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2第九章 统计 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份2第九章 统计 典型例题实战（练透核心考点）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含2第九章统计典型例题实战练透核心考点原卷版docx、2第九章统计典型例题实战练透核心考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19645" 2 第九章 统计 典型例题实战（练透核心考点） PAGEREF _Tc19645 \h 1
\l "_Tc11577" 练透核心考点一：简单随机抽样 PAGEREF _Tc11577 \h 1
\l "_Tc15344" 练透核心考点二：分层抽样 PAGEREF _Tc15344 \h 3
\l "_Tc28152" 练透核心考点三：频率分布直方图、折线图、条形图，扇形图 PAGEREF _Tc28152 \h 5
\l "_Tc12619" 练透核心考点四：总体百分位数的估计 PAGEREF _Tc12619 \h 12
\l "_Tc16191" 练透核心考点五：平均数、众数、中位数估计值 PAGEREF _Tc16191 \h 14
\l "_Tc8458" 高频考点六：方差（标准差） PAGEREF _Tc8458 \h 21
练透核心考点一：简单随机抽样
1．（2023·全国·高一专题练习）有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（ ）
A．总体是36个篮球B．样本是4个篮球
C．样本容量是4D．每个篮球被抽到的可能性不同
【答案】D
【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；
甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.
故选：D
2．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
A．13B．24C．33D．36
【答案】D
【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，对这45名职工编号01，02，03，，45，用随机数法确定这5名职工.现将随机数表摘录部分如下：
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为（ ）
A．23B．37C．35D．17
【答案】A
【详解】对这45名职工编号01，02，03，…，45.从第一行的第五列和第六列的数字开始，所以，第一个读到的数是77，不在范围内，下一个数94也不在范围内，故取到的第一个号码是39，后面依次是43，17，37，23.从而可知答案是A.
故选：A.
4．（2023·全国·高一专题练习）中国农历的“二十四节气”已正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”，“二十四节气歌”是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出其中两句的有45人，能说出其中三句及以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为______．
【答案】115
【详解】由题意，样本中只能说出一句或一句也说不出的学生有（人），故只能说出一句或一句也说不出的学生所占的比例为，
故可估计该校三年级的500名学生中，只能说出一句或一句也说不出的人数约为．
故答案为：
5．（2023·全国·高一专题练习）现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00,01,02,……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
规定从选定的数7开始向右读， 依次得到的样本为__________________
【答案】77,39,49,54,43,17
【详解】找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第2个数是94它大于79故舍去，所以第二个数是39，第三个数是49，
第四个数是54，第五个数是43，第六个数是54它与第四个数重复，故舍去，再下一个数是82比79大,故舍去，所以第六个数是17．
故答案为77,39,49,54,43,17
练透核心考点二：分层抽样
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______人．
【答案】1500
【详解】设从高二抽取的人数为，则高一抽取的人数为，高三抽取的人数为.
所以，解得，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为：.
故答案为：1500.
2．（2023·全国·高一专题练习）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
【答案】8
【详解】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.
故答案为：8
3．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.
【答案】(1) ；中位数为82.5. (2)
【详解】（1）由频率和为1，得，；
设综合评分的中位数为，则，解得，
所以综合评分的中位数为82.5.
（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；
所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；
所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；
从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；
抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，
所以所求的概率为.
4．（2023秋·高一单元测试）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人.
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
【答案】（1）8,6,5（2）.
【详解】（1）设抽样比为x，则由分层抽样可知，“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为320x、240x、200x．
则由题意得320x﹣240x＝2，解得x．
故“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为3208、2406、2005．
（2） 由（1）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为;4位男生记为;
从中选出2人担任该社团活动监督的职务有15种不同的结果，
至少有1名女同学被选为监督职务有9种不同的结果，
所以至少有1名女同学被选为监督职务的概率.
练透核心考点三：频率分布直方图、折线图、条形图，扇形图
1．（2023·江苏·高一专题练习）某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法不正确的是（ ）
A．产品升级后，产品的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品的营收减少
D．产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变
【答案】C
【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收增加了，C不正确．
产品升级后，由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变，故D正确．
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)组距已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为4，则我校报考飞行员的学生总人数是（ ）
A．40B．32C．28D．24
【答案】B
【详解】由图可知后两个组频率为，从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以第1小组的频率为，第1小组的频数为4，
所以报考飞行员的学生人数是.
