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人教版七年级数学上册同步精品讲义第02讲专题1.2有理数-【学生版+解析】
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这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第02讲专题1.2有理数-【学生版+解析】，共37页。试卷主要包含了负整数统称为整数，﹣2x+6．等内容，欢迎下载使用。
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
考点精讲
考点1：有理数分类
典例：（2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级）在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．在有理数中，零的意义表示没有
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．＋1B．－2C．D．0
4．（2022·全国·七年级专题练习）在表中符合条件的空格里画上“√”．
5．（2022·全国·七年级课时练习）在数中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．
考点2：相反数定义及其应用
典例：（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
巩固练习
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022B．C．2022D．
2．（2022·江苏泰州·二模）若a的相反数是﹣5，那么a＝（ ）
A．5B．﹣5C．0D．10
3．（2022·辽宁营口·中考真题）的相反数是____________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
(1)是相反数；
(2)是相反数；
(3)3是的相反数；
(4)与互为相反数．
5．（2022·全国·七年级专题练习）求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：
(1)的相反数；
(2)的相反数；
(3)的相反数的相反数；
(4)的相反数．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
巩固练习
1．（2021·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河北承德·二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1B．0C．－2D．－4
3．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（ ）
A．－3B．－1C．1D．2
4．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1B．－2C．－3D．－4
5．（2020·湖南·常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（2022·辽宁·中考真题）-2022的绝对值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
2．（2022·山西阳泉·七年级期末）我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a＞0时，如|a|=|2|=2，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，如|a|=0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如|a|=|﹣2|=2，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想B．公理化思想C．数形结合思想D．转化思想
3．（2022·山东青岛·一模）若x的绝对值是3，则x的值是（ ）
A．3B．-3C．±3D．-
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）绝对值等于11的数是______
5．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________.
考点5：有理数大小的比较
典例：（2022·浙江温州·九年级开学考试）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．﹣D．﹣1.5
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气
2．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）数，，，中最小的是（ ）
A．1B．0C．D．
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣|＜|﹣|B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣＜﹣
4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）比较大小：－4.3______－3.4
5．（2021·河南南阳·七年级期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各数既不是正数也不是负数的是( )
A．-1B．0C．1D．π
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）的相反数是（ ）．
A．B．5C．D．
3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若x的相反数是5，则x的值是（ ）
A．－5B．C．5D．
4．（2022·广西桂林·中考真题）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
5．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北唐山·二模）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8C．x＜8D．x＞8
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南省实验中学一模）请写出一个小于11的正整数_______．
8．（2022·广西钦州·七年级期末）相反数等于它本身的数是________．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）用“>”“<”“=”号填空：______．
10．（2021·北京·临川学校七年级期中）在数4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________ 是正数
11．（2022·江西景德镇·七年级期末）已知数轴上有一点表示的数是，将点向右移动4个单位至点，则点表示的数是______．
12．（2022·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么 的最小值是_________.
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）画一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣2|，．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
15．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．
有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
是
是
是
是
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
专题1.2 有理数
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有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
考点精讲
考点1：有理数分类
典例： （2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的定义分类即可．
【详解】
解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；
整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；
正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．
故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．
方法或规律点拨
本题考查了有理数，掌握有理数的正确分类是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级）在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的分类对选项逐个判断求解即可．
【详解】
解：-1为负整数，故A选项符合题意；
0为整数，不是负整数，故B选项不符合题意；
1为正整数，不是负整数，故C选项不符合题意；
为负分数，不是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．在有理数中，零的意义表示没有
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；
C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物的温度为，故此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数0的意义和性质，掌握0的意义和性质是正确判断的前提．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．＋1B．－2C．D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据负整数的定义判断即可．
