2022-2023学年江苏省苏州市相城区蠡口中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市相城区蠡口中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列LOGO中，是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若式子 x+5在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−5B. x<−5C. x≠−5D. x≥−5
3.已知点M(2,−4)，则下列各点一定与该点在同一反比例函数图象上的是( )
A. (8,−1)B. (2,4)C. (1,8)D. (−4,−2)
4.下列分式中，最简分式是( )
A. 1−a4a2−2aB. a+ba2+2ab+b2C. 2a−4ba2−4b2D. a2−4b2a+2b
5.根据下列条件，能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边平行且另一组对边相等B. 两条对角线互相垂直
C. 一组对边平行且一组对角相等D. 两条对角线相等
6.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. 15
B. 14
C. 13
D. 310
7.△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACD，AD⊥CD于点D，若BC=12，AC=8，则DE=( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
8.如图，在平行四边形ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD=45°，AD=12，则平行四边形ABCD的对角线AC的长为( )
A. 8 5B. 12 5C. 20 2D. 20 3
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.化简： 24= ______．
10.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C=130°，则∠B的度数为______．
11.若点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数y=12x的图象上，且(x1”)．
12.若平行四边形的一条边长是10，一条对角线长为8，则它的另一条对角线长x的取值范围是______．
13.如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是DE延长线上的一点，且∠AFC=90°，若AC=12，BC=20，则DF的长为______．
14.已知菱形ABCD的两条对角线长分别为 3和3 6，则该菱形的面积为______．
15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为______．
16.关于x的方程ax+1=1的解是负数，则a的取值范围是______．
17.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(2,0)、B(1,1)，则第四个顶点C的坐标是______．
18.如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 2× 8−(12)−1；
(2)a2−b22ab÷(a−b)．
20.(本小题8分)
解方程：
(1)xx−3=2+3x−3；
(2)24−x=1−xx−4+2．
21.(本小题6分)
化简代数式m+1m−1−m−1m+1，其中m为整数，且−222.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
(1)求证：四边形DECO是矩形；
(2)若AC=4，BD=6，求EF的长．
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD为菱形，已知A(0,4)，B(−3,0)．
(1)求点D的坐标；
(2)求经过点C的反比例函数解析式．
24.(本小题8分)
已知，矩形ABCD．
(1)若点E为边AD上一点，且∠BEC=∠DEC，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；(不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑)
(2)在(1)的条件下，已知线段DE=2，线段AB=6，求BC的长.(请用图2进行探究)
25.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=10，BC=24，CD=8 2，∠C=45°，点P是边BC上的一动点，设PB的长为x．
(1)当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
(2)点P在边BC上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
26.(本小题10分)
在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN=DD′；
问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若BD′=12，CM=4，求线段MN的长．
27.(本小题10分)
在矩形ABCD中，P是线段BC上的一个动点，将△ABP沿直线AP翻折，点B的对应点为E，直线PE与直线AD交于点F．
(1)如图①，当点F在AD的延长线上时，求证：AF=PF；
(2)若AB=6，BC足够长，当点E到直线AD的距离等于3时，求BP的长；
(3)若AB=6，BC=10，当点P、E、D在同一直线上(如图②)时，点P开始向点C运动，到与C重合时停止，则点F运动的路程是______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形的概念，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：依题意有x+5≥0，
即x≥−5时，二次根式有意义．
故选：D．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M(2,−4)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=xy=−8，
∵8×(−1)=−8，故选项A符合题意，
2×4=8≠−8，故选项B不符合题意，
1×8=8≠−8，故选项C不符合题意，
−4×(−2)=8≠−8，故选项D不符合题意，
故选：A．
根据点M(2,−4)在反比例函数y=kx的图象上，可以求得k的值，从而可以判断各个选项是否正确．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4.【答案】A
【解析】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式=a+b(a+b)2=1a+b，不符合题意；
C、原式=2(a−2b)(a+2b)(a−2b)=2a+2b，不符合题意；