故选：B
3．（多选）（2023·河北·统考模拟预测）新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．新增阳性人数每天都不超过100人
B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数
C．新增阳性人数最多的一天是12日
D．每天新增确诊病例人数的中位数是43
【答案】ACD
【详解】由统计图，知例如6日阳性人数为，A错；
由统计图，新增的无症状感染者总人数为，确诊总人数为，B正确；
10日新增阳性人数为多于12日的105，C错误；
每天新增确诊病例人数从小到大排列为：，中位数是46，D错，
故选：ACD．
4．（多选）（2023·广东茂名·统考二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
【答案】ACD
【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，
对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确；
对于B，2017年的国内生产总值为亿元，故不正确；
对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故正确；
对于D，近五年的国内生产总值的极差为亿元，故正确；
故选：ACD
5．（多选）（2023春·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额
B．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民
C．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕
D．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过
【答案】ACD
【详解】对于选项A，从图甲可知，
2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，
2022年农村居民人均可支配收入增长额为，
故A正确；
对于选项B，从图甲可知，
2022年城镇居民收入实际增速为，
2022年农村居民收入实际增速为，
故B错误.
对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确.
对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确.
故选：ACD．
6．（2023·江苏·高一专题练习）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下两张不完整的统计图：
(1)本次被调查的学生有多少名？
(2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数；
(3)该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少盒？
【答案】(1)200
(2)图形见解析，
(3)144
【详解】（1）根据喜好核桃味的学生数，得本次被调查的学生数(样本容量)为.
（2）喜好香橙味牛奶的学生数是
补全条形图如图所示，
喜好菠萝味牛奶的学生人数为50，
在扇形统计图中所占圆心角的度数为
（3）草莓味要比原味多 (盒)．
7．（2023·全国·高三专题练习）某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
8．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.
(1)分别求出a、b、x、y的值；
(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？
【答案】（1）；（2）2人，3人，1人
【详解】(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知
，∴，，，．
(2)第2、3、4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2(人)；第3组：×6＝3(人)；第4组：×6＝1(人)．
练透核心考点四：总体百分位数的估计
1．（2023·全国·高一专题练习）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .
【答案】
【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.
故答案为：
2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）现有如下10个数据：
296 301 305 293 293 305 302 303 306 294
则这批数据的第一四分位数为________．
【答案】
【详解】将数据
按从小到大的顺序排列可得：
第一四分位数即第百分位数，又，
所以第一四分位数为，
故答案为：.
3．（2023·上海·高三专题练习）某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.
【答案】32.5
【详解】由茎叶图知数据小到大排列为：，
因为，
所以第25百分位数是，
故答案为：
4．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）小张､小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为；小李的六次成绩从小到大分别为，只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则__________.
【答案】
【详解】因为，所以小张的六次成绩的第50百分位数为，
又因为，小李六次成绩的第80百分位数为，
可得，解得.
故答案为：.
5．（2023春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．
【答案】(1)众数是20；中位数是；平均数为20.32
(2)23.86
【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；
由，解得，
∵，且，
∴中位数位于之间，设中位数为，
，解得，故中位数是；
平均数为；
（2）75百分位数即为上四分位数，
又∵，，
∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，
则，解得．
练透核心考点五：平均数、众数、中位数估计值
1．（2023·全国·高一专题练习）某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，
则该组数据的中位数为，
平均数为.
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）某校高二（10）班50名学生的身高（单位：）数据均在区间，其频率分布直方图（将频率视为概率）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计该班学生身高的中位数为
C．估计该班学生身高的平均值大于
D．估计该班学生身高不低于的概率为0.4
【答案】D
【详解】对于A，，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，
设该班学生身高的中位数为，所以，解得，故B错误；
对于C，由频率分布直方图可得，身高的平均值，故C错误；
对于D，由频率分布直方图可得，该班学生身高不低于的频率为，
故该班学生身高不低于的概率为0.4，故D正确.
故选：D.
3．（2023·四川攀枝花·统考三模）攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（ ）
A．这天的单日最大温差为度的有天
B．这天的最高气温的中位数为度
C．这天的最高气温的众数为度
D．这天的最高气温的平均数为度
【答案】D
【详解】对于A选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A对；
对于B选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），
故这天的最高气温的中位数为度，B对；
对于C选项，这天的最高气温的众数为度，C对；
对于D选项，这天的最高气温的平均数为，D错.
故选：D.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．
(1)求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；
(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
【答案】(1)，；平均数为分
(2)小明能被选取
【详解】（1）设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，
所以，则，
，
又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．则平均数为
分.
（2）由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为
，
∴，
∵，故小明能被选取.
5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)估计居民月均用水量的中位数；
(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.
【答案】(1)0.30
(2)
(3)162000，理由见解析
【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,
同理，在中的频率分别为
.
由，
解得.
（2）由频率分布直方图得：
,
,
所以中位数应落在，
设中位数为x，则，解得，
估计居民月均用水量的中位数约为.
