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人教版七年级数学上册同步压轴题专题05整式中的两种规律探索问题(学生版+解析)
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这是一份人教版七年级数学上册同步压轴题专题05整式中的两种规律探索问题(学生版+解析)，共21页。试卷主要包含了数字类规律探索，图形类规律探索等内容，欢迎下载使用。
类型一、数字类规律探索
例.观察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，据此规律，当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是( )
A．5B．C．D．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【变式训练3】有一列数，…，那么第n个数为______．
【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．
【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为( )
A．99B．100C．101D．102
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第( )颗棋子．
A．85B．86C．87D．88
3．将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为( )
A．12B．16C．18D．20
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A．9B．10C．11D．12
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以按照以上推理计算出的值是______．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接n(n为正整数)张桌子时，最多可就坐_____人．
9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
(2)完成下表：
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图(2)，再设计一个能求：的值的几何图形．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
专题05 整式中的两种规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.观察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，据此规律，当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【答案】0或﹣2
【详解】解：根据题意得∶ (x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，
(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，
(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，
……
∴(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝x6﹣1
∵(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0，
∴x6﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1，
则x2019﹣1＝0或﹣2，
故答案为：0或﹣2．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是( )
A．5B．C．D．
【答案】B
【解析】∵ ， 是的差倒数，∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，∴，∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以．
故选B．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【答案】0 1
【解析】由题意得：第3个数是，
第4个数是，第5个数是，第6个数是，
则前6个数的和是，
第7个数是，第8个数是，
归纳类推得：这2021个数是按循环往复的，
，且前6个数的和是0，
这2021个数的和与前5个数的和相等，即为，
故答案为：0，1．
【变式训练3】有一列数，…，那么第n个数为______．
【答案】
【详解】解：，，，
，，……
由此发现：第n个数为．
故答案为：
【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______．
【答案】
【详解】解：根据题意，
=，
∴的展开式中从左起第三项为，
故答案为：．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点．
【答案】 6
【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即；
三条直线相交最多有3个交点，即；四条直线相交最多有6个交点，即，
五条直线相交最多有10个交点，即，……
∴n条直线两两相交，最多有个交点(n为正整数，且n≥2)．
故答案为6；．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．
【答案】9
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=n(1+n)个小球，
∴n(1+n)=45，
解得n=9或-10(舍去)，
故答案为：9．
【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【答案】10
【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，
∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，
∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．
故答案为：10．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【答案】114
【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，
则第n层中含有正三角形个数是6+12×(n-1)=个，
故答案为：114，．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
【答案】2021
【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯
第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，
∵，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为( )
A．99B．100C．101D．102
【答案】B
【详解】
解：观察图形知：
第一个图中有3=1+2×1个正方形，
第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，
第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，
…
故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201(个)正方形，
解得n=100
故选B．
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第( )颗棋子．
A．85B．86C．87D．88
【答案】B【详解】偶数列数与排数表：
∴当n=16时，排数为：，
∴前16列共有棋子：(颗)，
∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．
故选B．
3．将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为( )
A．12B．16C．18D．20
【答案】C
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，2a+2b=3a， 整理得，a=2b，
∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=(3×2b)÷b=6，
∴n=3×2+6×2=6+12=18．
故选：C．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【详解】
解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，
∴x+y=3z-24=12
故选：D．
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
【答案】16 674
【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，
第n行的最后一个数字为：，
第6行最后一个数字为：；，解得：，
故答案为：16,674．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
【答案】
【详解】解：∵1×(2+1)=3，3×(4+1)=15，5×(6+1)=35，
∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×(左下圆圈内的数+1)，∴M=m(n+1)，
∴M=11×(12+1)=143．
