2023-2024学年福建省泉州市南安市多校九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市南安市多校九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 13B. 0.5C. 4D. 6
2.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠B=60°，则∠C′等于( )
A. 20°B. 40°C. 60°D. 80°
3.若把方程x2−4x−1=0化为(x+m)2=n的形式，则n的值是( )
A. 5B. 2C. −2D. −5
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则( )
A. sinA=34B. csA=45C. csB=34D. tanB=35
5.一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则估计红球的个数约为( )
A. 35个B. 60个C. 70个D. 130个
6.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1188元降到了680元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是( )
A. 680(1+x)2=1188B. 1188(1+x)2=680
C. 680(1−x)2=1188D. 1188(1−x)2=680
7.如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是( )
A. B.
C. D.
8.梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. sinA的值越大，梯子越陡B. csA的值越大，梯子越陡
C. tanA的值越小，梯子越陡D. 陡缓程度与∠A的函数值无关
9.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=6，AC=8，两条中线BD和CE相交于点Q，则CQ的长是( )
A. 5
B. 103
C. 203
D. 53
10.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2其中正确的( )
A. ①④B. ①②④C. ①②③④D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.化简： (2− 5)2= ______．
12.如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约______m(结果取整数).(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
13.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次(假设每次飞镖均落在游戏板上)，击中有颜色的小正方形(阴影部分)的概率为______．
14.已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是______．
15.如图，直线AD，BC交于点O，AB/​/EF/​/CD，若AO=2，OF=1，FD=2，则BEEC的值为______．
16.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③A、F、C三点共线；④若CE：DE=1：3，则BH：DH=17：16.你认为其中正确的是______.(填写序号)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2−6x+5=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算： 10÷ 5− 3× 6+2sin45°．
19.(本小题8分)
化简求值：(1x+1+1x2−1)÷xx−1，其中x= 2−1．
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1，x2是方程的两个解，令w=x1x22+x12x2+k，求w的最大值．
21.(本小题8分)
某节能灯厂出售一批额定功率为30W的节能灯，每盒装有100个节能灯，由于包装工人的疏忽，在包装时混进了额定功率15W的节能灯.某批发商从工厂购进了50盒30W的节能灯，每盒中混入15W灯数如表：
(1)平均每盒混入几个15W灯？
(2)若一盒混入15W节能灯的数量大于2%，工厂需给批发商赔偿.从这50盒中任意抽取一盒，记事件A为：该盒需要给批发商赔偿.求事件A的概率．
22.(本小题10分)
如图，已知∠MON，A，B为射线ON上两点，且OB(1)求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上；(要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接AC，若OA=8，OB=2，OC=4 2，求AC的长．
23.(本小题10分)
为加强疫情防控工作，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表：
问题解决：学校要求测温区域的宽度AB为4m，师生身高设定为A′A=B′B=1.7m.当师生从A走到B时，即可测出人体温度．请你帮助学校确定该设备的安装高度EC.(结果精确到0.1m；参考数据tan34°≈0.7，tan28°≈0.5)
24.(本小题12分)
阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
任务：
(1)计算：1+2+3+4+⋯+203=；
(2)我们知道：22−21=21；23−22=22；24−23=23；…则21+22+23+⋯+21000= ______；
(3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
25.(本小题14分)
在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1)．
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2)．
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长．
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 13=13 3，故不是最简二次根式，故本选项错误；
B、 0.5=12 2，故不是最简二次根式，故本选项错误；
C、 4=2，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 6符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
故选：D．
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−40°−60°=80°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′=∠C=80°．
故选D．
根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等可得∠C′=∠C．
本题考查了相似三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−4x−1=0，
∴x2−4x=1，
∴x2−4x+4=5，
∴(x−2)2=5，
∴n=5，
故选：A．
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 52−42=3，
则sinA=35，csA=45，csB=35，tanB=43，
∴选项B正确，
故选：B．
根据勾股定理求出BC，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的正弦、余弦、正切的定义是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵摸到红球的频率依次是35%，