（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为
.
由以上样本的频率分布，
可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为
6．（2023·全国·高三专题练习）某校100名学生期末考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.
(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；
(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（）与物理成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求物理成绩在之外的人数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得；
（2）由，
根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分为分.
（3）由已知可得，物理成绩在之间的人数为，
于是物理成绩在之外的人数为.
7．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据），如下图所示．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数．
【答案】(1)，，
(2)平均数为，中位数为
【详解】（1）中共有8个数，对应的频率为，故；
，.
（2）平均数为：
.
设中位数为，则，解得.
8．（2023·全国·高一专题练习）心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部不适为主要表现的临床综合征．在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，
所以.
（2）由频率分布直方图可知，这组数据的平均数为
.
9．（2023·全国·高一专题练习）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
(1)求出的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
(3)估计这50名学生成绩的众数､中位数､平均数.
【答案】(1)15；0.06；0.03；0.006
(2)
(3)75；71；
【详解】（1）由题意得，样本容量，，
∴的频数为，，∴的频率为，
∴，.
（2）成绩是80分以上（含80分）的同学共有人，其中第4组4人，记为A、B、C、D，第5组3人，记为X、Y、Z.
则从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB、AC、AD、AX、AY、AZ、BC、BD、BX、BY、BZ、CD、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共21种；
所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组有AX、AY、AZ、BX、BY、BZ、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共15种.
故所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率为.
（3）由直方图可知，众数为.
从左到右累计人数有名，故中位数在组，故中位数为.
平均数为
高频考点六：方差（标准差）
1．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)选A品种，理由见解析.
【详解】（1）A品种10棵产量由小到大排列为，
则A品种产量的极差为50，中位数为75；
B品种10棵产量由小到大排列为，
则B品种产量的极差为60，中位数为75.
（2）,
，
，
，
（3）由可得A，B两个品种平均产量相等，
又，则A品种产量稳定，故选择A品种.
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分分）分为，，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分”，估计事件发生的概率；
(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．
参考数据：，，，，，，，，其中为第组的中点值．
【答案】(1)；
(2)，．
【详解】（1）
从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分的概率为.
（2）本次数学考试的平均分为
本次数学考试的方差为
.
3．（2023·全国·高三专题练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
(1)求抽取的总样本的平均数；
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，
解得：.
记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：
所以，抽取的总样本的平均数为.
（2）男生样本的平均数为，样本方差为；
女生样本的平均数为，样本方差为；
由（1）知，总样本的平均数为.
记总样本的样本方差为，
则
所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
4．（2023·江苏·高一专题练习）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩（单位：分）如下：
甲组 60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组 85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
【答案】(1)甲、乙两组的极差分别为35、30，方差分别为119、75.25
(2)乙组的成绩比较稳定
【详解】（1）甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均数为＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均数为＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25 (分).
（2）由（1）知：乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
5．（2023·全国·高一专题练习）随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；
(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到0.1）附：.
【答案】(1)答案见解析
(2)平均数，标准差
【详解】（1）由题中数据可得，
所以，频率分布直方图如下，
（2）由题中数据可得，，
方差为：
，
所以标准差.
6．（2023·全国·高一专题练习）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，…，900.
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以第5行第5列为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，试写出选取的10个样本编号;
2 6 3 5 7 9 0 0 3 3 7 0 9 1 6 0
3 2 1 1 4 9 1 9 7 3 0 6 4 9 1 6
2 7 4 8 6 1 9 8 7 1 6 4 4 1 4 8
7 4 7 7 0 1 1 1 1 6 3 0 2 4 0 4
5 3 7 9 7 0 7 6 2 6 9 4 2 9 2 7
9 2 6 4 4 6 0 7 2 0 2 1 3 9 2 0
5 8 5 8 7 7 6 6 3 1 7 0 0 5 0 0
2 8 8 9 6 6 2 8 6 7 5 7 8 2 3 1
5 1 3 1 8 1 8 6 3 7 0 9 4 5 2 1
9 0 5 5 7 1 9 6 2 1 7 2 3 2 0 7
7 9 0 0 5 8 7 0 2 6 0 6 8 8 1 3
3 6 9 3 9 2 1 2 0 5 5 7 7 3 6 9
0 3 8 0 3 3 3 8 0 1 3 8 4 5 6 0
0 2 4 6 4 4 6 9 9 7 1 9 8 3 1 6
7 2 6 6 0 0 8 1 6 8 9 7 2 8 5 1
(2)采用分层随机抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，试估计这900名考生选做题得分的平均数与方差.
【答案】(1)707，626，446，072，021，392，058，587，766，317.
(2)平均数为7.2，方差为3.56.
