专题05 手拉手模型构造全等三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用）

这是一份专题05 手拉手模型构造全等三角形-中考数学重难点专项突破（全国通用），共6页。

两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。
【知识总结】
【基本模型】
一、等边三角形手拉手-出全等

图1 图2

图3 图4
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Cm]
①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

图1 图2

图3 图4
1、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.
解析：
（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.
∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,（重点）
即∠ADB=∠CDE
在△DAB和△DCE中，
DA=DC
∠ADB=∠CDE
DB=DE
∴△DAB≌△DCE.
（2）∵△DAB≌△DCE
∴∠A=∠DCE=60°
∵∠ADC=60°
∴∠DCE=∠ADC
∴DA∥EC.
2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
解析:
∵△ACB和△DCE都是等腰三角形
∠ACB=∠DCE=90°
∴AC=BC,DC=EC
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD
∴∠BCD=∠ACE
在△ACE和△BCD中
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴AE=BD
3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP－∠BAP
＝∠BAC－∠BAP[来源:Z#xx#k.Cm]
即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
在△AQB和△APC中
AQ＝AP
∠QAB＝∠PAC
AB＝AC
∴△AQB≌△APC
∴BQ＝CP
（2）∵∠QAP＝∠BAC
∴∠QAP＋∠BAP
＝∠BAC＋∠BAP
即∠QAB＝∠PAC
另由旋转得AQ＝AP
在△AQB和△APC中
AQ＝AP
∠QAB＝∠PAC
AB＝AC
∴△AQB≌△APC
∴BQ＝CP
4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=2，AG=1，则EB=________________.
解析：连接BD交于AC于点O,
∵四边形ABCD、AGFE是正方形
∴AB=AD,AE=AG,∠DAB=∠EAG
∴∠EAB=∠GAD
在△AEB和△AGD中
AE=AG
∠EAB=∠GAD
AB=AD
∴△EAB≌△GAD（SAS）
∴EB=GD
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴BD⊥AC,AC=BD=2AB=2
∴∠DOG=90°，OA=OD=12BD=1
∵AG=1
∴OG=OA+AG=2
∴GD=5，EB=5
5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。
解析：连接BE
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形
∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°
∴∠BAD-∠BAG=∠EAG-∠BAG,即∠DAG=∠BAE
AB=AD
∠DAG=∠BAE
AE=AG
∴△BAE≌△DAG(SAS)
∴BE=DG
6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论: = 1 \* GB3 ①BD=CE; = 2 \* GB3 ②BD⊥CE; = 3 \* GB3 ③∠ACE+∠BDC=45°； = 4 \* GB3 ④BE2=2AD2+AB2其中结论正确的个数是_______
解析： = 1 \* GB3 ①∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠BAD=∠CAE
∵在△BAD和△CAE中
AB=AC
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE
= 2 \* GB3 ②∵△BAD≌△CAE
∴∠ABD=∠ACE
∵∠ABD+∠DBC=45°
∴∠ACE+∠DBC=45°
∴∠DBC+∠DCB=90°
则BD⊥CE
= 3 \* GB3 ③∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ABD+∠DBC=45°
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°
= 4 \* GB3 ④∵BD⊥CE
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2=BD2+DE2∵△ADE为等腰三角形，∴DE=2AD即DE2=2AD2∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2