专题08 相似三角形中的基本模型-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用）

这是一份专题08 相似三角形中的基本模型-2024年中考数学重难点专项突破（全国通用），共6页。

相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
【模型】一、“8”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD).
(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC).

图1 图2[来源
1、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为__4__.
2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.
证明：∵AD·AB＝AF·AC，∴eq \f(AD,AF)＝eq \f(AC,AB).
∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AFB，∴∠C＝∠B.
∵∠DEB＝∠FEC，
∴△DEB∽△FEC.
【模型】二、“A”字型及其变形
模型展示：
(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(CD,BC).

图1 图2 图3
1、在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2eq \r(2)，AB＝3，则BD＝__eq \f(8,3)__.
2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴eq \f(AD,AE)＝eq \f(AC,AB).∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DF,DB).
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.∴eq \f(EF,CD)＝eq \f(BF,BD).
∴eq \f(EF,AB)＋eq \f(EF,CD)＝eq \f(DF,DB)＋eq \f(BF,BD)＝eq \f(BD,BD)＝1.∴eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).
【模型】三、“手拉手”旋转型
模型展示：
如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Cm]
1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：
(1)△ABD∽△CBE；
(2)△ABC∽△DBE.
证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.
又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.
(2)∵△ABD∽△CBE，
∴eq \f(AB,CB)＝eq \f(DB,EB).∴eq \f(AB,DB)＝eq \f(CB,EB).
又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.
【模型】四、“子母(双垂直)”型
模型展示：
如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为( A )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(9,2) C.eq \f(3\r(3),2) D．3eq \r(3)
2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE.
证明：∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝eq \f(1,2)∠DAB，
∠ABE＝eq \f(1,2)∠ABC.
∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∴∠AEB＝90°.
∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°.
又∵∠BAE＝∠EAF，∴△AEF∽△ABE.
【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型
模型展示：
(1)“三垂直”模型
如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型
如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.
(1)求证：△ABE∽△ECD；
(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．
解：(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，
∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠DEC＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，∴EC＝BC－BE＝5－3＝2.∵△ABE∽△ECD，∴eq \f(AB,EC)＝eq \f(BE,CD)，∴eq \f(4,2)＝eq \f(3,CD)，∴CD＝eq \f(3,2).
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
[来源
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴eq \f(BE,CF)＝eq \f(DE,EF).
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴eq \f(CE,CF)＝eq \f(DE,EF).
又∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.