【详解】（1）根据题意，读出的编号依次是
707，626，446，072，021，392，058，587，766，317.
（2）记样本中8个A题目的成绩分别为，2个B题目的成绩分别为，
由题意可知，，，，
故样本平均数为，
样本方差为
故估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
7．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示：
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
(2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？
【答案】(1)甲、乙两人成绩的平均数都是10.1；甲成绩的方差为0.068；、乙成绩的方差为0.012
(2)乙更适合参加最终比赛．
【详解】（1）依题意，得，
，
，
．
（2）∵，
∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定．
∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛．
8．（2023·全国·高一专题练习）现给出一位同学在7月和8月进行的米短跑测试成绩（单位：秒）：
记7月､8月成绩的样本平均数分别为，，样本方差分别为，.
附：①统计量可在一定程度上说明两组成绩的差异（当时，可认为两组成绩有显著差异）；
②若满足，则可说明成绩有显著提高.
(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；
(2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.
【答案】(1)没有显著差异，理由见解析；
(2)有显著提高，理由见解析.
【详解】（1）由已知，根据图表可知，
，
，
，
.
所以，
所以，该同学的两组成绩没有显著差异.
（2）依题意，，
，
，
所以该同学的成绩是有显著提高.
9．（2023·全国·高一专题练习）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；
(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
【答案】(1)该地区所有用户评分的，分位数分别约为，
(2)，
(3)
【详解】（1）这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，
得到，，可知这40个用户评分的，分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为，．
（2），
．
（3）由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”，样本中评分在内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
日用水量
频数
日用水量
频数
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0. 5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0. 9
第4组
[45,55)
9
0. 36
第5组
[55,65]
3
y
分数段
组别
分组
频数
频率
第1组
8
第2组
第3组
20
第4组
第5组
3
合计
A(单位kg)
60
50
40
60
70
80
80
80
90
90
B(单位kg)
40
60
60
80
80
50
80
80
70
100
评价指数
频数
10
10
20
40
20
评价指数
频数
10
10
20
40
20
频率
0.1
0.1
0.2
0.4
0.2
频率/组距
0.005
0.005
0.01
0.02
0.01
甲
9.8
10.3
10
10.5
9.9
乙
10.2
9.9
10.1
10.2
10.1
7月
8月
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
1
78
11
88
21
79
31
93
2
73
12
86
22
83
32
78
3
81
13
95
23
72
33
75
4
92
14
76
24
74
34
81
5
95
15
97
25
91
35
84
6
85
16
78
26
66
36
77
7
79
17
88
27
80
37
81
8
84
18
82
28
83
38
76
9
63
19
76
29
74
39
85
10
86
20
89
30
82
40
89
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19645" 2 第九章 统计 典型例题实战（练透核心考点） PAGEREF _Tc19645 \h 1
\l "_Tc11577" 练透核心考点一：简单随机抽样 PAGEREF _Tc11577 \h 1
\l "_Tc15344" 练透核心考点二：分层抽样 PAGEREF _Tc15344 \h 3
\l "_Tc28152" 练透核心考点三：频率分布直方图、折线图、条形图，扇形图 PAGEREF _Tc28152 \h 5
\l "_Tc12619" 练透核心考点四：总体百分位数的估计 PAGEREF _Tc12619 \h 12
\l "_Tc16191" 练透核心考点五：平均数、众数、中位数估计值 PAGEREF _Tc16191 \h 14
\l "_Tc8458" 高频考点六：方差（标准差） PAGEREF _Tc8458 \h 21
练透核心考点一：简单随机抽样
1．（2023·全国·高一专题练习）有甲、乙两箱篮球，其中甲箱27个，乙箱9个，现从这两箱篮球中随机抽取4个，甲箱抽3个，乙箱抽1个．下列说法不正确的是（ ）
A．总体是36个篮球B．样本是4个篮球
C．样本容量是4D．每个篮球被抽到的可能性不同
【答案】D
【详解】依题意，总体是36个篮球，样本是4个篮球，样本容量是4，选项A，B，C都正确；
甲箱抽3个，每个球被抽到的概率为，乙箱抽1个，每个球被抽到的概率为，则每个篮球被抽到的可能性相同，D不正确.
故选：D
2．（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
A．13B．24C．33D．36
【答案】D
【详解】根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次从左向右选取两个数字，所以第一组数字为32，作为第一个号码；第二组数字58，舍去；第三组数字65，舍去；第四组数字74，舍去；第五组数字13，作为第二个号码；第六组数字36，作为第三个号码，所以选取的第三个号码为36
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，对这45名职工编号01，02，03，，45，用随机数法确定这5名职工.现将随机数表摘录部分如下：
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025
从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为（ ）
A．23B．37C．35D．17
【答案】A
【详解】对这45名职工编号01，02，03，…，45.从第一行的第五列和第六列的数字开始，所以，第一个读到的数是77，不在范围内，下一个数94也不在范围内，故取到的第一个号码是39，后面依次是43，17，37，23.从而可知答案是A.