D、原式=(a+2b)(a−2b)a+2b=a−2b，不符合题意．
故选：A．
找出分式分子分母没有公因式的即可．
此题考查了最简分式，以及约分，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、一组对边平行且一组对角相等是平行四边形，故选项C符合题意；
D、两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OB=OD=OA=OC，AB/​/CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△EBO与△FDO中，
∵∠EOB=∠DOFOB=OD∠EBO=∠FDO，
∴△EBO≌△FDO(ASA)，
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12，
∴S△AOB=S△OBC=14S矩形ABCD．
故选：B．
本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12得出结论．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
7.【答案】B
【解析】解：如图，延长AD交BC于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCD，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC，
在△ACD和△FCD中，
∠ACD=∠FCDCD=CD∠ADC=∠FDC，
∴△ACD≌△FCD(ASA)，
∴AC=CF，AD=DF，
∵BC=12，AC=8，
∴BF=12−8=4，
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE=12BF=12×4=2．
故选：B．
根据线段垂直平分线的定义得到CA=CF，AD=DF，求出BF的长，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线构造成全等三角形和以DE为中位线的三角形是解题的关键，也是本题的难点．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示，过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，
∵在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，
∴BC=BD=AD=12，
又∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，∠ADB=90°，
∴Rt△ABD中，AB= 2AD=12 2，
∵∠CBF=∠DAB=45°，∠F=90°，
∴∠BCF=45°，
∴FC=FB=12 2=6 2，
∴AF=BF+AB=18 2，
∴Rt△ACF中，AC= AF2+CF2= (18 2)2+(6 2)2=12 5，
故选：B．
过C作CF⊥AB，交AB延长线于点F，连接BD，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到AB、CF与BF的长，再根据勾股定理即可得出AC的长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题时注意：平行四边形的对边平行且相等．
9.【答案】2 6
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质，解答此题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并能正确运用．
根据二次根式的性质： ab= a· b(a≥0,b≥0)解答．
【解答】
解： 24= 4×6=2 6，
故答案为：2 6．
10.【答案】115°
【解析】解：在▱ABCD中，∠A=∠C，
∵∠A+∠C=130°，
∴∠A=∠C=65°，
∴∠B=180°−∠A=115°，
故答案为：115°．
根据平行四边形的性质可知∠A=∠C，再根据邻角互补即可求出∠B．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
11.【答案】>
【解析】解：∵反比例函数解析式y=12x中的12>0，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵x1∴y1故答案为：>．
根据反比例函数解析式y=12x判断该函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，据此填空．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．解题过程中，利用了反比例函数图象的增减性．
12.【答案】12【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，
在△BOC中，BC=10，OC=4，
∴OB的取值范围是BC−OC即6∴BD的取值范围是12故答案为：12由平行四边形的性质得出OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，在△BOC中，由三角形的三边关系定理得出OB的取值范围，得出BD的取值范围即可．
本题考查了平行四边形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握平行四边形的性质和三角形的三边关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：在直角△AEC中，EF是斜边AC上的中线，AC=12，则EF=12AC=6．
在△ABC中，DE是中位线，BC=20，则DE=12BC=10．
则DF=DE+EF=10+6=16．
故答案为：16．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF，根据三角形中位线定理求得DE，则DF=DE+EF．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】9 22
【解析】解：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为 3和3 6，
∴该菱形的面积为12× 3×3 6=9 22，
故答案为：9 22．
直接由菱形面积公式计算即可．
本题考查菱形的性质，菱形的面积，关键是掌握菱形面积的计算公式．
15.【答案】258
【解析】解：设AF=x，则DF=4−x，
∵矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴CD=AD′=3，DF=D′F，∠D=∠D′=90°．
在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，
∴x2=32+(4−x)2，
解得：x=258．
故答案为：258．
设AF=x，则DF=4−x，利用矩形及轴对称的性质可得CD=AD′=3，DF=D′F，∠D=∠D′=90°，然后在Rt△AD′F中利用勾股定理即可求出AF的长．
本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．