【详解】
解：各数中，是负整数的是-2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数，掌握负整数的定义是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）在表中符合条件的空格里画上“√”．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，分别对：，，，进行分类判断即可．
【详解】
解：∵属于有理数、整数；属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；属于有理数、整数、自然数，
∴填表如下：
【点睛】
本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）在数中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
按照有理数的分类填写．
【详解】
解：负分数有，
非负整数有，
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数和非负整数的定义．
考点2：相反数定义及其应用
典例：（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定被“冰墩墩”遮挡的数，然后根据相反数定义求解即可．
【详解】
解：∵被“冰墩墩”遮挡数轴上的整数=2，
∴的相反数是-2．
故选：B．
【点睛】
方法或规律点拨
本题考查了用数轴上的点表示数，相反数定义，掌握数轴上的点表示数，相反数定义是解题关键．
巩固练习
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022B．C．2022D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的意义，即可解答．
【详解】
解：-2022的相反数是2022，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（2022·江苏泰州·二模）若a的相反数是﹣5，那么a＝（ ）
A．5B．﹣5C．0D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
【详解】
解：与互为相反数，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．
3．（2022·辽宁营口·中考真题）的相反数是____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据相反数的概念进行求解即可．
【详解】
的相反数是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，即和为0的两个数互为相反数，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
(1)是相反数；
(2)是相反数；
(3)3是的相反数；
(4)与互为相反数．
【答案】(1)不正确
(2)不正确
(3)正确
(4)正确
【解析】
【分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断．
(1)根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确；
(2)根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确；
(3)根据相反数的定义，3是的相反数，说法正确；
(4)根据相反数的定义，与互为相反数，说法正确；
【点睛】
本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
5．（2022·全国·七年级专题练习）求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：
(1)的相反数；
(2)的相反数；
(3)的相反数的相反数；
(4)的相反数．
【答案】(1)，在数轴上表示见解析
(2)，在数轴上表示见解析
(3)，在数轴上表示见解析
(4)，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】
各小题先根据相反数的概念分别求出相应的数，再将求出的数在数轴上表示出来．
(1)解：3的相反数为-3；数-3在数轴上表示为：
(2)解：-2的相反数为2；数2在数轴上表示为：
(3)解：的相反数的相反数为，；数在数轴上表示为：
(4)解：0的相反数为0；数0在数轴上表示为：
【点睛】
本题考查了相反数的概念和用数轴上的点表示数，熟记相反数的概念是解题的关键．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】
解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
方法或规律点拨
本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
巩固练习
1．（2021·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴的定义进行判断即可．
【详解】
A、正确；
B、单位长度不统一，故错误；
C、没有原点，故错误；
D、缺少正方向，故错误．
故选:A．
【点睛】
本题考查数轴的定义，数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备．
2．（2022·河北承德·二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1B．0C．－2D．－4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点B与点A位置求距离作答．
【详解】
解：点B在点A右侧6个单位距离，且点B表示的数是4，
即点A所表示的数为4-6=-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查数轴所表示数的意义，解题关键是了解数轴三要素及数轴上点的距离计算．
3．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（ ）
A．－3B．－1C．1D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上点的特征即可求解．
【详解】
解：由数轴可得，
在的左侧，故，
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴上点的特点，熟悉数轴上点左侧数要比点右侧的数小是解题的关键．
4．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1B．－2C．－3D．－4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的规律得到点P表示的数为a-2，根据OP=2ON得到，根据a＜0，求出a．
【详解】
点M向左平移2个单位长度，即点P表示的数字为a-2，
∵OP=2ON，
∴，
又∵a＜0，
∴a-2=-6，解得a=-4，
故选D．
【点睛】
此题考查了数轴上点的平移规律，数轴上两点之间的距离，正确理解数轴上点的平移规律是解题的关键．
5．（2020·湖南·常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．
【答案】-9或-5
【解析】
【分析】
分向右滑动和向左滑动两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵数轴上一点A表示的数为－7，
∴当点A在数轴上向左滑动2个单位后所表示的数是-7-2=-9；当点A在数轴上向右滑动2个单位后所表示的数是-7+2=-5，
故答案为：-9或-5．
【点睛】
本题主要考查了用数轴表示有理数，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A，B表示的数的绝对值相等，得到AB的中点为原点，即可确定出A表示的数．
【详解】
解：∵点A，B表示的数的绝对值相等，
∴线段AB中点为原点，
则点A到原点为3个单位长度，
∵数轴的单位长度为1.5，
∴点A表示的数为-3×1.5=-4.5，
故选：C．
方法或规律点拨
此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．注意：该数轴的单位长度为1.5．
巩固练习
1．（2022·辽宁·中考真题）-2022的绝对值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】
解：-2022的绝对值是2022，
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．（2022·山西阳泉·七年级期末）我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a＞0时，如|a|=|2|=2，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，如|a|=0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如|a|=|﹣2|=2，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想B．公理化思想C．数形结合思想D．转化思想
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分类讨论思想、公理化思想、数形结合思想和转化思想的含义即可判断求解．
【详解】
解：由题意知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论．
故选：A．
【点睛】
此题考查了分类讨论思想、公理化思想、数形结合思想和转化思想的概念，解题的关键是准确理解上述几种数学思想．
3．（2022·山东青岛·一模）若x的绝对值是3，则x的值是（ ）
A．3B．-3C．±3D．-
【答案】C
【解析】
【分析】
利用绝对值的代数意义求出x的值即可．
【详解】