故选：A.
4．（2023·全国·高一专题练习）中国农历的“二十四节气”已正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”，“二十四节气歌”是为便于记忆我国古时历法中二十四节气而编成的小诗歌．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出其中两句的有45人，能说出其中三句及以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的人数约为______．
【答案】115
【详解】由题意，样本中只能说出一句或一句也说不出的学生有（人），故只能说出一句或一句也说不出的学生所占的比例为，
故可估计该校三年级的500名学生中，只能说出一句或一句也说不出的人数约为．
故答案为：
5．（2023·全国·高一专题练习）现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00,01,02,……，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（下面摘取了附表1的第6行至第10行）．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
规定从选定的数7开始向右读， 依次得到的样本为__________________
【答案】77,39,49,54,43,17
【详解】找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第2个数是94它大于79故舍去，所以第二个数是39，第三个数是49，
第四个数是54，第五个数是43，第六个数是54它与第四个数重复，故舍去，再下一个数是82比79大,故舍去，所以第六个数是17．
故答案为77,39,49,54,43,17
练透核心考点二：分层抽样
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______人．
【答案】1500
【详解】设从高二抽取的人数为，则高一抽取的人数为，高三抽取的人数为.
所以，解得，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为：.
故答案为：1500.
2．（2023·全国·高一专题练习）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
【答案】8
【详解】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.
故答案为：8
3．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.
【答案】(1) ；中位数为82.5. (2)
【详解】（1）由频率和为1，得，；
设综合评分的中位数为，则，解得，
所以综合评分的中位数为82.5.
（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；
所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；
所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；
从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；
抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，
所以所求的概率为.
4．（2023秋·高一单元测试）根据调查，某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人.
（1）求三个社团分别抽取了多少同学；
（2）若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．
【答案】（1）8,6,5（2）.
【详解】（1）设抽样比为x，则由分层抽样可知，“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为320x、240x、200x．
则由题意得320x﹣240x＝2，解得x．
故“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团抽取的人数分别为3208、2406、2005．
（2） 由（1）知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，
其中2位女生记为;4位男生记为;
从中选出2人担任该社团活动监督的职务有15种不同的结果，
至少有1名女同学被选为监督职务有9种不同的结果，
所以至少有1名女同学被选为监督职务的概率.
练透核心考点三：频率分布直方图、折线图、条形图，扇形图
1．（2023·江苏·高一专题练习）某企业对目前销售的四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：
下列说法不正确的是（ ）
A．产品升级后，产品的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品的营收减少
D．产品升级后，产品营收的总和占总营收的比例不变
【答案】C
【详解】设产品升级前的营收为，升级后的营收为．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的4倍，A正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收是升级前的2倍，B正确．
对于产品，产品升级前的营收为，升级后的营收为，
故升级后的产品的营收增加了，C不正确．
产品升级后，由两个图形可知产品营收的总和占总营收的比例不变，故D正确．
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况．将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)组距已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为4，则我校报考飞行员的学生总人数是（ ）
A．40B．32C．28D．24
【答案】B
【详解】由图可知后两个组频率为，从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，
所以第1小组的频率为，第1小组的频数为4，
所以报考飞行员的学生人数是.
故选：B
3．（多选）（2023·河北·统考模拟预测）新冠阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊者.无症状感染者通常没有症状.或仅出现感胃、干咳、咽痛、乏力等轻微症状，患者并未出现明显不适感，不影响患者正常生活，但患者新型冠状病毒核酸检测的结果呈阳性；确诊者的症状比较明显，患者常表现为发热、头痛、眩晕、呼吸困难等症状，影响患者的正常生活，经CT、B超等影像学检查，发现患者肺组织出现明显的变化，并且新型冠状病毒核酸检测的结果也呈阳性.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．新增阳性人数每天都不超过100人
B．新增的无症状感染者总人数少于确诊总人数
C．新增阳性人数最多的一天是12日
D．每天新增确诊病例人数的中位数是43
【答案】ACD
【详解】由统计图，知例如6日阳性人数为，A错；
由统计图，新增的无症状感染者总人数为，确诊总人数为，B正确；
10日新增阳性人数为多于12日的105，C错误；
每天新增确诊病例人数从小到大排列为：，中位数是46，D错，
故选：ACD．
4．（多选）（2023·广东茂名·统考二模）2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（ ）
A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元
B．2017年的国内生产总值低于800000亿元
C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%
D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元
【答案】ACD
【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，
对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确；
对于B，2017年的国内生产总值为亿元，故不正确；
对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故正确；
对于D，近五年的国内生产总值的极差为亿元，故正确；
故选：ACD
5．（多选）（2023春·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额
B．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民
C．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕
D．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过
【答案】ACD
【详解】对于选项A，从图甲可知，
2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，
2022年农村居民人均可支配收入增长额为，
故A正确；
对于选项B，从图甲可知，
2022年城镇居民收入实际增速为，
2022年农村居民收入实际增速为，
故B错误.
