专题08 相似三角形中的基本模型(基础训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】C．
【分析】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝，
∵NE∥MC，
∴△ANE∽△AMC，
∴＝，
∴＝．
故选：C．
2.（2019 浙江温州中考）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C．
【分析】如图，连接ALGL，PF．利用相似三角形的性质求出a与b的关系，再求出面积比即可．
【解答】解：如图，连接ALGL，PF．
由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，
∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，
∴△AML∽△GNL，
∴＝，
∴＝，
整理得a＝3b，
∴＝＝＝，
故选：C．
3.（2019 重庆中考）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．[来源:Z*xx*k.Cm]
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，
∴＝，
∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，
∴＝，
解得：AB＝4．
故选：C．
4.（2019 河北辽宁沈阳中考）（2019•沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（ ）
A．3：5B．9：25C．5：3D．25：9
【答案】C．
【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选：C．
5.（2019•哈尔滨）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D．
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】解：
∵在▱ABCD中，EM∥AD
∴易证四边形AMEN为平行四边形
∴易证△BEM∽△BAD∽△END
∴＝＝，A项错误
＝，B项错误
＝＝，C项错误
＝＝，D项正确
故选：D．
6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B．
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，
∴＝＝＝．
故选：B．
7.（2019 河北承德二中模拟）如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（ ）
A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）
【答案】A．
【分析】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，即可得到＝，再根据△BOC∽△B1OD，可得OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，进而得出点B1的坐标为（2，﹣4）．
【解答】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴BC＝1，OC＝2，
∵△AOB和△A1OB1相似，且周长之比为1：2，
∴＝，
∵∠BCO＝∠B1DO＝90°，∠BOC＝∠B1OD，
∴△BOC∽△B1OD，
∴OD＝2OC＝4，B1D＝2BC＝2，
∴点B1的坐标为（2，﹣4），
故选：A．
填空题
1.（2019 上海中考）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 ．
【答案】．
【分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，即可求得∠C1D1B1＝∠BDC，根据等角的余角相等求得∠B1C1D1＝∠B，即可证得△C1B1D∽△BCD，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．
【解答】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，
∴AB＝＝5，
设AD＝x，则BD＝5﹣x，
∵△ACD≌△C1A1D1，
∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，
∴∠C1D1B1＝∠BDC，
∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，
∴∠B1C1D1＝∠B，
∴△C1B1D∽△BCD，
∴＝，即＝2，
解得x＝，
∴AD的长为，
故答案为．
2.（2019 青海中考）（2019•青海）如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 cm．
【答案】．
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．
【解答】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；
易知：△ACM∽△BCN；
∴＝，
∵杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，
∴＝，即AM＝5BN；
∴当BN≥10cm时，AM≥50cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压50cm．
故答案为：50．
3.（2019 内蒙呼和浩特中考）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为 ．
【答案】．
【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．
【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，
∵正方形ABCD的面积是2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝，
又∵CE＝，△EFC∽△EAB，
∴，
即：F是CD的中点，[来源:学§科§网Z§X§X§K]
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，
∠BCF＝∠HDF＝90°
∴△BCF≌△HDF （AAS），
∴DH＝BC＝，
∵AH∥BE，
∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG
∴△HDG∽△BEG，
∴，
在Rt△ABH中，BH＝，
∴BG＝，
故答案为：
4.（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为 ．
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为 ．
【答案】6．
【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；
结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；
（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．
【解答】教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案为；
（2）解：如图③，连接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，
∴△BOC的面积＝，
∴▱ABCD的面积＝4×＝6．
故答案为6．
5.（2019 广东茂名中考模拟）如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为 ．
【答案】8．
【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出＝＝，进而得出假设BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y，根据△ABD的面积为1，求出xy＝2即可得出答案．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，
∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，
且△ABD与△COD的位似是1：3，
∴＝，
∴OE＝AB，
∴＝＝．
假设BD＝x，AB＝y
∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，
∵△ABD的面积为1，
∴xy＝1，
∴xy＝2，
∴AB•AE＝4xy＝8，
即：k＝4xy＝8．
故答案是：8．
6.（2019 山东淄博中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是 ．
【答案】（，）．
【分析】由题意可得OA：OD＝2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，
∴OA：OD＝2：3，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，）．
故答案是：（，）．
7.（2019 上海黄浦区中考模拟）（2019秋•黄浦区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是 ．
【答案】或．
【分析】分类讨论：当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，证明BD＝AD即可解决问题；当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，接着证明CD⊥AB，利用面积法可计算出CD＝；当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，证明CD为斜边上的中线，则CD＝DA＝DB＝AB＝．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE＝AE，
∵ED∥BC，
∴BD＝AD，
∴CD＝AB＝，
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，
而∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD＝＝，
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴DC＝DA，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴DB＝DC，
∴CD＝DA＝DB＝AB＝，
综上所述，CD的长为或．
故答案为或．
8.（2019 河北张家口中考模拟）（2019秋•大观区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝ ．
【答案】或1．
【分析】分情况讨论：∠CED＝90°和∠CDE＝90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长．
【解答】解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝AB＝，
②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．