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    专题54 巧作三线合一构造全等三角形-中考数学重难点专项突破(全国通用)
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    专题54 巧作三线合一构造全等三角形-中考数学重难点专项突破(全国通用)

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    这是一份专题54 巧作三线合一构造全等三角形-中考数学重难点专项突破(全国通用),文件包含专题54巧作三线合一构造全等三角形原卷版docx、专题54巧作三线合一构造全等三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共17页, 欢迎下载使用。

    三线合一:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
    【模型展示】
    如右图,在中,
    ①若AB=AC,,则,
    ②若AB=AC, ,则,;
    ③若AB=AC, ,则,;
    ④若, ,则AB=AC, ;
    ⑤若, ,则,, AB=AC;
    ⑥若, ,则AB=AC,;
    等腰三角形三线合一的应用非常广泛,它包含了多层意义,可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。
    等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或的倍分关系。在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时需要作高或中线,这要视具体情况而定。
    【精典例题】
    1.如图,已知房屋的顶角∠BAC=100∘,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
    解答:
    ∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=100∘
    ∴∠B=∠C=(180∘−∠BAC)=(180∘−100∘)=40∘
    ∵AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=100∘
    ∴AD平分∠BAC
    ∴∠BAD=∠CAD=50.
    2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=DB=BC,DE⊥AB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长。
    解答:
    ∵AD=DB=BC,CD=4,且△BDC的周长为24
    ∴AD=DB=BC=10
    ∴AC=14
    ∵AB=AC
    ∴AB=14
    ∵AD=DB,DE⊥AB
    ∴AE=BE=AB=7.
    3.已知:三角形ABC中,∠A=90∘,AB=AC,D为BC的中点,如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形。
    解答:
    证明:连接AD
    ∵AB=AC,∠A=90∘,D为BC中点
    ∴AD=BC2=BD=CD
    且AD平分∠BAC
    ∴∠BAD=∠CAD=45∘
    在△BDE和△ADF中,BD=AD,∠B=∠DAF=45∘,BE=AF
    ∴△BDE≌△ADF
    ∴DE=DF,∠BDE=∠ADF
    ∵∠BDE+∠ADE=90∘
    ∴∠ADF+∠ADE=90∘
    即:∠EDF=90∘
    ∴△EDF为等腰直角三角形。
    4.如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB.
    解答:
    证明:作EF⊥AC于F,
    ∵EA=EC,
    ∴AF=FC=AC
    ∵AC=2AB
    ∴AF=AB
    ∵AD平分∠BAC交BC于D
    ∴∠BAD=∠CAD
    在△BAE和△FAE中,AB=AF,∠BAD=∠CAD,AE=AE
    ∴△ABE≌△AFE(SAS)
    ∴∠ABE=∠AFE=90∘
    ∴EB⊥AB.
    5.如图,已知在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.求证:BF=2CD.
    解答:
    证明:延长BA交CD的延长线于点E.
    ∵BF是∠CBA的角平分线
    ∴∠CBF=∠DBA
    ∵BD⊥CE
    ∴∠BDC=∠EDB
    ∵∠CBF=∠DBA,BD=BD,∠BDC=∠EDB
    ∴△BDC≌△BDE
    ∴CD=DE
    ∵∠BAC=90°
    ∴AC⊥AB,即△BAF是直角三角形
    ∵∠BAC=90°,∠BDC=90°
    ∴∠BAC=∠BDC
    ∵∠DBA+∠BED=∠BDC,∠ECA+∠AEC=∠BAC,∠BAC=∠BDC,∠AEC=∠BED
    ∴∠DBA=∠ECA
    ∵∠DBA=∠ECA,AB=AC,∠BAC=∠CAE=90°
    ∴△CAE≌△BAF
    ∴BF=CE
    ∵CD+DE=CE,CD=DE,BF=CE
    ∴BF=2CD.
    6.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.
    求证:CD=AB+BD.
    解答:
    证明:在DC上找一点M,使得DM=DB,连接AM.
    ∵AD⊥BC,DM=BD
    ∴AD是BM的垂直平分线
    ∴AB=AM
    ∴∠B=∠AMB
    ∵∠B=2∠C,∠AMB=∠C+∠MAC
    ∴∠MAC=∠C
    ∴AM=CM
    ∴CM=AB
    ∴CD=DM+MC=BD+AB.
    7、已知:如图,AB=CD,AC与BD交于点O,且AC=BD.
    求证:∠ABO=∠DCO.
    证明:如图,连接AD
    在△ABD和△DCA中,
    ∴△ABD≌△DCA(SSS)
    ∴∠ABO=∠DCO(全等三角形对应角相等)
    8、已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.
    求证:AB=CD且AD=BC.
    证明:如图,连接AC
    ∵AB∥CD
    ∴∠CAB=∠ACD
    ∵AD∥BC
    ∴∠DAC=∠BCA
    在△ABC和△CDA中,

    ∴△ABC≌△CDA(ASA)
    ∴AB=CD,BC=DA(全等三角形对应边相等)
    9、已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F是CD的中点.
    求证:AF⊥CD.
    证明:如图,连接AC,AD
    在△ABC和△AED中,
    ∴△ABC≌△AED(SAS)
    ∴AC=AD(全等三角形对应边相等)
    ∵F是CD的中点
    ∴CF=DF
    在△ACF和△ADF中,
    ∴△ACF≌△ADF(SSS)
    ∴∠CFA=∠DFA(全等三角形对应角相等)
    ∵∠CFA+∠DFA=180°
    ∴∠CFA=90°
    ∴AF⊥CD
    10、已知:在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.
    证明:如图,过点A作AD⊥BC于点D
    ∵AD⊥BC
    ∴∠ADB=∠ADC=90°
    在△ADB和△ADC中,
    ∴△ADB≌△ADC(AAS)
    ∴AB=AC(全等三角形对应边相等)
    11、已知:如图,在△ABC中,点D,E在AC上,∠ABD=∠CBE,∠A=∠C.求证:BD=BE.
    证明:如图,过点B作BF⊥AC于点F
    ∵BF⊥AC
    ∴∠BFA=∠BFC=90°
    在△ABF和△CBF中,
    ∴△ABF≌△CBF(AAS)
    ∴AB=CB(全等三角形对应边相等)
    在△ABD和△CBE中,
    ∴△ABD≌△CBE(ASA)
    ∴BD=BE(全等三角形对应边相等)
    12、已知:如图,在△ABD中,BC⊥AD于点C,E为BC上一点,AE=BD,EC=CD,延长AE交BD于点F.求证:AF⊥BD.
    证明:如图,
    ∵BC⊥AD
    ∴∠ACE=∠BCD=90°
    在Rt△ACE和Rt△BCD中
    ∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)
    ∴∠CAE=∠CBD(全等三角形对应角相等)
    ∵∠ACE=90°
    ∴∠CAE+∠AEC=90°
    ∵∠AEC=∠BEF
    ∴∠CBD+∠BEF=90°
    ∴∠BFE=90°
    ∴AF⊥BD
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