辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷(含答案)

2022-2023学年辽宁省沈阳市皇姑区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，被认为是本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有，请将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.

C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 不可能事件发生的概率为

B. 随机事件发生的概率为

C. 概率很小的事件不可能发生

D. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次

5.  如图，已知，添加下列条件，不能使≌的是(    )

A.

B.

C.

D.

6.  一块含有的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形无重叠部分，通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是(    )

A.  B.

C.  D.

8.  将温度计从热茶的杯子中取出之后，立即放入一杯凉水中．每隔后读一次温度计上显示的度数，将记录下的数据制成下表．

下列说法不正确的是(    )

A. 自变量是时间，因变量是温度计的读数

B. 当时，温度计上的读数是

C. 温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变

D. 依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数是

9.  如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是(    )

A.  B.

C.  D.

10.  如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹的作法是(    )

A. 以点为圆心，长为半径画弧 B. 以点为圆心，长为半径画弧

C. 以点为圆心，长为半径画弧 D. 以点为圆心，长为半径画弧

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：          ．

12.  长方形的面积为，如果它的长为，则它的宽为______ ．

13.  某工程队承建一条长为的乡村公路，预计工期为天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度与施工时间天之间的关系式为______．

14.  如图，已知是的角平分线，是边上的高若，，则 ______ ．

15.  如图，把一张长方形纸片沿着折叠，若，那么______度．

16.  一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示当两车相距时，两车出发了______ 小时．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

计算：；

18.  本小题分

简算：；

19.  本小题分

先化简，再求值：，其中；

20.  本小题分

按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．

已知：如图，，．

求证：．

证明：，

已知

______

已知

______

即______ ______

______ ______ ______

______

21.  本小题分

一个不透明的袋中装有个黄球、个黑球和个红球，它们出颜色外都相同．

求从袋中摸出一个球是黄球的概率；

现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球？

22.  本小题分

按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在中，于点，，若，，求的长．

解：在线段上取一点，使，连接，

，，

______

______ ______

，

．

______ ，

______ ，

．

______ ．

______ ______ ______

______

，，

，．

．

23.  本小题分

将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．

例如，若，，求的值．

解：因为，所以，即．

又因为，所以，所以．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．

若，，则 ______ 直接填空；

若，，求的值；

如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ 直接填空．

24.  本小题分

在中，，直线经过点，分别过点，作于点，于点．

当直线经过内部时，如图所示，求证：≌；

取中点，连接，．

在图中，若，则的面积为______ 直接填空；

若，，直接写出的面积．

25.  本小题分

在数学课上，老师将同学们分成“智慧组”，“奋进组”和“创新组”三个数学活动小组，进一步探究等边三角形的有关问题．

如图，“智慧组”在等边中，作于点，经过探究提出下面结论：

在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

中等于的角为______ 直接填空；

求证：．

“奋进组”直接探究了下面的问题：

已知：为等边三角形，以为腰，在外作等腰，使，，连接，则的度数是个定值．

利用图求出的度数；

“创新组”发现：取中点，连接并延长交直线于点，若，，则可得出线段的长请直接写出线段的长．

参考答案及解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，本选项不符合题意；

B.是轴对称图形，本选项符合题意；

C.不是轴对称图形，本选项不符合题意；

D.不是轴对称图形，本选项不符合题意．

故选：．

结合轴对称图形的概念进行求解即可．

【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：，

故选：．

把小于的正数用科学记数法写成的形式即可得出结论．

【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；

B.和不是同类项，不能合并，故B不符合题意；

C.，故C符合题意；

D.，故D不符合题意；

故选：．

先根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项对各选项逐一计算，再得出选项即可．

【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项等知识点，能熟记运算法则解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：不可能事件发生的概率为，故本选项正确；

B.随机事件发生的概率为，故本选项错误；

C.概率很小的事件，不是不发生，而是发生的可能性小，故本选项错误；

D.投掷一枚质地均匀的硬币次，是随机事件，正面朝上的次数不一定是次，故本选项错误．

故选A．

根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的可能性大于并且小于，进行判断．

【点拨】本题考查了不可能事件、随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5.【答案】 

【解析】解：，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；

B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；

C.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；

D.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；

故选：．

根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，两直角三角形全等，还有．

6.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

，，

，

在中，，

，

，

故选：．

根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．

此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即对顶角相等是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为，

即，

故选：．

由面积的和差关系可求解即可．

【点拨】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键．

8.【答案】 

【解析】

本题考查了用表格表示变量间的关系，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．

根据自变量和因变量的定义、表格信息逐项判断即可．

【解答】

解：自变量是时间，因变量是温度计的读数，正确，故不符合题意；

B.当时，温度计上的读数是，正确，故不符合题意；

C.温度计的读数随着时间推移逐渐减小，最后保持不变，正确，故不符合题意；

D.依据表格中反映出的规律，时，温度计上的读数会小于等于，错误，故符合题意．

故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：作的是边上的高，作的不是三角形的高，作的是边上的高，所以都不是的边上的高，而作的是过顶点且与垂直的线，是边上的高线，符合题意．