对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确.
对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确.
故选：ACD．
6．（2023·江苏·高一专题练习）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下两张不完整的统计图：
(1)本次被调查的学生有多少名？
(2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数；
(3)该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少盒？
【答案】(1)200
(2)图形见解析，
(3)144
【详解】（1）根据喜好核桃味的学生数，得本次被调查的学生数(样本容量)为.
（2）喜好香橙味牛奶的学生数是
补全条形图如图所示，
喜好菠萝味牛奶的学生人数为50，
在扇形统计图中所占圆心角的度数为
（3）草莓味要比原味多 (盒)．
7．（2023·全国·高三专题练习）某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
（1）作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
8．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.
(1)分别求出a、b、x、y的值；
(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？
【答案】（1）；（2）2人，3人，1人
【详解】(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知
，∴，，，．
(2)第2、3、4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2(人)；第3组：×6＝3(人)；第4组：×6＝1(人)．
练透核心考点四：总体百分位数的估计
1．（2023·全国·高一专题练习）2023年3月1日，“中国日报视觉”学习强国号上线.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下:83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，则这10名党员学习成绩的75%分位数为___________ .
【答案】
【详解】因，则从小到大第8个成绩为学习成绩的75%分位数，即.
故答案为：
2．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）现有如下10个数据：
296 301 305 293 293 305 302 303 306 294
则这批数据的第一四分位数为________．
【答案】
【详解】将数据
按从小到大的顺序排列可得：
第一四分位数即第百分位数，又，
所以第一四分位数为，
故答案为：.
3．（2023·上海·高三专题练习）某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.
【答案】32.5
【详解】由茎叶图知数据小到大排列为：，
因为，
所以第25百分位数是，
故答案为：
4．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）小张､小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为；小李的六次成绩从小到大分别为，只知小张的六次成绩的第50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则__________.
【答案】
【详解】因为，所以小张的六次成绩的第50百分位数为，
又因为，小李六次成绩的第80百分位数为，
可得，解得.
故答案为：.
5．（2023春·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期中）某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）．
【答案】(1)众数是20；中位数是；平均数为20.32
(2)23.86
【详解】（1）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；
由，解得，
∵，且，
∴中位数位于之间，设中位数为，
，解得，故中位数是；
平均数为；
（2）75百分位数即为上四分位数，
又∵，，
∴上四分位数位于之间，设上四分位数为，
则，解得．
练透核心考点五：平均数、众数、中位数估计值
1．（2023·全国·高一专题练习）某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，
则该组数据的中位数为，
平均数为.
故选：A.
2．（2023·全国·模拟预测）某校高二（10）班50名学生的身高（单位：）数据均在区间，其频率分布直方图（将频率视为概率）如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．估计该班学生身高的中位数为
C．估计该班学生身高的平均值大于
D．估计该班学生身高不低于的概率为0.4
【答案】D
【详解】对于A，，解得，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可得，前三个小矩形的面积之和为，
设该班学生身高的中位数为，所以，解得，故B错误；
对于C，由频率分布直方图可得，身高的平均值，故C错误；
对于D，由频率分布直方图可得，该班学生身高不低于的频率为，
故该班学生身高不低于的概率为0.4，故D正确.
故选：D.
3．（2023·四川攀枝花·统考三模）攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（ ）
A．这天的单日最大温差为度的有天
B．这天的最高气温的中位数为度
C．这天的最高气温的众数为度
D．这天的最高气温的平均数为度
【答案】D
【详解】对于A选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A对；
对于B选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），
故这天的最高气温的中位数为度，B对；
对于C选项，这天的最高气温的众数为度，C对；
对于D选项，这天的最高气温的平均数为，D错.
故选：D.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．
(1)求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；
(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？
【答案】(1)，；平均数为分
(2)小明能被选取
【详解】（1）设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，
所以，则，
，
又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．则平均数为
分.
（2）由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为
，
∴，
∵，故小明能被选取.
5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值；
(2)估计居民月均用水量的中位数；
(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.