∴估计口袋中红色球的个数=30%×200=60(个)．
故选：B．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手求解．
考查了利用频率估计概率，解答此题关键是要先计算出口袋中红球的比例再算其个数．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
6.【答案】D
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1188(1−x)2=680．
故选：D．
根据降价后的价格=原价(1−降低的百分率)，本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解决此类两次变化问题，可利用公式a(1−x)2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的降低率．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是相似多边形的判定，解题的关键是理解对应角相等，对应边的比相等的多边形是相似多边形．根据相似多边形的判定判定定理判断即可．
【解答】
解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：根据锐角三角函数值的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．
故选：A．
锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．
本题主要考查锐角三角函数值的变化规律及坡度的定义．属于基础题型，比较简单．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠BCA=90°，BC=6，AC=8，
∴AB= 62+82=10，
∵两条中线BD和CE相交于点Q，
∴CE=12AB=5，点Q为Rt△ABC的重心，
∴CQQE=2，
∴CQCE=23，
∴CQ=23CE=103；
故选：B．
利用勾股定理求出AB的长，斜边上的中线，求出CE的长，再利用重心的性质，得到CQQE=2，即可得出结果．
本题考查重心的性质，斜边上的中线，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，重心的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①∵a+b+c=0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，
∴Δ=b2−4ac≥0，结论①正确；
②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=−4ac>0，
∴Δ=b2−4ac≥−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，结论②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
若c为0，则无法得出ac+b+1=0，结论③不正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴± b2−4ac=2ax0+b，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，结论④正确．
∴正确的结论有①②④．
故选：B．
①由a+b+c=0，可得出x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，进而可得出Δ=b2−4ac≥0；
②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，可得出Δ=−4ac>0，结合偶次方的非负性，可得出Δ=b2−4ac≥−4ac>0，进而可得出方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；
③代入x=c，可得出ac2+bc+c=0，当c=0时，无法得出ac+b+1=0；
④利用求根公式，可得出x0=−b± b2−4ac2a，变形后即可得出b2−4ac=(2ax0+b)2．
本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
11.【答案】 5−2
【解析】解：∵4<5，
∴2< 5，
∴原式= 5−2．
故答案为： 5−2．
根据二次根式的性质解答即可．
本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
12.【答案】21
【解析】解：∵CA=CB，CD⊥AB，
∴AD=BD=12AB，
在Rt△ACD中，∠CAD=37°，CD=3m，
∴AC=CDsin37∘≈30.6=5(m)，AD=CDtan37∘≈30.75=4(m)，
∴CA=CB=5m，AB=2AD=8(m)，
∴共需钢材约=AC+CB+AB+CD=5+5+8+3=21(m)，
故答案为：21．
根据等腰三角形的三线合一性质可得AD=BD=12AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】59
【解析】解：正方形被分成9个小正方形，并且飞镖落在每个小正方形的可能性是均等的，其中阴影部分是5个小正方形，
所以任意投掷飞镖1次，击中有颜色的小正方形(阴影部分)的概率是59．
故答案为：59．
根据几何概率的定义，求出阴影部分占整体的几分之几即可．
本题考查几何概率，理解概率的定义，掌握几何概率的计算方法是正确解答的关键．
14.【答案】5
【解析】解：设方程的另一个解为t，
根据根与系数的关系得−4t=−20，
解得t=5，
即方程的另一个根为5．
故答案为：5．
设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得−4t=−20，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
15.【答案】32
【解析】解：∵AO=2，OF=1，
∴AF=AO+OF=2+1=3，
∵AB//EF//CD，
∴BEEC=AFFD=32，
故答案为：32．
根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，
∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠FBE=45°，
∴∠ABF=∠DBE；
∴①正确，符合题意；
②∵△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，
∴ABBD=BFBE= 2，
又∵∠ABF=∠DBE，
∴△ABF∽△DBE，
∴②正确，符合题意；
③连接AC，
∵四边形ABCD为正方形，AC、BD为对角线，
∴AC⊥BD，
∵△ABF∽△DBE，
∴∠FAB=∠EDB=45°，
∴AF⊥BD；
∴A、F、C三点共线；
∴③正确，符合题意；
④∵CE：DE=1：3，
∴设CE=x，DE=3x，
∴BC=4x，
在Rt△BCE中，由勾股定理知：BE= 17x，
∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，
∴△BEH∽△BDE，
∴BEBD=BHBE，
∴BE2=BD⋅BH，
∴17x2=4 2x⋅BH，
∴BH=17 28x，
∴DH=158 2x，
∴BH：DH=17：15，
∴④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
①由正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得出∠ABD=∠FBE=45°，再根据角的和差即可得证；
②根据等腰直角三角形的性质可得出ABBD=BFBE，从而得证；
③连接AC，根据正方形的性质得出AC⊥BD，再根据相似三角形的性质即可证得AF⊥BD，从而得出结论；