故选：．

根据高线的定义即可得出结论．

【点拨】本题考查的是三角形的高的定义，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．

10.【答案】 

【解析】

本题考查的是作图基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．

根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．

【解答】

解：用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，

第二步的作图痕迹的作法是以点为圆心，以的长为半径画弧．

故选D．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

此题主要考查了整式的除法运算法则，正确掌握运算法则是解题关键．

直接利用整式的除法运算法则求出即可．

【解答】

解：．

故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

此题主要考查了整式除法运算的应用，解题的关键是能够熟练进行多项式除以单项式的除法运算．

根据长方形的宽面积长列得算式，然后根据多项式除以单项式的法则进行计算即可得解．

【解答】

解：长方形的面积为，它的长为，

它的宽为：．

故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由题意，得

每天修，

，

故答案为：

根据总工程量减去已修的工程量，可得答案．

【点拨】本题考查了函数关系式，利用总工程量减去已修的工程量是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：在中，，

，，

，

是的角平分线，

，

是边上的高，

，

，

，

，

，

故答案为：．

先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，在中求出的度数，即可求出的度数．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：四边形纸片是矩形纸片，

．

，

又，

，

四边形由四边形翻折而成，

，

．

故答案为：．

先根据平行线的性质得出，再由图形翻折变换的性质得出，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【点拨】本题考查的是平行线的性质，图形翻折变换的性质及矩形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变．

16.【答案】或 

【解析】解：由图象可知：小轿车的速度为，大客车的速度为．

设两车出发后两车相距．

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得．

当两车相距时，两车出发了或小时．

故答案为：或．

要分三种情况分别进行分析讨论：由于小轿车速度更快，所以小轿车到达乙地之前，两车的距离一直在增加，这之间可能有一个时刻两车相距；

小轿车到达乙地后停止，直到开始往回返，两车的距离一直在缩短，这之间可能有一个时刻两车相距；

小轿车开始往回返之后直至两车相遇，它们之间的距离一直在缩短．相遇后，两车间的距离一直增加，这之间可能有一个时刻两车相距．

本题考查一次函数的应用，根据图象解决某个问题．该题解答过程比较复杂，分为多种情况，一定要深刻理解题意，弄明白两车运动的过程．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算加减即可．

【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．

18.【答案】解：

． 

【解析】将算式变形后运用平方差公式进行求解．

【点拨】此题考查了平方差公式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．

19.【答案】解：

，

当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．

【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】等角的补角相等  等式的性质          内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等 

【解析】证明：，

已知

等角的补角相等

已知

等式的性质

即

内错角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等

故答案为：等角的补角相等；等式的性质；；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

先根据等角的补角相等得出，再根据等式的性质得出，根据内错角相等，两直线平行得出，最后根据两直线平行，内错角相等得出．

【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：从袋中摸出一个球是黄球的概率；

设取出了个黑球，

根据题意得，

解得，

答：取出了个黑球． 

【解析】利用概率公式直接计算；

设取出了个黑球，利用概率公式得到，然后解关于的方程即可．

【点拨】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

22.【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等    等边对等角  平角定义  三角形内角和等于        等角对等边  等量代换 

【解析】解：在线段上取一点，使，连接，

，，

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，

等边对等角．

，

．

平角定义，

三角形内角和等于，

．

．

等角对等边．

等量代换．

，，

，．

，

故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；等边对等角；平角定义；三角形内角和等于；；；；等角对等边；等量代换．

在线段上取一点，使，连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得，从而可得，进而可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．

【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】   

【解析】解：，

，

，

，

，

，

故答案为：．

，

，

，

，

，

，

的值是．

设，，则，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

正方形和面积的和为，

故答案为：．

由，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案；

由，得，则，而，即可求得的值是；

设，，则，，，由，得，所以，则，所以，即可求得，所以正方形和面积的和为，于是得到问题的答案．

【点拨】此题重点考查乘法公式、代数式的几何背景、长方形及正方形的面积公式等知识，能熟练地进行等式的变形是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】证明：，

，

，

，

，

，，

，

，

≌；

解：如图：连接，

在中，，．

为中点，

，，，

，

设，

由知≌，

，，

，

，

，

，，

，

，

在与中，

，

≌，

，，

，

，

即：，

是等腰直角三角形，

，

，

故答案为：；

分两种情况：

第一种情况：在内部时，如图，

由知：≌，

，，

，

由证明知：时等腰直角三角形，

，

；

第二种情况：在外部时，

，

，

，

，

，

，，

，

，

≌，

，，，

，，

即，

连接，

在中，，．

为中点，

，，，

，

在与中，

，

≌，

，，

，

，

即：，

是等腰直角三角形，

，

，

综上，的面积或．

根据已知条件证明，利用即可得出≌；

连接，根据等腰直角三角形斜边上的中线的性质，可得，，再证明≌，从而证明为等腰直角三角形，根据直角三角形的面积公式即可求解；

分两种情况：第一种情况：直线在三角形内部与完全相同；

第二种情况：直线在三角形外部证明方法与类似．

【点拨】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式，其中证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：，，

，

故答案为：；

证明：是等边三角形，

，

，

，，

．

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

；

在上截取，连接，，

，为的中点，

，，

是的中垂线，

，

由可知，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，，

，

，

≌，

，

．

由直角三角形的性质得出答案；

由等边三角形形的性质可得出答案；

由等边三角形及等腰三角形的性质求出和的度数，则可得出答案；

在上截取，连接，，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案．

【点拨】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．