【答案】(1)0.30
(2)
(3)162000，理由见解析
【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,
同理，在中的频率分别为
.
由，
解得.
（2）由频率分布直方图得：
,
,
所以中位数应落在，
设中位数为x，则，解得，
估计居民月均用水量的中位数约为.
（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为
.
由以上样本的频率分布，
可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为
6．（2023·全国·高三专题练习）某校100名学生期末考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.
(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；
(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（）与物理成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求物理成绩在之外的人数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得；
（2）由，
根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分为分.
（3）由已知可得，物理成绩在之间的人数为，
于是物理成绩在之外的人数为.
7．（2023春·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在，的数据），如下图所示．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数．
【答案】(1)，，
(2)平均数为，中位数为
【详解】（1）中共有8个数，对应的频率为，故；
，.
（2）平均数为：
.
设中位数为，则，解得.
8．（2023·全国·高一专题练习）心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部不适为主要表现的临床综合征．在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求直方图中的值；
(2)估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，
所以.
（2）由频率分布直方图可知，这组数据的平均数为
.
9．（2023·全国·高一专题练习）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
(1)求出的值；
(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晩会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
(3)估计这50名学生成绩的众数､中位数､平均数.
【答案】(1)15；0.06；0.03；0.006
(2)
(3)75；71；
【详解】（1）由题意得，样本容量，，
∴的频数为，，∴的频率为，
∴，.
（2）成绩是80分以上（含80分）的同学共有人，其中第4组4人，记为A、B、C、D，第5组3人，记为X、Y、Z.
则从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有AB、AC、AD、AX、AY、AZ、BC、BD、BX、BY、BZ、CD、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共21种；
所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组有AX、AY、AZ、BX、BY、BZ、CX、CY、CZ、DX、DY、DZ、XY、XZ、YZ共15种.
故所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率为.
（3）由直方图可知，众数为.
从左到右累计人数有名，故中位数在组，故中位数为.
平均数为
高频考点六：方差（标准差）
1．（2023春·广东江门·高一鹤山市第一中学校考阶段练习）某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)选A品种，理由见解析.
【详解】（1）A品种10棵产量由小到大排列为，
则A品种产量的极差为50，中位数为75；
B品种10棵产量由小到大排列为，
则B品种产量的极差为60，中位数为75.
（2）,
，
，
，
（3）由可得A，B两个品种平均产量相等，
又，则A品种产量稳定，故选择A品种.
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）某市为了解新高三学生的数学学习情况，以便为即将展开的一轮复习提供准确的数据，在开学初该市教体局组织高三学生进行了一次摸底考试，现从参加考试的学生中随机抽取名，根据统计结果，将他们的数学成绩（满分分）分为，，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若表示事件“从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分”，估计事件发生的概率；
(2)利用所给数据估计本次数学考试的平均分及方差（各组数据以其中点数据代表）．
参考数据：，，，，，，，，其中为第组的中点值．
【答案】(1)；
(2)，．
【详解】（1）
从参加考试的学生中随机抽取一名学生，该学生的成绩不低于分的概率为.
（2）本次数学考试的平均分为
本次数学考试的方差为
.
3．（2023·全国·高三专题练习）坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm和17.56.
(1)求抽取的总样本的平均数；
(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.
参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m名和n名，则，
解得：.
记抽取的总样本的平均数为，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：
所以，抽取的总样本的平均数为.
（2）男生样本的平均数为，样本方差为；
女生样本的平均数为，样本方差为；
由（1）知，总样本的平均数为.
记总样本的样本方差为，
则
所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
4．（2023·江苏·高一专题练习）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩（单位：分）如下：
甲组 60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；
乙组 85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
【答案】(1)甲、乙两组的极差分别为35、30，方差分别为119、75.25
(2)乙组的成绩比较稳定
【详解】（1）甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均数为＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119（分）.
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均数为＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25 (分).
（2）由（1）知：乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定.
5．（2023·全国·高一专题练习）随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；
(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（精确到0.1）附：.
【答案】(1)答案见解析
(2)平均数，标准差
【详解】（1）由题中数据可得，
所以，频率分布直方图如下，
（2）由题中数据可得，，
方差为：
，
所以标准差.
6．（2023·全国·高一专题练习）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩依次编号为001，002，…，900.