16.【答案】a<1且a≠0
【解析】解：方程去分母得，a=x+1，
解得，x=a−1，
∵x<0，
∴a−1<0即a<1，
又a≠0则a的取值范围是a<1且a≠0．
先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．
此题主要考查了分式方程的解，我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视．
17.【答案】(2,−3)，(6,3)，(−2,3)
【解析】解：当BC/​/OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，
若选择AB为对角线，则C1(3,1)；
若选择OB为对角线，则C2(−1,1)；
当AB/​/OC，AB=OC时，
选择OA为对角线，则C3(1,−1)．
故第四个顶点坐标是：C1(3,1)，C2(−1,1)，C3(1,−1)．
(1)当BC/​/OA，BC=OA时，C和B的纵坐标相等，因为OA=2−0=2；当C在B左边时，横坐标为1−2=−1，当C在B右边时，横坐标为1+2=3；
(2)当AB/​/OC，AB=OC时，由点B平移到点A，是横坐标加1，纵坐标减1，那么由点O平移到C也应如此移动：0+1=1，0−1=−1．
本题考查了平行四边形的性质，关键是围绕三条线段分别作为平行四边形的对角线，根据平行四边形的性质，利用形数结合求解．
18.【答案】143 3
【解析】解：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点E是BC边的中点，
∴AE⊥BC，
∵A、C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PC+PE=PA+PE，
∴当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，即AE的长．
观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，
∴BE=CE=2，AB=BC=4，
∴在Rt△AEB中，AE=2 3，
∴PC+PE的最小值为2 3，
∴点H的纵坐标a=2 3，
∵BC/​/AD，
∴ADBE=PDPB=2，
∵BD=4 3，
∴PD=8 33
∴点H的横坐标b=83 3，
∴a+b=2 3+83 3=143 3．
故答案为：14 33
由A、C关于BD对称，推出PA=PC，推出PC+PE=PA+PE，推出当A、P、E共线时，PE+PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE+PC=6，推出BE=CE=3，AB=BC=6，分别求出PE+PC的最小值，PD的长即可解决问题．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：(1)原式= 2×8−2
=4−2
=2；
(2)原式=(a+b)(a−b)2ab⋅1a−b
=a+b2ab．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算，然后化简后进行实数的减法运算；
(2)先把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和负整数指数幂是解决问题的关键．也考查了分式的运算．
20.【答案】解：(1)原方程去分母得：x=2(x−3)+3，
整理得：x=2x−3，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x−3=0，
则x=3是分式方程的增根，
故原方程无解；
(2)原方程去分母得：−2=1−x+2(x−4)，
整理得：−2=x−7，
解得：x=5，
检验：当x=5时，x−4≠0，
故原方程的解为x=5．
【解析】(1)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：m+1m−1−m−1m+1
=(m+1)2(m−1)(m+1)−(m−1)2(m−1)(m+1)
=(m+1)2−(m−1)2(m−1)(m+1)
=4mm2−1，
∵m−1≠0，m+1≠0，
∴m≠1，m≠−1，
∵m为整数，且−2∴当m=0时，
原式=0−1
=0．
【解析】利用分式的减法的法则进行运算，再根据分式的定义选取适当的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】(1)证明：∵CE/​/BD，DE/​/AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=6，
∴OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴CD= OC2+OD2= 22+32= 13，
由(1)得：四边形DECO是矩形，
∴EF=OF，OE=CD= 13，
∴EF=12OE= 132．
【解析】(1)先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC=90°，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC=2，OB=OD=3，AC⊥BD，再由勾股定理得CD= 13，然后由矩形的性质得EF=OF，OE=CD= 13，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵A(0,4)，B(−3,0)，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2=5．
在菱形ABCD中，AD=AB=5，
∴OD=AD−OA=1，
∵点D在y轴上，
∴D(0,−1)；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BC/​/AD，BC=AB=5，
又∵B(−3,0)，
∴C(−3,−5)．
设经过点C的反比例函数解析式为y=kx(k≠0).
把(−3,−5)代入解析式得：k=15，
∴y=15x，
即经过点C的反比例函数解析式为y=15x．
【解析】本题考查菱形的性质：四边相等，对边平行，以及待定系数法求反比例函数解析式．
(1)菱形的四边相等，对边平行，根据此可求出D点的坐标．
(2)求出C点的坐标，设出反比例函数的解析式，根据C点的坐标可求出确定函数式．
24.【答案】解：(1)如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E，
∴∠BCE=∠BEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC；
∴点E即为所求；

(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，CD=AB=6，BC=AD，
∵DE=2，
∴AE=AD−DE=BC−2，
由(1)可知：BE=BC，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
∴(BC−2)2+62=BC2，
∴BC=10．
【解析】(1)以点B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
