辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版+原卷版）

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1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将数字0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A. 34×1012B. 34×10﹣12C. 3.4×1010D. 3.4×10﹣10
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】
故选：D
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
3. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项等知识点，能熟记运算法则解题的关键．先根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项对各选项逐一计算，再得出选项即可．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 不可能事件发生的概率为B. 随机事件发生的概率为
C. 概率很小的事件不可能发生D. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件是指在任何条件下都会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1以及概率的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不可能事件发生的概率为，原说法正确，符合题意；
B、随机事件发生的概率在0到1之间，原说法错误，不符合题意；
C、概率很小的事件可能发生，原说法错误，不符合题意；
D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件的概念，概率的意义．必然事件是指在一定条件下，肯定会发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5. 已知：如图，添加下列条件不能使是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】A、，，，不能判定，故符合题意；
B、，，，能判定，故不符合题意；
C、，，，能判定，故不符合题意；
D、，，，能判定，故不符合题意；
故选：A．
6. 一块含有45°的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是（ ）
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，即可求解．
【详解】解：∵∠1＝55°，
∴∠AFD=55°，
∴∠ADF=180°-45°-55°=80°，
∵MN∥HK，
∴∠AEG=∠ADF=80°，
∴∠2=80°-45°=35°．
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及平行线的性质定理，熟练掌握上述定理，是解题的关键．
7. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）

A. a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B. a（a﹣b）＝a2﹣ab
C. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D. a（a+b）＝a2+ab
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可．
【详解】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)，
即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键．
8. 将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即被放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表：
下述说法不正确的是（ ）
A. 自变量是时间，因变量是温度计的读数
B. 当时，温度计上的读数是31.0℃
C. 温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变
D. 依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是13.0℃
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和表格中的数据逐项判断即可．
【详解】解：A、自变量是时间，因变量是温度计的读数，正确，不符合题意；
B、当时，温度计上的读数是31.0℃，正确，不符合题意；
C、温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，不符合题意；
D、依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数可能低于12℃或者等于12℃，错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查用表格表示变量间的关系，能从表格中获取有效信息是解答的关键．
9. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形高的画法进行判断即可．
【详解】解：选项A，C，D中都不是的边上的高，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形高，熟练掌握三角形高的画法是解题的关键．
10. 如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）

A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧
B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧
C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧
D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【解析】
【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：(2x)3÷x = _____.
【答案】8x2
【解析】
【分析】根据积的乘方等于各因式乘方的积和单项式的除法法则解答．
【详解】解：（2x）3÷x=8x3÷x=8x2．
故答案为8x2．
【点睛】本题主要考查积乘方的性质，单项式的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
12. 长方形的面积为，如果它的长为，则它的宽为___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的除法，直接利用整式的除法运算法则计算进而得出它的宽．正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵长方形的面积为，它的长为，
∴它的宽为：．
故答案为：．
13. 远通工程队承建一条长的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度与施工时间（天）之间的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据总工程量减去已修的工程量，可得答案．
【详解】解：由题意，得
每天修30÷120＝km，
∴还未完成的公路长度与施工时间（天）之间的关系式为y＝30−x，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，利用总工程量减去已修的工程量是解题关键．
14. 如图，AE是ABC的角平分线、AD是BC上的高．若，，则____________．
【答案】15°
【解析】
【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠BAE的度数，再求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠BAC=180°-34°-64°=82°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=41°，
∵∠ABC=34°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD=90°-34°=56°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=56°-41°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】先根据平行线的性质得出，再由图形翻折变换的性质得出，最后根据三角形外角的性质可得出结论．
【详解】解：四边形纸片是矩形纸片，
∴AD∥BC．
，
又，
，
四边形由四边形翻折而成，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，图形翻折变换的性质及矩形的性质，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变．
16. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了______ 小时．
【答案】4或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．要分三种情况讨论：当时，当时，当时．根据数量关系即可求解，该题解答过程比较复杂，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
设两车出发后两车相距．
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数的混合运算，先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算加减即可．能正确根据其运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
【详解】解：原式


．
18. 简算：
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，将算式变形后运用平方差公式进行求解．
【详解】解：



．
19. 先化简，再求值：，其中；
【答案】，22
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：

