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人教版七年级数学下册尖子生培优必刷题期中模拟试卷01(能力提升卷第5-7章)(原卷版+解析)
展开班级:_____________ 姓名:_________ 得分:__________
注意事项:
本试卷满分120分,试题共24题,其中选择10道、填空6道、解答8道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标,其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是( )
A.奥迪B.本田
C.大众D.铃木
2.如图所示的四个图形中,∠1和∠2一定相等的是( )
A.B.
C.D.
3.下列式子正确的是( )
A.±=±3B.=2C.=﹣3D.±=2
4.在平面直角坐标系中,下面的点在第一象限的是( )
A.(1,2)B.(﹣2,3)C.(0,0)D.(﹣3,﹣2)
5.在,π,,3.,,0,1010010001…(每两个1之间,逐次多一个0)中,无理数的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
6.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,﹣1)和B(﹣1,4),平移线段AB得到线段A1B1,使平移后点A1的坐标为(2,2),则平移后点B1坐标是( )
A.(﹣3,1)B.(﹣3,7)C.(1,1)D.(5,7)
7.如图,点E在BC的延长线上,由下列条件不能得到AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2B.∠B=∠DCE
C.∠3=∠4D.∠D+∠DAB=180°
8.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如[]=0,[3.14]=3,按此规律[+1]=( )
A.1B.2C.3D.4
9.如图,将直径为2cm的半圆水平向左平移2cm,则半圆所扫过的面积(阴影部分)为( )
A.πcm2B.4 cm2C.cm2D.cm2
10.在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,第n次移动到An,则△OA3A2020的面积是( )
A.504.5m2B.505m2C.505.5m2D.1010m2
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)请把答案直接填写在横线上
11.如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据: .
12.如果,则xy的值= .
13.如图,已知在△ABC中,BC=5cm;将△ABC沿边BC所在的直线平移至△DEF(见图);若EC=2cm,则CF= cm.
14.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示,EF是折痕,若∠EFB=32°,则下列结论正确的有 (请填入序号).
①∠C′EF=32°
②∠AEC=148°
③∠BGE=64°
④∠BFD=116°.
15.下列说法正确的有 个:
(1)3是9的平方根.
(2)9的平方根是3.
(3)若a>0时,a有两个平方根,它们互为相反数.
(4)两个无理数之和必是有理数.
(5)一个数的平方根与这个数的算术平方根相等,这个数是0或1.
16.如图,直线AB和直线CD相交于点O,∠BOE=90°,有下列结论:①∠AOC与∠COE互为余角;②∠AOC=∠BOD;③∠AOC=∠COE;④∠COE与∠DOE互为补角;⑤∠AOC与∠DOE互为补角;⑥∠BOD与∠COE互为余角.其中错误的有 .(填序号)
三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.解下列方程:
(1)4x2﹣16=0
(2)(x﹣1)3=﹣125.
18.根据图形及题意填空,并在括号里写上理由.
已知:如图,AD∥BC,AD平分∠EAC.
试说明:∠B=∠C
解:∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠1=∠2(角平分线的定义)
∵AD∥BC(已知)
∴∠ =∠ ( )
∠ =∠ ( )
∴∠B=∠C.
19.三角形ABC(记作△ABC)在方格中,顶点都在格点,位置如图所示,已知A(﹣3,2)、B(﹣4,﹣1).
(1)请你在方格中建立直角坐标系,点C的坐标是 ;
(2)把△ABC向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,请你画出平移后的三角形.
20.若的整数部分为a,小数部分为b,求a2+b﹣的值.
21.如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,求证:∠1=∠2.
22.如图,直线AB、CD相交于点O,OD平分∠BOE,∠AOC=25°.
(1)求∠EOB的度数;
(2)若OF⊥CD,垂足为O,求∠EOF的度数.
23.如图①,直线l1∥l2,直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点,点A、B分别在直线l1、l2上,点P在直线EF上,连接PA、PB.
猜想:如图①,若点P在线段CD上,∠PAC=15°,∠PBD=40°,则∠APB的大小为 度.
探究:如图①,若点P在线段CD上,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
拓展:如图②,若点P在射线CE上或在射线DF上时,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
24.如图1,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(m,0),B(n,0)且m、n满足|m+2|+=0,现同时将点A,B分别向上平移3个单位,再向右平移2个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及四边形OBDC的面积;
(2)如图2,点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)的值是否发生变化,并说明理由.