(1)若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以第5行第5列为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，试写出选取的10个样本编号;
2 6 3 5 7 9 0 0 3 3 7 0 9 1 6 0
3 2 1 1 4 9 1 9 7 3 0 6 4 9 1 6
2 7 4 8 6 1 9 8 7 1 6 4 4 1 4 8
7 4 7 7 0 1 1 1 1 6 3 0 2 4 0 4
5 3 7 9 7 0 7 6 2 6 9 4 2 9 2 7
9 2 6 4 4 6 0 7 2 0 2 1 3 9 2 0
5 8 5 8 7 7 6 6 3 1 7 0 0 5 0 0
2 8 8 9 6 6 2 8 6 7 5 7 8 2 3 1
5 1 3 1 8 1 8 6 3 7 0 9 4 5 2 1
9 0 5 5 7 1 9 6 2 1 7 2 3 2 0 7
7 9 0 0 5 8 7 0 2 6 0 6 8 8 1 3
3 6 9 3 9 2 1 2 0 5 5 7 7 3 6 9
0 3 8 0 3 3 3 8 0 1 3 8 4 5 6 0
0 2 4 6 4 4 6 9 9 7 1 9 8 3 1 6
7 2 6 6 0 0 8 1 6 8 9 7 2 8 5 1
(2)采用分层随机抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1，试估计这900名考生选做题得分的平均数与方差.
【答案】(1)707，626，446，072，021，392，058，587，766，317.
(2)平均数为7.2，方差为3.56.
【详解】（1）根据题意，读出的编号依次是
707，626，446，072，021，392，058，587，766，317.
（2）记样本中8个A题目的成绩分别为，2个B题目的成绩分别为，
由题意可知，，，，
故样本平均数为，
样本方差为
故估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.
7．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示：
(1)分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；
(2)根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛？
【答案】(1)甲、乙两人成绩的平均数都是10.1；甲成绩的方差为0.068；、乙成绩的方差为0.012
(2)乙更适合参加最终比赛．
【详解】（1）依题意，得，
，
，
．
（2）∵，
∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩更稳定．
∴甲、乙两人中乙更适合参加最终比赛．
8．（2023·全国·高一专题练习）现给出一位同学在7月和8月进行的米短跑测试成绩（单位：秒）：
记7月､8月成绩的样本平均数分别为，，样本方差分别为，.
附：①统计量可在一定程度上说明两组成绩的差异（当时，可认为两组成绩有显著差异）；
②若满足，则可说明成绩有显著提高.
(1)判断该同学的两组成绩是否有显著差异，并说明理由；
(2)判断该同学的成绩是否有显著提高，并说明理由.
【答案】(1)没有显著差异，理由见解析；
(2)有显著提高，理由见解析.
【详解】（1）由已知，根据图表可知，
，
，
，
.
所以，
所以，该同学的两组成绩没有显著差异.
（2）依题意，，
，
，
所以该同学的成绩是有显著提高.
9．（2023·全国·高一专题练习）随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某外卖平台为了解某地区用户对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；
(2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，且抽到的10个用户的评分分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89，试计算这10个数据的平均数和方差；
(3)在（2）的条件下，若用户的满意度评分在内，则满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比．
（参考数据：，，）
【答案】(1)该地区所有用户评分的，分位数分别约为，
(2)，
(3)
【详解】（1）这40个用户评分按从小到大排列如下：63，66，72，73，74，74，75，76，76，76，77，78，78，78，79，79，80，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，86，86，88，88，89，89，91，92，93，95，95，97，
得到，，可知这40个用户评分的，分位数分别为第10项和第11项数据的平均数，第38项和第39项数据的平均数，分别为，，据此估计该地区所有用户评分的，分位数分别约为，．
（2），
．
（3）由题意知评分在，即内的满意度等级为“A级”，样本中评分在内的有5人，则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为．社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
日用水量
频数
日用水量
频数
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组
[15,25)
a
0. 5
第2组
[25,35)
18
x
第3组
[35,45)
b
0. 9
第4组
[45,55)
9
0. 36
第5组
[55,65]
3
y
分数段
组别
分组
频数
频率
第1组
8
第2组
第3组
20
第4组
第5组
3
合计
A(单位kg)
60
50
40
60
70
80
80
80
90
90
B(单位kg)
40
60
60
80
80
50
80
80
70
100
评价指数
频数
10
10
20
40
20
评价指数
频数
10
10
20
40
20
频率
0.1
0.1
0.2
0.4
0.2
频率/组距
0.005
0.005
0.01
0.02
0.01
甲
9.8
10.3
10
10.5
9.9
乙
10.2
9.9
10.1
10.2
10.1
7月
8月
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
用户编号
评分
1
78
11
88
21
79
31
93
2
73
12
86
22
83
32
78
3
81
13
95
23
72
33
75
4
92
14
76
24
74
34
81
5
95
15
97
25
91
35
84
6
85
16
78
26
66
36
77
7
79
17
88
27
80
37
81
8
84
18
82
28
83
38
76
9
63
19
76
29
74
39
85
10
86
20
89
30
82
40
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