∵
∴
故选：C．
【点睛】
此题考查了绝对值，比较基础，注意绝对值等于3的数有两个是解本题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）绝对值等于11的数是______
【答案】##11或-11##-11或11
【解析】
【分析】
利用绝对值是正数的数有两个，且互为相反数解答即可．
【详解】
解：∵丨11丨=11，丨－11丨=11，
∴绝对值等于11的数是±11，
故答案为：±11．
【点睛】
本题考查绝对值，理解绝对值的性质及意义是解答的关键．
5．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将代入，由绝对值的意义即可求解．
【详解】
解：由题意可知：当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的计算，属于基础题．
考点5：有理数大小的比较
典例：28．（2022·浙江温州·九年级开学考试）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．﹣D．﹣1.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【详解】
∵|-3|=3，|-|=，|-1.5|=1.5，|-1|=1，而3＞1.5＞＞1，
∴−3＜−1.5＜−＜−1＜0，
∴比-1大的数是0．
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了有理数大小的比较．明确正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气
【答案】A
【解析】
【分析】
先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
【详解】
解：∵-268℃＜-253℃＜-195.8℃＜-183℃，
∴液化温度最低的气体是氦气．
故选A．
【点睛】
本题考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解题关键．
2．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）数，，，中最小的是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数比较大小的方法即可找出最小的数．
【详解】
解：∵，
∴，
故数，，，中最小的是，
故选D．
【点睛】
本题考查有理数比较大小，解题的关键是牢记“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小时绝对值大的反而小” ．
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣|＜|﹣|B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣＜﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】
解：A、∵|−|=，|−|=，
∴|−|＞|−|，故该选项错误，不符合题意；
B、∵-|−3|=-3，-（−3）=3，
∴-|−3|＜-（−3），故该选项错误，不符合题意；
C、∵-|-8|=-8，
∴-|-8|＜7，故该选项错误，不符合题意；
D、∵|−|=，|−|=，
∴＞，
∴−＜−，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）比较大小：－4.3______－3.4
【答案】＜
【解析】
【分析】
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案．
【详解】
，
∵
∴
故答案为＜
【点睛】
本题考查了有理数比较大小；熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题关键
5．（2021·河南南阳·七年级期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列．
【答案】最低气温为℃，最高气温为℃，数轴见解析，从低到高的顺序排序为、、、、、、
【解析】
【分析】
根据有理数大小比较方法求得最高气温和最低气温，再将最低气温表示在数轴上，利用数轴的性质排序即可．
【详解】
解：观察数据可得，最高气温为℃，最低气温为℃，
这七天的最低气温（单位℃）分别为、、、、、、
在数轴上表示，如下图：
由数轴的性质可得，从低到高的排序为、、、、、、
【点睛】
此题考查了有理数大小的比较，涉及了的数轴的应用，表示数和利用数轴比较大小，解题的关键是掌握数轴的有关性质．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各数既不是正数也不是负数的是( )
A．-1B．0C．1D．π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，可得答案．
【详解】
解：0既不是正数也不是负数，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）的相反数是（ ）．
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的概念进行判断即可．
【详解】
解：-5的相反数是5，故B正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，是解题关键．
3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若x的相反数是5，则x的值是（ ）
A．－5B．C．5D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵x的相反数是5，
∴x=-5．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
4．（2022·广西桂林·中考真题）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用绝对值的意义，解答即可．
【详解】
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
5．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】
解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：-2故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
6．（2022·河北唐山·二模）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8C．x＜8D．x＞8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的几何意义，求出x满足的条件即可．
【详解】
解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，
∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，
即x＜﹣8或x＞8，
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值的几何意义，了解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南省实验中学一模）请写出一个小于11的正整数_______．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】
列出范围内的所有正整数，再任取一个即可．
【详解】
解：小于11的正整数有：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个，答案填写任意一个即可．
【点睛】
本题考查正整数的认识与判断，掌握正整数的性质和范围是解题的关键．
8．（2022·广西钦州·七年级期末）相反数等于它本身的数是________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据相反数的定义，0的相反数仍是0．
【详解】
解：0的相反数是其本身．
故答案为：0．
【点睛】
主要考查相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）用“>”“<”“=”号填空：______．
【答案】>
【解析】
【分析】
根据有理数比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，其绝对值越大值越小进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键．
10．（2021·北京·临川学校七年级期中）在数4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________ 是正数
【答案】4.3，
【解析】
【分析】
首先将各数化简，再根据正数的定义可得结果．
【详解】
解：在数4.3，，｜0｜=0，，-｜-3｜=-3，-（+5）=-5中，4.3，是正数．
故答案为：4.3，．
【点睛】
本题主要考查了有理数的定义，绝对值的意义，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解答此题的关键．
11．（2022·江西景德镇·七年级期末）已知数轴上有一点表示的数是，将点向右移动4个单位至点，则点表示的数是______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据数轴从左到右表示的数越来越大，可知向右平移则原数就加上平移的单位长度就得平移后的数，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵数轴上的点A表示的数是﹣5，将点A向右移动4个单位长度，得到点B，
∴点B表示的数是﹣5+4＝-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴从左到右表示的数越来越大．
12．（2022·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么 的最小值是_________.