(3)在四边形OBDC内是否存在一点P,连接PO,PB,PC,PD,使S△PCD=S△PBD;S△POB:S△POC=5:6,若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中模拟试卷01(能力提升卷,七下人教第5-7章)
班级:_____________ 姓名:_________ 得分:__________
注意事项:
本试卷满分120分,试题共24题,其中选择10道、填空6道、解答8道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标,其中可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是( )
A.奥迪B.本田
C.大众D.铃木
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得出符合题意的答案.
【详解】解:观察图形可知,图案A可以看作由“基本图案”经过平移得到.
故选:A.
【点睛】本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小,不要混淆图形的平移与旋转或翻转.
2.如图所示的四个图形中,∠1和∠2一定相等的是( )
A.B.
C.D.
【分析】根据对顶角的性质:对顶角相等可直接得到答案.
【详解】解:根据对顶角相等可得答案为B,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了对顶角的性质,是需要记忆的内容.
3.下列式子正确的是( )
A.±=±3B.=2C.=﹣3D.±=2
【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.
【详解】解:A、原式=±3,符合题意;
B、原式=﹣2,不符合题意;
C、原式=|﹣3|=3,不符合题意;
D、原式=±2,不符合题意,
故选:A.
【点睛】此题考查了立方根,以及平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
4.在平面直角坐标系中,下面的点在第一象限的是( )
A.(1,2)B.(﹣2,3)C.(0,0)D.(﹣3,﹣2)
【分析】满足点在第一象限的条件是:横坐标是正数,纵坐标也是正数,结合选项进行判断即可.
【详解】解:因为第一象限的条件是:横坐标是正数,纵坐标也是正数,而各选项中符合纵坐标为正,横坐标也正的只有A(1,2).
故选:A.
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).
5.在,π,,3.,,0,1010010001…(每两个1之间,逐次多一个0)中,无理数的个数有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
【详解】解:,3.,,0是有理数,
π,,1010010001…(每两个1之间,逐次多一个0)是无理数,
故选:B.
【点睛】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.
6.在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,﹣1)和B(﹣1,4),平移线段AB得到线段A1B1,使平移后点A1的坐标为(2,2),则平移后点B1坐标是( )
A.(﹣3,1)B.(﹣3,7)C.(1,1)D.(5,7)
【分析】各对应点之间的关系是横坐标加6,纵坐标加3,那么让点B的横坐标加6,纵坐标加3即为平移后点B1的坐标.
【详解】解:由A(﹣4,﹣1)平移后的点A1的坐标为(2,2),
可得坐标的变化规律可知:各对应点之间的关系是横坐标加6,纵坐标加3,
∴点B1的横坐标为﹣1+6=5;纵坐标为4+3=7;
即平移后点B1的坐标是为(5,7).
故选:D.
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移,解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律.
7.如图,点E在BC的延长线上,由下列条件不能得到AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2B.∠B=∠DCE
C.∠3=∠4D.∠D+∠DAB=180°
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可.
【详解】解:A、正确,符合内错角相等,两条直线平行的判定定理;
B、正确,符合同位角相等,两条直线平行的判定定理;
C、错误,若∠3=∠4,则AD∥BE;
D、正确,符合同旁内角互补,两条直线平行的判定定理;
故选:C.
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理,比较简单.
8.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如[]=0,[3.14]=3,按此规律[+1]=( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】先估算出的大小,然后求得的范围,最后依据定义求解即可.
【详解】解:∵9<10<16,
∴,
∴,
∴[+1]=4.
故选:D.
【点睛】本题主要考查的是定义新运算、估算无理数的大小,估算出的大致范围是解题的关键.
9.如图,将直径为2cm的半圆水平向左平移2cm,则半圆所扫过的面积(阴影部分)为( )
A.πcm2B.4 cm2C.cm2D.cm2
【分析】根据平移后阴影部分的面积恰好是长2cm,宽为2cm的矩形,再根据矩形的面积公式即可得出结论.
【详解】解:∵平移后阴影部分的面积恰好是长为2cm,宽为2cm的矩形,
∴S阴影=2×2=4cm2.
故选:B.
【点睛】本题考查的是图形平移的性质,熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键.
10.在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,第n次移动到An,则△OA3A2020的面积是( )
A.504.5m2B.505m2C.505.5m2D.1010m2
【分析】由OA4n=2n知OA2020=2×505=1010,据此利用三角形的面积公式计算可得.