④根据设CE：DE=1：3，可设CE=x，DE=3x，根据勾股定理得出BE= 17x，易证△BEH∽△BDE，然后根据相似三角形的性质可得出BH、DH的值，再求比即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、正方形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
17.【答案】解：分解因式得：(x−1)(x−5)=0，
x−1=0，x−5=0，
x1=1，x2=5．
【解析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
18.【答案】解： 10÷ 5− 3× 6+2sin45°
= 2− 18+2× 22
= 2−3 2+ 2
=− 2．
【解析】先算乘除法，再算加减法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
19.【答案】解：(1x+1+1x2−1)÷xx−1
=x−1+1(x−1)(x+1)⋅x−1x
=x(x−1)(x+1)⋅x−1x
=1x+1，
当x= 2−1时，
原式=1 2−1+1
= 22．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(k+1)≥0，
解得：k≤54，
∴k的取值范围为k≤54；
(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−3x+k+1=0的两个解，
∴x1+x2=3，x1⋅x2=k+1．
∴w=x1x22+x12x2+k=x1x2(x1+x2)+k=3(k+1)+k=4k+3，
∴k=54时，w的最大值为4×54+3=5+3=8．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=3，x1⋅x2=k+1，结合w=x1x22+x12x2+k，由增减性可求w的最大值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；(2)利用根与系数的关系结合w=x1x22+x12x2+k，根据增减性可求w的最大值．
21.【答案】解：(1)15W灯数个数：1×25+2×9+3×1+4×1=50，
平均每盒混入：5050=1(个)
(2)每盒中混入0个，1个，2个，数量小于等于2%，不用赔偿，
混入3个数量是3%，混入4个数量是4%，需要赔偿，P(A)=250=125
【解析】(1)先求出15W灯数个数，除以盒数就是平均每盒混入的个数；
(2)求出需要赔偿的盒数，再根据概率公式求出即可．
此题考查了概率问题，解题的关键是读懂题意并根据概率公式求解．
22.【答案】解：(1)如图，菱形ABCD为所求作的图形．

(2)如图所示，

∵OA=8，OB=2,OC=4 2，
∴BC=AB=AO−BO=8−2=6，
∵OC2+OB2=(4 2)2+22=36=62=BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠O=90°，
在Rt△ACO中，AC= CO2+AO2= (4 2)2+82=4 6．
【解析】(1)以B点为圆心，AB长为半径画圆，交OM于点C，再分别以C，A为圆心AB长为半径画，相交于D点，即可得出答案；
(2)根据已知条件得出△BOC是直角三角形，进而勾股定理即可求解．
本题考查了作菱形，勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.【答案】解：如图，过点A′作A′F⊥CE交CE于点F，
设CF=x m．

∵∠ECB′=∠A′CD，∠B′CA′=34°，
∴∠FCB′=12(90°−∠B′CA′)=28°，
在Rt△FCB′中，FB′=x⋅tan28°，
在Rt△FCA′中，x=FA′⋅tan28°，
∴x=0.5(0.5x+4)，
解方程得x≈2.7，
安装高度EC≈2.7+1.7=4.4(m)，
∴该设备的安装高度EC为4.4m．
【解析】过点A′作A′F⊥CE交CE于点F，解Rt△FCB′和Rt△FCA′，进行求解即可．
本题考查解直角三角形的应用．正确的添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
24.【答案】21001−2
【解析】解：(1)1+2+3+4+⋯+203=12(1+203)×203=20706，
故答案为：20706；
(2)令S=21+22+23+⋯+①，
2S=22+23+24+⋯+②
②−①：有S=22−21+23−22+24−23+…21001−21000=21001−2，
故答案为：21001−2；
(3)设这群人共有x人，
由题意，得1+2+3+…+x=6x，
即12x(1+x)=6x，
解方程，得x1=0(舍去)，x2=11，
答：这群人共有11人．
(1)根据方法1：“头尾相加法”，即可解答；
(2)根据方法2：“递归法”计算即可；
(3)设这群人共有x人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律，能找到规律是解题的关键．
25.【答案】(1)①证明：如图2，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP；
②解：∵四边形ABCD是矩形，CD=AB=2，
∴BP= AB2+AP2= 22+12= 5，
又△APB∽△DCP，
∴APDC=ABDP=BPPC，即12=2DP= 5PC．
∴PC=2 5，DP=4，
∴BC=AD=AP+DP=5；
(2)解：tan∠PEF的值不变．
理由：如图1，过F作FG⊥AD，垂足为点G，四边形ABFG是矩形．

∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，
∵在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，
又∵∠EPF=90°，
∴∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
∴△APE∽△GFP，
∴PFPE=FGPA=21，
在Rt△EPF中，tan∠PEF=PFPE=2，
∴tan∠PEF的值不变．
【解析】(1)①根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
②利用勾股定理求出BP，再利用相似三角形的性质求解即可；
(2)tan∠PEF的值不变．如图1，过F作FG⊥AD，垂足为点G，四边形ABFG是矩形．利用相似三角形的性质证明即可．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．每盒中混入15W灯数(个)
0
1
2
3
4
盒数
14
25
9
1
1
名称
红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数
最大探测角：∠B′CA′=34°
安装要求
本设备需要安装在垂直于水平地面AB的支架CE上，CD/​/AB且∠ECB′=∠A′CD
求1+2+3+⋯+(n−1)+n(n为正整数)方法欣赏
在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前n行的点数计算”.老师给出了提示：1+2+3+⋯+(n−1)+n=n(n+1)2.课后我们小组收集了“求1+2+3+⋯+(n−1)+n(n为正整数)的值”这个问题的两种解法供大家欣赏．
方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2
S=1+2+3+⋯+(n−1)+①则S=n+(n−1)+(n−2)+⋯+2+②
①+②得2s=(n+1)+(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)+(n+1)=(n+1)⋅n即：S=n(n+1)2
∴1+2+3+⋯+(n−1)+n=n(n+1)2．
方法2：“递归法”(设S=1+2+3+⋯+(n−1)+n)．
由完全平方公式可得(n+1)2=n2+2n+1，∴(n+1)2−n2=2n+1．
我们列出特殊情况：22−12=2×1+1；
32−22=2×2+1；
42−32=2×3+1；
…
(n+1)2−n2=2n+1．
两边分别相加可得，(n+1)2−12=2S+n．
∴S=(n+1)2−1−n2=n(n+1)2．