，
当时，原式．
20. 按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．
已知：如图，，．
求证：．
证明：，
（已知），
（______），
（已知），
（______），
即______ ______ ，
______ ______ ______ ，
（______），
【答案】等角的补角相等 等式的性质 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据等角的补角相等得出，再根据等式的性质得出，根据内错角相等，两直线平行得出，最后根据两直线平行，内错角相等得出．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：， ，（已知），
（等角的补角相等），
已知 ，
（等式的性质1），
即 ，
内错角相等，两直线平行 ，
两直线平行，内错角相等 ，
故答案为：等角的补角相等；等式的性质；；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
21. 一个不透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?
【答案】（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率是；（2）取出了5个黑球．
【解析】
【分析】(1)根据概率公式用黄球的个数除以总球数即可；
(2)设取出了x个黑球， 利用概率公式得到即可．
【详解】解：(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率=，
(2)设取出了x个黑球．
根据题意得，解得x=5，
答:取出了5个黑球．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n, 再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.解决本题的关键是接着概率公式．
22. 按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在中，于点D，，若，，求的长．
解：在线段上取一点E，使，连接，
∵，，
∴（ ）．
∴ （ ）．
∵，
∴．
∵（ ），
（ ），
∴．
∴ ．
∴ = （ ）．
∴（ ）．
∵，，
∴，．
∴．
【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；等边对等角；平角定义；三角形内角和等于；；；；等角对等边；等量代换．
【解析】
【分析】在线段上取一点E，使，连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得．然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得，从而可得，进而可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：在线段上取一点E，使，连接，
∵，，
∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
∴（等边对等角）．
∵，
∴．
∵（平角定义），
（三角形内角和等于180°），
∴．
∴．
∴（等角对等边）．
∴（等量代换）．
∵，，
∴，．
∴．
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；等边对等角；平角定义；三角形内角和等于；；；；等角对等边；等量代换．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．
23. 将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如，若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．

（1）若，，则 ______ （直接填空）；
（2）若，，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）．
【答案】（1）7 （2）18
（3）236
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值；
（1）根据完全平方公式得出，将代入，即可求解；
（2）根据完全平方公式得出，将，代入，即可求解；
（3）设，，则，，，由，得，所以，则，所以，即可求得，所以正方形和面积的和为，于是得到问题的答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
，
的值是．
【小问3详解】
设，，则，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
正方形和面积的和为，
故答案为：．
24. 在中，，直线经过点，分别过点，作于点，于点．
（1）当直线经过内部时，如图①所示，求证：≌；
（2）取中点，连接，．
①在图②中，若，则的面积为______ 直接填空；
②若，，直接写出的面积．
【答案】24. 见解析
25. ①9；②或
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，其中证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．
（1）根据已知条件证明，利用即可得出；
（2）①连接，根据等腰直角三角形斜边上的中线的性质，可得，，再证明，从而证明为等腰直角三角形，根据直角三角形的面积公式即可求解；分两种情况：第一种情况：直线在三角形内部与完全相同；
第二种情况：直线在三角形外部证明方法与类似．
【小问1详解】
解：证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图：连接，

在中，，，
为中点，
，，，
，
设，
由（1）知，
，，
，
，
，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
即：，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：；
分两种情况：
第一种情况：在内部时，如图，
，
由（1）知：，
，，
，
由①证明知：时等腰直角三角形，
，
；
第二种情况：在外部时，连接 ，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，，
即，
在中，，．
为中点，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
即：，
是等腰直角三角形，
，
，
综上，的面积或．
25. 在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，进一步探究等边三角形的有关问题．
（1）如图①，“智慧组”在等边中，作于点，经过探究提出下面结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
①中等于的角为______ 直接填空；
②求证：．
（2）“奋进组”直接探究了下面的问题：
已知：为等边三角形，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值．
①利用图求出的度数；
②“创新组”发现：取中点，连接并延长交直线于点，若，，则可得出线段的长请直接写出线段的长．
【答案】（1）①；②见解析
（2）①；②5
【解析】
【分析】（1）由直角三角形的性质得出答案；
由等边三角形形的性质可得出答案；
（2）由等边三角形及等腰三角形的性质求出和的度数，则可得出答案；
在上截取，连接，，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：，，
，
故答案为：；
证明：是等边三角形，
，
，
，，
．
【小问2详解】
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
在上截取，连接，，

，为的中点，
，，
是的中垂线，
，
由可知，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．时间t（单位：s）
5
10
15
20
25
30
温度计读数（单位：℃）
49.0
31.0
22.0
16.5
14.0
12.0