【答案】13
【解析】
【分析】
当n为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，当n为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3．
【详解】
解：根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；
A2表示的数为-2+6=4；
A3表示的数为4-9=-5；
A4表示的数为-5+12=7；
A5表示的数为7-15=-8；
A6表示的数为-8+18=10，
A7表示的数为10-21=-11，
A8表示的数为-11+24=13，
A9表示的数为13-27=-14，
A10表示的数为-14+30=16，
A11表示的数为16-33=-17，
A12表示的数为-17+36=19，
A13表示的数为19-39=-20．
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为13．
【点睛】
本题主要考查了数字变化的规律，根据数轴发现题目规律，按照规律解答即可．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）画一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣2|，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在数轴上确定表示各数的点的位置．
【详解】
解：如图所示
．
【点睛】
本题考查在数轴上表示有理数，根据数轴与有理数的对应关系是解题关键．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
【答案】(1)8(2)B
【解析】
【分析】
（1）由x＝﹣2解得B的坐标，再根据数轴上两点间的距离解答；
（2）由点B在点A的右侧，得到﹣2x+6＞2，解得x＜2，继而得到数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，在点B的左边，由此解题．
(1)解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10
∵点A、B分别表示数2、10，
∴AB＝10﹣2＝8；
(2)①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，
解得x＜2；
②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，
∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，
又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，
∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，
∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查数轴、数轴上两点间的距离、分类讨论法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．
【答案】(1)A表示-3，B表示3(2)-6.5(3)1
【解析】
【分析】
(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得到答案．
(1)∵A对应刻度2，B对应刻度8，
∴，
∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，
∴A表示-3，B表示3；
(2)∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，
∴C表示的数为；
(3)因为点D到A的距离为2，
所以点D表示的数为-1和-5．
因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为-1和7．
综上，点D表示的数为-1．
所以点D关于原点对称的点表示的数为1．
【点睛】
此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律是解题的关键．有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
是
是
是
是
有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
是
√
√
是
√
√
√
是
√
√
是
√
√
√
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
考点精讲
考点1：有理数分类
典例：（2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级）在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．在有理数中，零的意义表示没有
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．＋1B．－2C．D．0
4．（2022·全国·七年级专题练习）在表中符合条件的空格里画上“√”．
5．（2022·全国·七年级课时练习）在数中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．
考点2：相反数定义及其应用
典例：（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
巩固练习
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022B．C．2022D．
2．（2022·江苏泰州·二模）若a的相反数是﹣5，那么a＝（ ）
A．5B．﹣5C．0D．10
3．（2022·辽宁营口·中考真题）的相反数是____________．
4．（2022·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
(1)是相反数；
(2)是相反数；
(3)3是的相反数；
(4)与互为相反数．
5．（2022·全国·七年级专题练习）求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：
(1)的相反数；
(2)的相反数；
(3)的相反数的相反数；
(4)的相反数．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
巩固练习
1．（2021·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河北承德·二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1B．0C．－2D．－4
3．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（ ）
A．－3B．－1C．1D．2
4．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1B．－2C．－3D．－4
5．（2020·湖南·常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（2022·辽宁·中考真题）-2022的绝对值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
2．（2022·山西阳泉·七年级期末）我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a＞0时，如|a|=|2|=2，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，如|a|=0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如|a|=|﹣2|=2，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想B．公理化思想C．数形结合思想D．转化思想
3．（2022·山东青岛·一模）若x的绝对值是3，则x的值是（ ）
A．3B．-3C．±3D．-
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）绝对值等于11的数是______
5．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________.
考点5：有理数大小的比较
典例：（2022·浙江温州·九年级开学考试）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．﹣D．﹣1.5
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气
2．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）数，，，中最小的是（ ）
A．1B．0C．D．
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣|＜|﹣|B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣＜﹣
4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）比较大小：－4.3______－3.4
5．（2021·河南南阳·七年级期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各数既不是正数也不是负数的是( )
A．-1B．0C．1D．π
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）的相反数是（ ）．
A．B．5C．D．
3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若x的相反数是5，则x的值是（ ）
A．－5B．C．5D．
4．（2022·广西桂林·中考真题）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
5．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北唐山·二模）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8C．x＜8D．x＞8
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南省实验中学一模）请写出一个小于11的正整数_______．
8．（2022·广西钦州·七年级期末）相反数等于它本身的数是________．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）用“>”“<”“=”号填空：______．
10．（2021·北京·临川学校七年级期中）在数4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________ 是正数
11．（2022·江西景德镇·七年级期末）已知数轴上有一点表示的数是，将点向右移动4个单位至点，则点表示的数是______．
12．（2022·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么 的最小值是_________.
