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山东省青岛重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(无答案)
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这是一份山东省青岛重点中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了02，5mm）写在答题纸上等内容，欢迎下载使用。
2024.02
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题。共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．第Ⅰ卷共3页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。第Ⅱ卷共3页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上。
3．试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
3．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．的焦点到渐近线的距离为2B．
C．的实轴长为6D．的离心率为
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．“回文联”是对联中的一种，既可顺读。也可倒读。比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．648个B．720个C．810个D．891个
7．已知点在圆上，点，满足的点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知函数有两个不同的点，符号表示不超过的最大整数，如，则下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围为
B．
C．
D．若，则的取值范围为
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．对任意正整数
C．数列一定是等差数列D．数列一定是等比数列
11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在菱形中，为的中点．则的值是______．
13．设复数满足，则______．
14．椭圆的右焦点关于直线䄪对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）在中，内角所对的边分别为，若．
（1）求；
（2）若为的中点，且，求的面积．
16．（15分）如图，三棱柱中，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角为45°，D为的中点，求：二面角的余弦值．
17．（15分）习近平总书记在全国教育大会上提出“培养德智体关芳全面发展的社会主义建设者和接班人”，某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．
（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下表数据：
经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？
（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：（其中）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
18．（17分）
已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与的一个交点．
（1）求双曲线和抛物线的方程；
（2）过双曲线上一点作抛物线的切线，切点分别为．求面积的取值范围．
19．（17分）已知函数．
（1）若对时，，求正实数的最大值；
（2）证明：；
（3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由．
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
990
990
450
320
300
240
210
1845
0.37
0.55
2024.02
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题。共90分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．第Ⅰ卷共3页，请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上。第Ⅱ卷共3页，将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上。
3．试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
3．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．的焦点到渐近线的距离为2B．
C．的实轴长为6D．的离心率为
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．“回文联”是对联中的一种，既可顺读。也可倒读。比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天．由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142，则所有5位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ）
A．648个B．720个C．810个D．891个
7．已知点在圆上，点，满足的点的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
8．已知函数有两个不同的点，符号表示不超过的最大整数，如，则下列结论正确的是（ ）
A．a的取值范围为
B．
C．
D．若，则的取值范围为
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等差数列B．对任意正整数
C．数列一定是等差数列D．数列一定是等比数列
11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，在菱形中，为的中点．则的值是______．
13．设复数满足，则______．
14．椭圆的右焦点关于直线䄪对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）在中，内角所对的边分别为，若．
（1）求；
（2）若为的中点，且，求的面积．
16．（15分）如图，三棱柱中，，平面平面．
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成角为45°，D为的中点，求：二面角的余弦值．
17．（15分）习近平总书记在全国教育大会上提出“培养德智体关芳全面发展的社会主义建设者和接班人”，某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．
（1）赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y（秒）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下表数据：
经研究发现，可用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？
（2）小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：（其中）
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
18．（17分）
已知双曲线的实轴长为2．点是抛物线的准线与的一个交点．
（1）求双曲线和抛物线的方程；
（2）过双曲线上一点作抛物线的切线，切点分别为．求面积的取值范围．
19．（17分）已知函数．
（1）若对时，，求正实数的最大值；
（2）证明：；
（3）若函数的最小值为，试判断方程实数根的个数，并说明理由．
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
990
990
450
320
300
240
210
1845
0.37
0.55
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