【详解】解:由题意知OA4n=2n,
∵2020÷4=505,
∴OA2020=2×505=1010,
则△OA3A2020的面积是×1×1010=505m2,
故选:B.
【点睛】本题主要考查点的坐标的变化规律,解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即为下标的一半,据此可得.
二.填空题(共6小题)
11.如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据: 垂线段最短 .
【分析】根据垂线段的性质,可得答案.
【详解】解:要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据:垂线段最短.
故答案为:垂线段最短.
【点睛】本题考查了垂线段最短,利用了垂线段的性质:直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短.
12.如果,则xy的值= ﹣24 .
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值,然后代入进行计算即可求解.
【详解】解:根据题意得,x﹣4=0,y+6=0,
解得x=4,y=﹣6,
∴xy=4×(﹣6)=﹣24.
故答案为:﹣24.
【点睛】本题考查了算术平方根非负数,平方数非负数的性质,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0列式是解题的关键.
13.如图,已知在△ABC中,BC=5cm;将△ABC沿边BC所在的直线平移至△DEF(见图);若EC=2cm,则CF= 3 cm.
【分析】根据平移的性质解答即可.
【详解】解:∵将△ABC沿边BC所在的直线平移至△DEF,
∴BE=CF=BC﹣EC=5﹣2=3cm,
故答案为:3
【点睛】考查了平移的性质,平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;
②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
14.把一张对边互相平行的纸条折成如图所示,EF是折痕,若∠EFB=32°,则下列结论正确的有 ①③④ (请填入序号).
①∠C′EF=32°
②∠AEC=148°
③∠BGE=64°
④∠BFD=116°.
【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可.
【详解】解:(1)∵AE∥BG,∠EFB=32°,
∴∠C′EF=∠EFB=32°,故本小题正确;
(2)∵AE∥BG,∠EFB=32°,
∴∠AEF=180°﹣∠EFB=180°﹣32°=148°,
∵∠AEF=∠AEC+∠GEF,
∴∠AEC<148°,故本小题错误;
(3)∵∠C′EF=32°,
∴∠GEF=∠C′EF=32°,
∴∠C′EG=∠C′EF+∠GEF=32°+32°=64°,
∵AC′∥BD′,
∴∠BGE=∠C′EG=64°,故本小题正确;
(4)∵∠BGE=64°,
∴∠CGF=∠BGE=64°,
∵DF∥CG,
∴∠BFD=180°﹣∠CGF=180°﹣64°=116°,故本小题正确.
故答案为:①③④.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质,熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.
15.下列说法正确的有 2 个:
(1)3是9的平方根.
(2)9的平方根是3.
(3)若a>0时,a有两个平方根,它们互为相反数.
(4)两个无理数之和必是有理数.
(5)一个数的平方根与这个数的算术平方根相等,这个数是0或1.
【分析】(1)原式利用平方根定义判断即可;
(2)原式利用平方根定义判断即可;
(3)原式利用平方根定义判断即可;
(4)原式利用无理数与有理数的运算法则判断即可;
(5)原式利用平方根及算术平方根定义判断即可.
【详解】解:(1)3是9的平方根,正确;
(2)9的平方根是3和﹣3,错误;
(3)若a>0时,a有两个平方根,它们互为相反数,正确;
(4)两个无理数之和不一定是有理数,例如+2=3,错误;
(5)一个数的平方根与这个数的算术平方根相等,这个数是0,错误,
则说法正确的有2个,
故答案为:2
【点睛】此题考查了平方根,以及算术平方根,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
16.如图,直线AB和直线CD相交于点O,∠BOE=90°,有下列结论:①∠AOC与∠COE互为余角;②∠AOC=∠BOD;③∠AOC=∠COE;④∠COE与∠DOE互为补角;⑤∠AOC与∠DOE互为补角;⑥∠BOD与∠COE互为余角.其中错误的有 ③⑤ .(填序号)
【分析】根据对顶角相等、邻补角、垂直的意义、等量代换等知识,逐个进行判断即可.
【详解】解:∵∠BOE=90°,
∴∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣90°=90°=∠AOC+∠COE,
因此①不符合题意;
由对顶角相等可得②不符合题意;
∵∠AOE=90°=∠AOC+∠COE,但∠AOC与∠COE不一定相等,因此③符合题意;
∠COE+∠DOE=180°,因此④不符合题意;
∠EOC+∠DOE=180°,但∠AOC与∠COE不一定相等,因此⑤符合题意;
∠BOD=∠AOC,且∠COE+∠AOC=90°,因此⑥不符合题意;
故答案为:③⑤
【点睛】考查对顶角、邻补角、垂直的意义等知识,等量代换在寻找各个角之间关系时起到十分重要的重要.