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）画一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣2|，．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
15．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．
有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
是
是
是
是
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
专题1.2 有理数
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有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。3，整数也能化成分数，也是有理数
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；②负整数、0统称为非正整数；③正有理数、0统称为非负有理数；④负有理数、0统称为非正有理数；
3.数轴
（1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条向两端无限延伸的直线；②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；③同一数轴上的单位长度要统一；④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
（2）数轴上的点与有理数的关系
①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
（3）利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
（4）数轴上特殊的最大（小）数
①最小的自然数是0，无最大的自然数；
②最小的正整数是1，无最大的正整数；
③最大的负整数是-1，无最小的负整数
（5）a可以表示什么数
①a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
②a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
③a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
4.相反数
（1）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
（2）相反数的性质与判定
①任何数都有相反数，且只有一个；
②0的相反数是0；
③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
（3）相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
（4）相反数的求法
①求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
②求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
③求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
（5）相反数的表示方法
①一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
5.绝对值
①绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
②绝对值的代数定义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
可用字母表示为：
如果a>0，那么|a|=a； 如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
6.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
考点精讲
考点1：有理数分类
典例： （2022·全国·七年级）把下列各数填在相应的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的定义分类即可．
【详解】
解：负数集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；
整数集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；
正有理数集合：{3，0.5，，30%…}．
故答案为：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．
方法或规律点拨
本题考查了有理数，掌握有理数的正确分类是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级）在，，，这四个数中，属于负整数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据有理数的分类对选项逐个判断求解即可．
【详解】
解：-1为负整数，故A选项符合题意；
0为整数，不是负整数，故B选项不符合题意；
1为正整数，不是负整数，故C选项不符合题意；
为负分数，不是负整数，故D选项不符合题意；
故选：A
【点睛】
此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成全体有理数B．零既不是正数，也不是负数
C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．在有理数中，零的意义表示没有
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的意义和分类逐项进行判断即可．
【详解】
解：A．有理数分为正有理数、0、负有理数，故此选项不符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，是最小的非负整数，故此选项符合题意；
C．0.5就是十分之五，是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
D．0不仅可以表示没有，也可以表示实际的意义，如，在标准条件下，冰与水的混合物的冰与水的混合物的温度为，故此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数0的意义和性质，掌握0的意义和性质是正确判断的前提．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列各数中，是负整数的是（ ）
A．＋1B．－2C．D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据负整数的定义判断即可．
【详解】
解：各数中，是负整数的是-2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数，掌握负整数的定义是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）在表中符合条件的空格里画上“√”．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，分别对：，，，进行分类判断即可．
【详解】
解：∵属于有理数、整数；属于有理数、分数、负分数；属于有理数、分数；属于有理数、整数、自然数，
∴填表如下：
【点睛】
本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）在数中，负分数有______________________，非负整数有__________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
按照有理数的分类填写．
【详解】
解：负分数有，
非负整数有，
故答案为：；．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，解题的关键是掌握负分数和非负整数的定义．
考点2：相反数定义及其应用
典例：（2022·吉林吉林·一模）如图，数轴上的整数被“冰墩墩”遮挡，则的相反数是（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定被“冰墩墩”遮挡的数，然后根据相反数定义求解即可．
【详解】
解：∵被“冰墩墩”遮挡数轴上的整数=2，
∴的相反数是-2．
故选：B．
【点睛】
方法或规律点拨
本题考查了用数轴上的点表示数，相反数定义，掌握数轴上的点表示数，相反数定义是解题关键．
巩固练习
1．（2022·浙江宁波·中考真题）－2022的相反数是（ ）
A．－2022B．C．2022D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相反数的意义，即可解答．
【详解】
解：-2022的相反数是2022，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．（2022·江苏泰州·二模）若a的相反数是﹣5，那么a＝（ ）
A．5B．﹣5C．0D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
【详解】
解：与互为相反数，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．
3．（2022·辽宁营口·中考真题）的相反数是____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据相反数的概念进行求解即可．
