专题07 半角模型在三角形中应用-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
【知识总结】
过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
解题技巧：
在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，
∴BM+DN=MN
∠AMB=∠AMN
AB=AH
△CMN的周长等于正方形周长的一半
在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；
总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，
通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.
2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.
∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.
简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.
4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.
简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.
5.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.
简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.
6.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.
通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.
7.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME △DFN △AMN △BAN △DMA △AFE.
简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.
8.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.
9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.
10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：设，在Rt△CEF中，
，化简得，.
11.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大.
证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.
∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，
，，[来源:学&科&网]
∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论8可得△△ECA△NDA，，
，
同理可得.