三.解答题(共8小题)
17.解下列方程:
(1)4x2﹣16=0
(2)(x﹣1)3=﹣125.
【分析】(1)根据平方根的定义计算即可;
(2)根据立方根的定义计算即可.
【详解】解:(1)4x2=16,
x2=4,
x=±2;
(2)x﹣1=﹣5,
x=﹣4
【点睛】本题考查了平方根和立方根,掌握它们的定义是解题的关键.
18.根据图形及题意填空,并在括号里写上理由.
已知:如图,AD∥BC,AD平分∠EAC.
试说明:∠B=∠C
解:∵AD平分∠EAC(已知)
∴∠1=∠2(角平分线的定义)
∵AD∥BC(已知)
∴∠ 1 =∠ B ( 两直线平行,同位角相等 )
∠ 2 =∠ C ( 两直线平行,内错角相等 )
∴∠B=∠C.
【分析】由AD∥BC,根据两直线平行,同位角相等、内错角相等,即可求得∠1=∠B,∠2=∠C.
【详解】解:∵AD平分∠EAC,(已知)
∴∠1=∠2,(角平分线的定义)
∵AD∥BC,(已知)
∴∠1=∠B,(两直线平行,同位角相等)
∠2=∠C,(两直线平行,内错角相等)
∴∠B=∠C.
故答案为:1;B;两直线平行,同位角相等;2;C;两直线平行,内错角相等.
【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握两直线平行,同位角相等与两直线平行,内错角相等定理的应用是解此题的关键.
19.三角形ABC(记作△ABC)在方格中,顶点都在格点,位置如图所示,已知A(﹣3,2)、B(﹣4,﹣1).
(1)请你在方格中建立直角坐标系,点C的坐标是 (0,﹣1) ;
(2)把△ABC向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,请你画出平移后的三角形.
【分析】(1)根据点A和点B的左边可确定x轴和y轴,从而建立坐标系,再得出点C的坐标;
(2)分别作出点A,B,C平移后的对应点,再顺次连接即可得.
【详解】解:(1)如图所示,点C的坐标为(0,﹣1),
故答案为:(0,﹣1);
(2)如图所示,△DEF即为所求.
【点睛】本题考查了平移变换:确定平移后图形的基本要素有两个:平移方向、平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
20.若的整数部分为a,小数部分为b,求a2+b﹣的值.
【分析】首先得出的取值范围,再得出a,b的值,进而得出答案.
【详解】解:∵3<<4,
∴a=3,b=﹣3,
∴a2+b﹣
=9+﹣3﹣
=6.
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出a,b的值是解题关键.
21.如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C,求证:∠1=∠2.
【分析】根据垂直的定义得到∠ADF=∠EFC=90°,再根据同位角相等,两直线平行得到AD∥EF,利用直线平行的性质有∠2=∠DAC;由∠3=∠C,根据同位角相等,两直线平行得到DG∥AC,再利用直线平行的性质得∠1=∠DAC,最后利用等量代换即可得到结论.
【详解】证明:∵AD⊥BC,EF⊥BC,
∴∠ADF=∠EFC=90°,
∴AD∥EF,
∴∠2=∠DAC,
又∵∠3=∠C,
∴DG∥AC,
∴∠1=∠DAC,
∴∠1=∠2.
【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质:同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.
22.如图,直线AB、CD相交于点O,OD平分∠BOE,∠AOC=25°.
(1)求∠EOB的度数;
(2)若OF⊥CD,垂足为O,求∠EOF的度数.
【分析】(1)根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=25°,根据角平分线的定义得到∠EOB=2∠BOD=50°,于是得到结论;
(2)根据角平分线的定义得到∠EOD=∠BOD=25°,再根据垂直的定义和角的和差关系即可得到结论.
【详解】解:(1)由对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=25°,
∵OD平分∠BOE,
∴∠EOB=2∠BOD=50°;
(2)∵OD平分∠BOE,
∴∠EOD=∠BOD=25°,
∵OF⊥CD,
∴∠FOD=90°,
∴∠EOF=90°﹣∠EOD=65°.
【点睛】本题考查了垂线,对顶角,角平分线的定义,正确的识别图形是解题的关键.