【详解】
的相反数是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，即和为0的两个数互为相反数，熟练掌握知识点是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
(1)是相反数；
(2)是相反数；
(3)3是的相反数；
(4)与互为相反数．
【答案】(1)不正确
(2)不正确
(3)正确
(4)正确
【解析】
【分析】
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可判断．
(1)根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确；
(2)根据相反数的定义，不能单独说一个数是相反数，故说法不正确；
(3)根据相反数的定义，3是的相反数，说法正确；
(4)根据相反数的定义，与互为相反数，说法正确；
【点睛】
本题考查相反数的定义，属于基本概念题，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
5．（2022·全国·七年级专题练习）求出下列各数，并在数轴上把它们表示出来：
(1)的相反数；
(2)的相反数；
(3)的相反数的相反数；
(4)的相反数．
【答案】(1)，在数轴上表示见解析
(2)，在数轴上表示见解析
(3)，在数轴上表示见解析
(4)，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】
各小题先根据相反数的概念分别求出相应的数，再将求出的数在数轴上表示出来．
(1)解：3的相反数为-3；数-3在数轴上表示为：
(2)解：-2的相反数为2；数2在数轴上表示为：
(3)解：的相反数的相反数为，；数在数轴上表示为：
(4)解：0的相反数为0；数0在数轴上表示为：
【点睛】
本题考查了相反数的概念和用数轴上的点表示数，熟记相反数的概念是解题的关键．
考点3：数轴的定义及应用
典例：（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合图1和图2求出1个单位长度=0.6cm，再求出求出AB之间在数轴上的距离，即可求解；
【详解】
解：由图1可得AC=4-（-5）=9，由图2可得AC=5.4cm，
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为=5.4÷9=0.6（cm），
∵AB=1.8cm，
∴AB=1.8÷0.6＝3（单位长度），
∴在数轴上点B所对应的数b=-5+3=-2；
故选：C
方法或规律点拨
本题考查了数轴，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
巩固练习
1．（2021·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下面表示数轴的图中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴的定义进行判断即可．
【详解】
A、正确；
B、单位长度不统一，故错误；
C、没有原点，故错误；
D、缺少正方向，故错误．
故选:A．
【点睛】
本题考查数轴的定义，数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，三者必须同时具备．
2．（2022·河北承德·二模）如图，数轴的单位长度为1，如果点B表示的数是4，那么点A表示的数是（ ）
A．1B．0C．－2D．－4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上点B与点A位置求距离作答．
【详解】
解：点B在点A右侧6个单位距离，且点B表示的数是4，
即点A所表示的数为4-6=-2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查数轴所表示数的意义，解题关键是了解数轴三要素及数轴上点的距离计算．
3．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和－2，则a可以是（ ）
A．－3B．－1C．1D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数轴上点的特征即可求解．
【详解】
解：由数轴可得，
在的左侧，故，
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴上点的特点，熟悉数轴上点左侧数要比点右侧的数小是解题的关键．
4．（2022·河北·模拟预测）在数轴上，点M，N在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点M向左平移2个单位长度，得到点P，若OP＝2ON，则a的值为（ ）
A．－1B．－2C．－3D．－4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平移的规律得到点P表示的数为a-2，根据OP=2ON得到，根据a＜0，求出a．
【详解】
点M向左平移2个单位长度，即点P表示的数字为a-2，
∵OP=2ON，
∴，
又∵a＜0，
∴a-2=-6，解得a=-4，
故选D．
【点睛】
此题考查了数轴上点的平移规律，数轴上两点之间的距离，正确理解数轴上点的平移规律是解题的关键．
5．（2020·湖南·常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．
【答案】-9或-5
【解析】
【分析】
分向右滑动和向左滑动两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵数轴上一点A表示的数为－7，
∴当点A在数轴上向左滑动2个单位后所表示的数是-7-2=-9；当点A在数轴上向右滑动2个单位后所表示的数是-7+2=-5，
故答案为：-9或-5．
【点睛】
本题主要考查了用数轴表示有理数，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
考点4：绝对值的几何意义及应用
典例：（2022·福建·厦门市湖里中学模拟预测）如图，某数轴的单位长度为，如果点，表示的数的绝对值相等，那么点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据A，B表示的数的绝对值相等，得到AB的中点为原点，即可确定出A表示的数．
【详解】
解：∵点A，B表示的数的绝对值相等，
∴线段AB中点为原点，
则点A到原点为3个单位长度，
∵数轴的单位长度为1.5，
∴点A表示的数为-3×1.5=-4.5，
故选：C．
方法或规律点拨
此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．注意：该数轴的单位长度为1.5．
巩固练习
1．（2022·辽宁·中考真题）-2022的绝对值是（ ）
A．﹣2022B．2022C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质即可得出答案．
【详解】
解：-2022的绝对值是2022，
故选：B．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．（2022·山西阳泉·七年级期末）我们这样研究一个数的绝对值的性质：当a＞0时，如|a|=|2|=2，此时a的绝对值是它本身；当a=0时，如|a|=0，此时a的绝对值是0；当a＜0时，如|a|=|﹣2|=2，此时a的绝对值是它的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（ ）
A．分类讨论思想B．公理化思想C．数形结合思想D．转化思想
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分类讨论思想、公理化思想、数形结合思想和转化思想的含义即可判断求解．
【详解】
解：由题意知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论．
故选：A．
【点睛】
此题考查了分类讨论思想、公理化思想、数形结合思想和转化思想的概念，解题的关键是准确理解上述几种数学思想．
3．（2022·山东青岛·一模）若x的绝对值是3，则x的值是（ ）
A．3B．-3C．±3D．-
【答案】C
【解析】
【分析】
利用绝对值的代数意义求出x的值即可．
【详解】
∵
∴
故选：C．
【点睛】
此题考查了绝对值，比较基础，注意绝对值等于3的数有两个是解本题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）绝对值等于11的数是______
【答案】##11或-11##-11或11
【解析】
【分析】
利用绝对值是正数的数有两个，且互为相反数解答即可．
【详解】
解：∵丨11丨=11，丨－11丨=11，
∴绝对值等于11的数是±11，
故答案为：±11．
【点睛】
本题考查绝对值，理解绝对值的性质及意义是解答的关键．
5．（2022·江苏泰州·中考真题）若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将代入，由绝对值的意义即可求解．
【详解】
解：由题意可知：当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了绝对值的计算，属于基础题．
考点5：有理数大小的比较
典例：28．（2022·浙江温州·九年级开学考试）比﹣1大的数是（ ）
A．﹣3B．0C．﹣D．﹣1.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【详解】
∵|-3|=3，|-|=，|-1.5|=1.5，|-1|=1，而3＞1.5＞＞1，
