袋，各装有3个完全相同的小球，甲袋中的小球上分别标有数字，2，5，乙袋中的小球上分别标有数字3，，．小明从甲袋中随机摸出一个小球，记下数字为，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下数字为．
（1）小惠从乙袋中随机摸出的小球上的数字是负数的概率为___________；
（2）已知关于的一元二次方程，补全如图所示的树状图，并求方程有实数根的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，再分别计算每种情况下，找出符合条件的情况数，最后根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：乙袋中一共有3个数，负数有两个，
∴小惠从乙袋中随机摸出的小球上的数字是负数的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
如图；
共有9种等可能的情况，其中方程有实数根的情况有7种，
∴方程有实数根的概率为．
【点睛】本题主要考查了根据树状图求概率以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握树状图的画法以及一元二次方程有实数根时．
24. 如图，正六边形是半径为1的的内接六边形，连接并延长到点，过点，交的延长线于点．
（1）是___________（填“直角”“等腰”或“等边”）三角形；
（2）当___________时，直线与相切，此时通过计算比较线段和劣弧长度哪个更长；（参考数据：取3）
（3）已知是上的动点（点不与点A，重合）．
①连接，，求的度数；
②已知，过点作的切线，当切线与直线交于点时，请直接写出长的最小值．
【答案】（1）等边 （2）
（3）①或，②
【解析】
【分析】（1）先证明为等边三角形，得出，再根据平行线的性质得出，即可得出结果；
（2）连接，根据切线性质得出，根据等边三角形的性质，得出，，利用三角函数求出，求出劣弧长度，进行比较即可；
（3）①根据圆周角定理，分两种情况求出结果即可；
②根据切线性质结合勾股定理得出，从而得出当的长度最短时，的长取得最小值，根据等边三角形的性质和勾股定理求出最小值即可．
【小问1详解】
解：∵六边形是正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边；
【小问2详解】
解：连接，
∵与与相切，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴在中，，
即当时，直线与相切；
∵取3，
∴，
∵，
∴，
∴线段的长度更长；
【小问3详解】
解：①根据解析（1）可知，，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
综上所述，的度数为或；
②∵与相切，
∴，
∴，
当的长度最短时，的长取得最小值，
∴当时，的长取得最小值，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即长的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和定理．
25. 【初步探索】
（1）如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．
（2）当的面积达到最大时，的度数为__________
（3）根据图2，求证：；
（4）根据图2，求的度数；
【类比应用】
（5）如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析 （4）
（5）
【解析】
【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等两三角形相似即可得出结论．
（2）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大．即可得出的度数．
（3）由，，可得得，，得出即可得出结论．
（4）由可得，由即可得出结论．
（5）连接、，在和中，根据勾股定理，，由此可知，，由，可得，由，可得即可得出结论．
【小问1详解】
∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵一定，，因此当最大时，的面积最大，由题意得时，取最大值，此时的面积最大，
∴,
∵，，
∴，
∴旋转角，
故答案为：．
【小问3详解】
∵、、，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
【小问4详解】
∵，
∴，
∴
，
即的度数为115°．
【小问5详解】
连接，．如图，
在和中，由勾股定理,，
∴，
，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形面积的最大值，矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧．
（1）求的值；
（2）若将抛物线进行平移，使平移后的点与原点重合，并且在轴上截取的线段长为6，求平移后的抛物线解析式；
（3）将抛物线在轴左侧部分沿轴翻折，并保留其他部分得到新的图象．
①当，且时，求取值范围；
②如图，已知点，，当线段与图象恰有两个公共点，且时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）①或，②
【解析】
【分析】（1）根据抛物线对称轴，即可作答；
（2）设平移后的抛物线的解析式为，根据平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6，可得平移后的点的坐标为，代入即可求解；
（3）①将代入，可得，解方程，可得，．再根据轴对称的性质可得关于轴对称的抛物线解析式为，当时，解得，，问题得解；②先求出关于轴对称的抛物线解析式为，再分类讨论：当经过点时；当经过点时；当时，图象与线段至多有一个公共点，画出图象，数形结合即可作答．
【小问1详解】
∵，
∴，即的值为；
【小问2详解】
∵平移后的点与原点重合，设平移后的抛物线的解析式为．
∵平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6，
∴平移后的点的坐标为．
将代入中，解得，
∴平移后的抛物线解析式为；
【小问3详解】
①∵，
∴，
令，
解得，．
∵关于轴对称的抛物线解析式为，
当时，
解得，，
∴当时，的取值范围为或；
②的取值范围为．理由如下：
关于轴对称的抛物线解析式为，
如图1，当经过点时，解得．
当时，，
当时，，
即线段与抛物线有2个交点．
当时，，
当时，，
即线段与抛物线有1个交点．
综上，当时，线段与图象有三个公共点．
如图2，当经过点时，
解得，
∴，
当时，，
即线段与抛物线有一个交点，
∴时，线段与图象恰有两个公共点．
如图3，根据图象，当时，图象与线段至多有一个公共点．
∴时，线段与图象恰有两个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合，以及轴对称图象的性质等知识，根据轴对称的性质得出关于轴对称的抛物线解析式为，是解答本题的关键．