(2)根据矩形的性质可得∠A=90°，CD=AB=6，BC=AD，由(1)可得BE=BC，根据勾股定理可得结论．
本题考查了作图−复杂作图，矩形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
25.【答案】解：(1)当x为2或22时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
分为两种情况：如图1，当P在E的左边时，

∵E是BC的中点，AD=10，BC=24，
∴AD=PE=10，BE=CE=12BC=12，
∴x=BP=BE−PE=12−10=2，
即当x的值为2时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
②如图2，当P在E的右边时，

∵AD=EP=10，BE=12，
∴x=BP=BE+EP=12+10=22，
即当x为22时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
综上，当x为2或22时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
(2)当x=22时，点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，
理由是：分为两种情况：①当P在E的左边时，如图3，过过点D作DM⊥BC于点M，

∵CD=8 2，∠C=45°，
∴DM=CM=DC×sin45°=8 2× 22=8，
∵E是BC的中点，BC=24，
∴BE=CE=12，
∴EM=12−8=4，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE= EM2+DM2= 42+82=4 5，
∵AD=10，DE=4 5，
∴AD≠DE，
即此时以点P、A、D、E为顶点的四边形APED不是菱形；
②当P在E的右边时，如图4，当x=22时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴EP=AD=10，
过D作DM⊥BC于M，

∵CD=8 2，∠C=45°，
则DM=CM=8，
∴MP=BP−BM=BP−(BC−CM)=22−24+8=6．
∴DP= DM2+MP2= 82+62=10，
∴EP=DP，
故此时▱PDAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；
综上，当x为22时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形．
【解析】(1)分为两种情况，画出图形，由平行四边形的性质可得AD=PE，分两种情况讨论可求解；
(2)分为两种情况，画出图形，过D作DM⊥BC于M，求出DM、MC，根据平行四边形的性质、菱形的性质和判定求出BP即可．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理等知识点的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是比较容易出错．
26.【答案】解：(1)证明：过点N作NH⊥BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABM=90°，
∵∠NHB=90°，
∴四边形ABHN是矩形，
∴AB=HN，
∵DD′⊥MN，
∴∠DON−90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠OND+∠MNH=90°，
∴∠ODN−∠MNH，
∵∠DAD=∠NIIM，AD=NH，
∴△ADD′≌△HNM(ASA)，
∴MN=DD′；
(2)连接MD′，DD′，

设正方形的边长为x，
由勾胶定理得，BD2+BM2=D′C2+CM2，
∴122+(x−4)2=x2+42，
解得x=18，
∴AB=AD=18，
∴AD′=9，
由勾股定理得，DD′= 182+92= 405，
∵MN是DD的垂直平分线，
由(1)知，DD′=MN，
∴MN= 405．
【解析】(1)过点N作NH⊥BC于H，利用ASA证明△ADD′≌△INM，得DD′=MN；
(2)连接M′，设正方形的边长为x，由勾股定理得，BD2++BM2=D′C2+CM2，解方程可得x的值，利用勾股定理求出DD′，再根据(1)知，DD′=MN，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠APB=∠PAF，
由翻折的性质得：∠APB=∠APF，
∴∠APF=∠PAF，
∴AF=PF；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
①当点E在矩形ABCD内部时，过点E作HG/​/AB，分别交AD、BC于H、G，延长PE交AD于F，如图③所示：
则HG⊥AD，EH=3，
由翻折的性质得：AE=AB=6，
在Rt△AHE中，EH=12AE，
∴∠EAH=30°，
∴∠BAE=90°−∠EAH=90°−30°=60°，
由折叠的性质得：∠EAP=∠BAP，
∴∠EAP=∠BAP=12∠BAE=12×60°=30°，
∴AP=2BP，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+BP2=AP2，
即62+BP2=(2BP)2，
解得：BP=2 3(负值已舍去)；
②当点E在矩形ABCD外部时，过点E作EH/​/AB，分别交AD于H，如图④所示：
则EH⊥AD，EH=3，
由翻折的性质得：AE=AB=6，
在Rt△AHE中，EH=12AE，
∴∠EAH=30°，
∴∠BAE=90°+∠EAH=90°+30°=120°，
由折叠的性质得：∠EAP=∠BAP，
∴∠EAP=∠BAP=12∠BAE=12×120°=60°，
∴∠APB=90°−60°=30°，
∴AP=2AB=12，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+BP2=AP2，
即62+BP2=122，
解得：BP=6 3(负值已舍去)；
综上所述，BP的长为2 3或6 3；
(3)4.8．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=10，∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠BCA，
当点P、E、D在同一直线上时，点P开始向点C运动，开始点F沿DA方向移动，点E与点F重合后，点F又沿AD方向移动，如图②所示：
则点F运动的路程为：DF′+F′F″，
E′与F′重合时，由折叠的性质得：AF′=AB=6，
∴DF′=AD−AF′=10−6=4，
由折叠的性质得：∠BCA=∠E″CA，
∴∠DAC=∠E″CA，
∴AF″=CF″=AD−DF″=10−DF″，
在Rt△CDF″中，由勾股定理得：DF′′2+CD2=CF″2，
即DF″2+62=(10−DF″)2，
解得：DF″=3.2，
∴F′F″=DF′−DF″=4−3.2=0.8，
∴DF′+F′F″=4+0.8=4.8，
故答案为：4.8．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质、分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质与折叠的性质是解题的关键．