故答案为：143．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以按照以上推理计算出的值是______．
【答案】
【详解】解：令，
则，
因此，则，得：，
所以．
故答案为：．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接n(n为正整数)张桌子时，最多可就坐_____人．
【答案】(6n+2)
【详解】
解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐(2+6)人．
拼2张桌子，可以坐[2+(6×2)]人．
拼3张桌子，可以坐[2+(6×3)]人．
…
拼接n(n为正整数)张桌子，可以坐(6n+2)人．
故答案是：(6n+2)．
9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】(1)，符合；(2)；(3)见解析
【详解】解：(1)由题意得：
，符合；
(2)；
答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；
(3)设上边第一个数为x，则其后的数为(x+1)，第二行的两个数分别为(x+7)，(x+8)，
根据题意，得．
10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
(2)完成下表：
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
【答案】(1)第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；(2)1，7，19，37，61；(3)
【详解】(1)观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
(2)将(1)算出的结果填入下列表格，如下表所示，
(3)结合(1)(2)可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析
(2)m的值为9909或2110或6422
【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：
∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；
∵6=4+2，，∴2642不是“筋斗数”；
(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数
∵是“筋斗数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m=1000(2b+a)+100(a+b)+10b+a=1100a+110b+2000b+a
∵与13的和能被11整除，
∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，
∵2b+a≤9且a、b为整数，∴b≤4.5
∵1100a+110b能被11整除，
∴2000b+a+13能被11整除，
∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，
∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10(舍去)或a+b=10，2b+a=14(舍去)，∴的值为9909或2110或6422
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图(2)，再设计一个能求：的值的几何图形．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)见解析
【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ，
的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，
；
②设 ，
，
，即，；
(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，
则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：
偶数列数
排数
2
2
4
3
6
4
8
5
…
…
n
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
1
7
19
37
61
类型一、数字类规律探索
例.观察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，据此规律，当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是( )
A．5B．C．D．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【变式训练3】有一列数，…，那么第n个数为______．
【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．
【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为( )
A．99B．100C．101D．102
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第( )颗棋子．
A．85B．86C．87D．88
3．将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为( )
A．12B．16C．18D．20
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A．9B．10C．11D．12
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以按照以上推理计算出的值是______．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接n(n为正整数)张桌子时，最多可就坐_____人．
9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
(2)完成下表：
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图(2)，再设计一个能求：的值的几何图形．
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
专题05 整式中的两种规律探索问题
类型一、数字类规律探索
例.观察：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，据此规律，当(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0时，代数式x2019﹣1的值为 _____．
【答案】0或﹣2
【详解】解：根据题意得∶ (x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，
(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，
(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，
……
∴(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝x6﹣1
∵(x﹣1)(x5+x4+x3+x2+x+1)＝0，
∴x6﹣1＝0，
解得：x＝1或x＝﹣1，
则x2019﹣1＝0或﹣2，
故答案为：0或﹣2．
【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为，－1的差倒数为，已知，是差倒数，是差倒数，是差倒数，以此类推……，的值是( )
A．5B．C．D．
【答案】B
【解析】∵ ， 是的差倒数，∴，
∵是的差倒数，是的差倒数，∴，∴，
根据规律可得以，，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以．
故选B．
【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．
【答案】0 1
【解析】由题意得：第3个数是，
第4个数是，第5个数是，第6个数是，
则前6个数的和是，
第7个数是，第8个数是，
归纳类推得：这2021个数是按循环往复的，
，且前6个数的和是0，
这2021个数的和与前5个数的和相等，即为，
故答案为：0，1．
【变式训练3】有一列数，…，那么第n个数为______．
【答案】
【详解】解：，，，
，，……
由此发现：第n个数为．
故答案为：
【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______．
【答案】
【详解】解：根据题意，
=，
∴的展开式中从左起第三项为，
故答案为：．
类型二、图形类规律探索
例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点．
【答案】 6
【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即；
三条直线相交最多有3个交点，即；四条直线相交最多有6个交点，即，
五条直线相交最多有10个交点，即，……
∴n条直线两两相交，最多有个交点(n为正整数，且n≥2)．
故答案为6；．
【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．
【答案】9
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，6=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……
照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=n(1+n)个小球，
∴n(1+n)=45，
解得n=9或-10(舍去)，
故答案为：9．