23.如图①,直线l1∥l2,直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点,点A、B分别在直线l1、l2上,点P在直线EF上,连接PA、PB.
猜想:如图①,若点P在线段CD上,∠PAC=15°,∠PBD=40°,则∠APB的大小为 55 度.
探究:如图①,若点P在线段CD上,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
拓展:如图②,若点P在射线CE上或在射线DF上时,直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
【分析】猜想:如图①,根据平行线的性质和∠PAC=15°,∠PBD=40°,即可得∠APB的大小;
探究:如图①,结合猜想即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系;
拓展:如图②,分两种情况画出图形,当点P在射线CE上或在射线DF上时,结合探究过程即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系.
【详解】解:猜想:如图①,过点P作PG∥l1,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC=15°,∠BPG=∠PBD=40°,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=∠PAC+∠PBD=15°+40°=55°,
∴∠APB的大小为55度,
故答案为:55;
探究:如图①,∠PAC=∠APB﹣∠PBD,理由如下:
∵l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠APB=∠APG+∠BPG=∠PAC+∠PBD,
∴∠PAC=∠APB﹣∠PBD;
拓展:∠PAC=∠PBD﹣∠APB或∠PAC=∠APB+∠PBD,理由如下:
如图,当点P在射线CE上时,
过点P作PG∥l1,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠PAC=∠APG=∠BPG﹣∠APB,
∴∠PAC=∠PBD﹣∠APB;
当点P在射线DF上时,
过点P作PG∥l1,
∴l1∥l2∥PG,
∴∠APG=∠PAC,∠BPG=∠PBD,
∴∠PAC=∠APG=∠APB+∠BPG,
∴∠PAC=∠APB+∠PBD,
综上所述:当点P在射线CE上或在射线DF上时,∠PAC=∠PBD﹣∠APB或∠PAC=∠APB+∠PBD.
【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质.
24.如图1,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为A(m,0),B(n,0)且m、n满足|m+2|+=0,现同时将点A,B分别向上平移3个单位,再向右平移2个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及四边形OBDC的面积;
(2)如图2,点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)的值是否发生变化,并说明理由.
(3)在四边形OBDC内是否存在一点P,连接PO,PB,PC,PD,使S△PCD=S△PBD;S△POB:S△POC=5:6,若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
【分析】(1)根据非负数的性质得到m=﹣2,n=5,求得A(﹣2,0),B(5,0),根据平移的性质得到点C(0,3),D(7,3);即可得到结果;
(2)过点P作PE∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠DCP=∠CPE,根据平行公理可得PE∥AB,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BOP=∠OPE,然后求出∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO,再求出比值即可;
(3)如图3,过P作PM⊥OB于M,并反向延长交CD于N,设P(a,b),根据S△POB:S△POC=5:6,于是得到×5•b=×3×a,求得a=2b,①由于S△PCD=S△PBD,于是得到×7•(3﹣b)=(5﹣a+7﹣a)×3﹣(5﹣a)b﹣(7﹣a)(3﹣b),②解方程组即可得到结论.
【详解】解:(1)∵|m+2|+=0,
∴m=﹣2,n=5,
∴A(﹣2,0),B(5,0),
∵点A,B分别向上平移3个单位,再向右平移2个单位,
∴点C(0,3),D(7,3);
∵OB=5,
∴S四边形OBDC=(5+7)×3=18;
(2)=1,比值不变.
理由如下:由平移的性质可得AB∥CD,
如图,过点P作PE∥AB,则PE∥CD,
∴∠DCP=∠CPE,∠BOP=∠OPE,
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP,
∴=1,比值不变;
(3)存在,
如图3,过P作PM⊥OB于M,并反向延长交CD于N,
∵CD∥OB,
∴PN⊥CD,
设P(a,b),
∵S△POB:S△POC=5:6,
∴(×5•b):(×3×a)(=5:6,
∴a=2b,①
∵S△PCD=S△PBD,
∴×7•(3﹣b)=(5﹣a+7﹣a)×3﹣(5﹣a)b﹣(7﹣a)(3﹣b),
化简得﹣3a+9b=6②,
把①代入②,解得:a=4,b=2,
∴P(4,2).
∴存在这样一点P,使S△PCD=S△PBD;S△POB:S△POC=5:6.
【点睛】本题考查了坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积,坐标与图形变化﹣平移,熟记各性质是解题的关键.
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