专题54 巧作三线合一构造全等三角形-中考数学重难点专项突破(全国通用)
展开三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
【模型展示】
如右图,在中,
①若AB=AC,,则,
②若AB=AC, ,则,;
③若AB=AC, ,则,;
④若, ,则AB=AC, ;
⑤若, ,则,, AB=AC;
⑥若, ,则AB=AC,;
等腰三角形三线合一的应用非常广泛,它包含了多层意义,可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时需要作高或中线,这要视具体情况而定。
【精典例题】
1.如图,已知房屋的顶角∠BAC=100∘,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
解答:
∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=100∘
∴∠B=∠C=(180∘−∠BAC)=(180∘−100∘)=40∘
∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100∘
∴AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=50.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长。
解答:
∵AD=DB=BC,CD=4,且△BDC的周长为24
∴AD=DB=BC=10
∴AC=14
∵AB=AC
∴AB=14
∵AD=DB,DE⊥AB
∴AE=BE=AB=7.
3.已知:三角形ABC中,∠A=90∘,AB=AC,D为BC的中点,如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形。
解答:
证明:连接AD
∵AB=AC,∠A=90∘,D为BC中点
∴AD=BC2=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45∘
在△BDE和△ADF中,BD=AD,∠B=∠DAF=45∘,BE=AF
∴△BDE≌△ADF
∴DE=DF,∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90∘
∴∠ADF+∠ADE=90∘
即:∠EDF=90∘
∴△EDF为等腰直角三角形。
4.如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.
解答:
证明:作EF⊥AC于F,
∵EA=EC,
∴AF=FC=AC
∵AC=2AB
∴AF=AB
∵AD平分∠BAC交BC于D
∴∠BAD=∠CAD
在△BAE和△FAE中,AB=AF,∠BAD=∠CAD,AE=AE
∴△ABE≌△AFE(SAS)
∴∠ABE=∠AFE=90∘
∴EB⊥AB.
5.如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD.
解答:
证明:延长BA交CD的延长线于点E.
∵BF是∠CBA的角平分线
∴∠CBF=∠DBA
∵BD⊥CE
∴∠BDC=∠EDB
∵∠CBF=∠DBA,BD=BD,∠BDC=∠EDB
∴△BDC≌△BDE
∴CD=DE
∵∠BAC=90°
∴AC⊥AB,即△BAF是直角三角形
∵∠BAC=90°,∠BDC=90°
∴∠BAC=∠BDC
∵∠DBA+∠BED=∠BDC,∠ECA+∠AEC=∠BAC,∠BAC=∠BDC,∠AEC=∠BED
∴∠DBA=∠ECA
∵∠DBA=∠ECA,AB=AC,∠BAC=∠CAE=90°
∴△CAE≌△BAF
∴BF=CE
∵CD+DE=CE,CD=DE,BF=CE
∴BF=2CD.
6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.
求证:CD=AB+BD.
解答:
证明:在DC上找一点M,使得DM=DB,连接AM.
∵AD⊥BC,DM=BD
∴AD是BM的垂直平分线
∴AB=AM
∴∠B=∠AMB
∵∠B=2∠C,∠AMB=∠C+∠MAC
∴∠MAC=∠C
∴AM=CM
∴CM=AB
∴CD=DM+MC=BD+AB.
7、已知:如图,AB=CD,AC与BD交于点O,且AC=BD.
求证:∠ABO=∠DCO.
证明:如图,连接AD
在△ABD和△DCA中,
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ABO=∠DCO(全等三角形对应角相等)
8、已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
求证:AB=CD且AD=BC.
证明:如图,连接AC
∵AB∥CD
∴∠CAB=∠ACD
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠BCA
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(ASA)
∴AB=CD,BC=DA(全等三角形对应边相等)
9、已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F是CD的中点.
求证:AF⊥CD.
证明:如图,连接AC,AD
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD(全等三角形对应边相等)
∵F是CD的中点
∴CF=DF
在△ACF和△ADF中,
∴△ACF≌△ADF(SSS)
∴∠CFA=∠DFA(全等三角形对应角相等)
∵∠CFA+∠DFA=180°
∴∠CFA=90°
∴AF⊥CD
10、已知:在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
证明:如图,过点A作AD⊥BC于点D
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC(AAS)
∴AB=AC(全等三角形对应边相等)
11、已知:如图,在△ABC中,点D,E在AC上,∠ABD=∠CBE,∠A=∠C.求证:BD=BE.
证明:如图,过点B作BF⊥AC于点F
∵BF⊥AC
∴∠BFA=∠BFC=90°
在△ABF和△CBF中,
∴△ABF≌△CBF(AAS)
∴AB=CB(全等三角形对应边相等)
在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(ASA)
∴BD=BE(全等三角形对应边相等)
12、已知:如图,在△ABD中,BC⊥AD于点C,E为BC上一点,AE=BD,EC=CD,延长AE交BD于点F.求证:AF⊥BD.
证明:如图,
∵BC⊥AD
∴∠ACE=∠BCD=90°
在Rt△ACE和Rt△BCD中
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)
∴∠CAE=∠CBD(全等三角形对应角相等)
∵∠ACE=90°
∴∠CAE+∠AEC=90°
∵∠AEC=∠BEF
∴∠CBD+∠BEF=90°
∴∠BFE=90°
∴AF⊥BD
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