【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．
【答案】10
【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，
∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，
∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．
故答案为：10．
【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第层含有正三角形个数为___个．
【答案】114
【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，
第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，
依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，
则第n层中含有正三角形个数是6+12×(n-1)=个，
故答案为：114，．
【变式训练4】观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．
【答案】2021
【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯
第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，
∵，
∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，
故答案为：2021．
课后训练
1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为( )
A．99B．100C．101D．102
【答案】B
【详解】
解：观察图形知：
第一个图中有3=1+2×1个正方形，
第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，
第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，
…
故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201(个)正方形，
解得n=100
故选B．
2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第( )颗棋子．
A．85B．86C．87D．88
【答案】B【详解】偶数列数与排数表：
∴当n=16时，排数为：，
∴前16列共有棋子：(颗)，
∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．
故选B．
3．将一正方形按如图方式分成个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则的值为( )
A．12B．16C．18D．20
【答案】C
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，
根据题意得，2a+2b=3a， 整理得，a=2b，
∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=(3×2b)÷b=6，
∴n=3×2+6×2=6+12=18．
故选：C．
4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图(1)就是一个幻方．图(2)是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【详解】
解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，
∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，
∴x+y=3z-24=12
故选：D．
5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．
【答案】16 674
【详解】 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，
第n行的最后一个数字为：，
第6行最后一个数字为：；，解得：，
故答案为：16,674．
6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中，，则的值为________．
【答案】
【详解】解：∵1×(2+1)=3，3×(4+1)=15，5×(6+1)=35，
∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×(左下圆圈内的数+1)，∴M=m(n+1)，
∴M=11×(12+1)=143．
故答案为：143．
7．为了求的值，可令，则，因此，所以按照以上推理计算出的值是______．
【答案】
【详解】解：令，
则，
因此，则，得：，
所以．
故答案为：．
8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐(其中□代表桌子，〇代表座位)，则拼接n(n为正整数)张桌子时，最多可就坐_____人．
【答案】(6n+2)
【详解】
解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐(2+6)人．
拼2张桌子，可以坐[2+(6×2)]人．
拼3张桌子，可以坐[2+(6×3)]人．
…
拼接n(n为正整数)张桌子，可以坐(6n+2)人．
故答案是：(6n+2)．
9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
2012年8月
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【答案】(1)，符合；(2)；(3)见解析
【详解】解：(1)由题意得：
，符合；
(2)；
答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；
(3)设上边第一个数为x，则其后的数为(x+1)，第二行的两个数分别为(x+7)，(x+8)，
根据题意，得．
10．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
(2)完成下表：
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
【答案】(1)第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；(2)1，7，19，37，61；(3)
【详解】(1)观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
(2)将(1)算出的结果填入下列表格，如下表所示，
(3)结合(1)(2)可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．
(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；
(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．
【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析
(2)m的值为9909或2110或6422
【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：
∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；
∵6=4+2，，∴2642不是“筋斗数”；
(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数
∵是“筋斗数”，
∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；
∴m=1000(2b+a)+100(a+b)+10b+a=1100a+110b+2000b+a
∵与13的和能被11整除，
∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，
∵2b+a≤9且a、b为整数，∴b≤4.5
∵1100a+110b能被11整除，
∴2000b+a+13能被11整除，
∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，
∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10(舍去)或a+b=10，2b+a=14(舍去)，∴的值为9909或2110或6422
12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图(2)，再设计一个能求：的值的几何图形．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)见解析
【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ，
的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ，
；
②设 ，
，
，即，；
(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去，
则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：
偶数列数
排数
2
2
4
3
6
4
8
5
…
…
n
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
每个图中小圆圈的总数
1
7
19
37
61
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