∴−3＜−1.5＜−＜−1＜0，
∴比-1大的数是0．
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了有理数大小的比较．明确正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气
【答案】A
【解析】
【分析】
先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
【详解】
解：∵-268℃＜-253℃＜-195.8℃＜-183℃，
∴液化温度最低的气体是氦气．
故选A．
【点睛】
本题考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解题关键．
2．（2022·浙江·瑞安市安阳镇滨江中学三模）数，，，中最小的是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数比较大小的方法即可找出最小的数．
【详解】
解：∵，
∴，
故数，，，中最小的是，
故选D．
【点睛】
本题考查有理数比较大小，解题的关键是牢记“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小时绝对值大的反而小” ．
3．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ）
A．|﹣|＜|﹣|B．﹣|﹣3|＝﹣（﹣3）
C．﹣|﹣8|＞7D．﹣＜﹣
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简各数，然后再进行比较即可．
【详解】
解：A、∵|−|=，|−|=，
∴|−|＞|−|，故该选项错误，不符合题意；
B、∵-|−3|=-3，-（−3）=3，
∴-|−3|＜-（−3），故该选项错误，不符合题意；
C、∵-|-8|=-8，
∴-|-8|＜7，故该选项错误，不符合题意；
D、∵|−|=，|−|=，
∴＞，
∴−＜−，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相反数，绝对值和有理数的大小比较，准确化简各数是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）比较大小：－4.3______－3.4
【答案】＜
【解析】
【分析】
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小可得答案．
【详解】
，
∵
∴
故答案为＜
【点睛】
本题考查了有理数比较大小；熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题关键
5．（2021·河南南阳·七年级期中）如图，给出了未来一周中每天的最高气温和最低气温，其中最低气温是多少？最高气温呢？请先将这七天中每天的最低气温在数轴上表示出来，再按从低到高的顺序排列．
【答案】最低气温为℃，最高气温为℃，数轴见解析，从低到高的顺序排序为、、、、、、
【解析】
【分析】
根据有理数大小比较方法求得最高气温和最低气温，再将最低气温表示在数轴上，利用数轴的性质排序即可．
【详解】
解：观察数据可得，最高气温为℃，最低气温为℃，
这七天的最低气温（单位℃）分别为、、、、、、
在数轴上表示，如下图：
由数轴的性质可得，从低到高的排序为、、、、、、
【点睛】
此题考查了有理数大小的比较，涉及了的数轴的应用，表示数和利用数轴比较大小，解题的关键是掌握数轴的有关性质．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2021·黑龙江·逊克县教师进修学校一模）下列各数既不是正数也不是负数的是( )
A．-1B．0C．1D．π
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，可得答案．
【详解】
解：0既不是正数也不是负数，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）的相反数是（ ）．
A．B．5C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的概念进行判断即可．
【详解】
解：-5的相反数是5，故B正确．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，是解题关键．
3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若x的相反数是5，则x的值是（ ）
A．－5B．C．5D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵x的相反数是5，
∴x=-5．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
4．（2022·广西桂林·中考真题）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．0D．﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用绝对值的意义，解答即可．
【详解】
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义，正确利用绝对值的意义是解题的关键．
5．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】
解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；
点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；
b在a的右边，故b>a，故C选项错误；
由数轴得：-2
【点睛】
本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
6．（2022·河北唐山·二模）在数轴上与原点的距离大于8的点对应的x满足（ ）
A．﹣8＜x＜8B．x＜﹣8或x＞8C．x＜8D．x＞8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的几何意义，求出x满足的条件即可．
【详解】
解：∵数轴上的x表示与原点的距离大于8的点，
∴x可以是小于-8的数，也可以是大于8的数，
即x＜﹣8或x＞8，
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值的几何意义，了解绝对值的几何意义是解答本题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·河南省实验中学一模）请写出一个小于11的正整数_______．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】
列出范围内的所有正整数，再任取一个即可．
【详解】
解：小于11的正整数有：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个，答案填写任意一个即可．
【点睛】
本题考查正整数的认识与判断，掌握正整数的性质和范围是解题的关键．
8．（2022·广西钦州·七年级期末）相反数等于它本身的数是________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据相反数的定义，0的相反数仍是0．
【详解】
解：0的相反数是其本身．
故答案为：0．
【点睛】
主要考查相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）用“>”“<”“=”号填空：______．
【答案】>
【解析】
【分析】
根据有理数比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，其绝对值越大值越小进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故答案为：＞．
【点睛】
本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键．
10．（2021·北京·临川学校七年级期中）在数4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________ 是正数
【答案】4.3，
【解析】
【分析】
首先将各数化简，再根据正数的定义可得结果．
【详解】
解：在数4.3，，｜0｜=0，，-｜-3｜=-3，-（+5）=-5中，4.3，是正数．
故答案为：4.3，．
【点睛】
本题主要考查了有理数的定义，绝对值的意义，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解答此题的关键．
11．（2022·江西景德镇·七年级期末）已知数轴上有一点表示的数是，将点向右移动4个单位至点，则点表示的数是______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据数轴从左到右表示的数越来越大，可知向右平移则原数就加上平移的单位长度就得平移后的数，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵数轴上的点A表示的数是﹣5，将点A向右移动4个单位长度，得到点B，
∴点B表示的数是﹣5+4＝-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查数轴，解题的关键是明确数轴从左到右表示的数越来越大．
12．（2022·全国·七年级期末）如图，在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于20，那么 的最小值是_________.
【答案】13
【解析】
【分析】
当n为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，当n为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3．
【详解】
解：根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；
A2表示的数为-2+6=4；
A3表示的数为4-9=-5；
A4表示的数为-5+12=7；
A5表示的数为7-15=-8；
A6表示的数为-8+18=10，
A7表示的数为10-21=-11，
A8表示的数为-11+24=13，
A9表示的数为13-27=-14，
A10表示的数为-14+30=16，
A11表示的数为16-33=-17，
A12表示的数为-17+36=19，
A13表示的数为19-39=-20．
所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．
故答案为13．
【点睛】
本题主要考查了数字变化的规律，根据数轴发现题目规律，按照规律解答即可．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）画一条数轴并在数轴上画出表示下列各数的点：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣2|，．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
在数轴上确定表示各数的点的位置．
【详解】
解：如图所示
．
【点睛】
本题考查在数轴上表示有理数，根据数轴与有理数的对应关系是解题关键．
14．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B分别表示数2、﹣2x+6．
(1)若x＝﹣2，则点A、B间的距离是多少？
(2)若点B在点A的右侧：
① 求x的取值范围；
② 表示数﹣x+4的点应落在（ ）（填序号）
A．点A左边 B．线段AB上 C．点B右边
【答案】(1)8(2)B
【解析】
【分析】
（1）由x＝﹣2解得B的坐标，再根据数轴上两点间的距离解答；
（2）由点B在点A的右侧，得到﹣2x+6＞2，解得x＜2，继而得到数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，在点B的左边，由此解题．
(1)解：当x＝﹣2，﹣2x+6=10
∵点A、B分别表示数2、10，
∴AB＝10﹣2＝8；
(2)①∵点B在点A右侧，∴﹣2x+6＞2，
解得x＜2；
②∵x＜2，∴﹣x＞﹣2，则﹣x+4＞2，
∴数轴上表示数﹣x+4的点应落在点A的右边，
又∵（﹣x+4）﹣（﹣2x+6）＝x﹣2＜0，
∴﹣x+4＜﹣2x+6，即数轴上表示数﹣x+4的点在点B的左边，
∴数轴上表示﹣x+4的点落在线段AB上，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查数轴、数轴上两点间的距离、分类讨论法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
15．（2022·全国·七年级专题练习）1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8
(1)写出点A和点B表示的数；
(2)写出与点B距离为9.5厘米的直尺左端点C表示的数；
(3)在数轴上有一点D，其到A的距离为2，到B的距离为4，求点D关于原点点对称的点表示的数．
【答案】(1)A表示-3，B表示3(2)-6.5(3)1
【解析】
【分析】
(1)根据AB=8-2=6，点A和B互为相反数，即可得到结果；（2）利用B点表示的数减去9.5即可得到答案；（3）利用到点A和B的距离求出D的数值，再关于原点对称即可得到答案．
(1)∵A对应刻度2，B对应刻度8，
∴，
∵A，B在数轴上互为相反数，A在左，B在右，
∴A表示-3，B表示3；
(2)∵B表示3，C在点B左侧，并与点B距离为9.5厘米，
∴C表示的数为；
(3)因为点D到A的距离为2，
所以点D表示的数为-1和-5．
因为点D到B的距离为4，
所以点D表示的数为-1和7．
综上，点D表示的数为-1．
所以点D关于原点对称的点表示的数为1．
【点睛】
此题考查了利用数轴表示数，数轴上两点之间距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律是解题的关键．有理数
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分数
正整数
负分数
自然数
是
是
是
是
有理数
整数
分数
正整数
负分数
自然数
是
√
√
是
√
√
√
是
√
√
是
√
√
√
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
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