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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题 （全国通用），文件包含专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题原卷版docx、专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案．
【详解】∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴．
∵，BC＝4，
∴．
∵MA＝MC，
∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；
【详解】解：∵是的中垂线，
∴，
∴为等腰三角形，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵DE⊥AB，FG⊥DE
∴，
∴，
∴△CFG为等边三角形，故②正确；
∵，
若△FDC为等腰三角形，则：△FDC为等边三角形，
∵△CFG为等边三角形，
∴△FDC不可能为等腰三角形，故③错误；
综上正确的个数有2个；
故选C．
【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法．
3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
【答案】B
【分析】当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，可得△BPD为等边三角形，可得AP＝BP＝AB，当AP＝AD时，勾股定理求得AD即可求解．
【详解】解：当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，
∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，
∵AP＝DP，
∴∠ADP＝∠BAD＝30°，
∴∠BPD＝30°+30°＝60°，
∴△BPD为等边三角形，
∴BP＝DP，
∴AP＝BP＝AB＝1；
当AP＝AD时，
∵∠ADB＝90°，AB＝2，
∴AD＝，
∴AP＝．
当AD＝PD时，不合题意，
综上，AP的值为1或．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．
【详解】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°-40°-∠ADB，∠CDE=180°-40°-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=60°，故④错误；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（ ）
A．8个B．10个C．12个D．14个
【答案】A
【分析】分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察圆和垂直平分线与正方形边的交点个数即可．
【详解】解：∵在正方形ABCD中，AB＝4，
∴，
∵ EF＝2，
∴，
∴当时，点E，F在AC上，
如图，分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，
观察图象得：△PEF是等腰三角形时，P点最多有8个．
故选∶A
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确画出图形．
6．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；
②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或
以上结论正确是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
【答案】A
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④正确，即可求解．
【详解】解：连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），
∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB＋∠PCF＝180°，
∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；
∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，
则点P与点C重合，
此时∠CPD不存在，故②错误；
取AD的中点N，连接PN，如图所示：
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，
∴AN＝DE＝DN＝2，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，
∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，
∴△DPN≌△DGE（SAS），
∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，
∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，
∴EG有最小值为，故③正确；
∵AD＝CD＝4，
∴，
当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝，则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，
∴，故④正确；
综上分析可知，①③④正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【分析】先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长．
【详解】解：如图所示：
，且为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
设，
根据勾股定理，得，，
①，代入直线，
得，
解得，
，
②，代入直线，
得，
此方程无解．
综上所述：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
8．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质即可得到；
当时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
【详解】，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x.下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】（1）由平行四边形的性质即可求值；
（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（3）点P在AD上运动时，由相似三角形的判定与性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQ＝CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（4）以线段PQ为腰，则可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分情况求解即可．
【详解】解：（1）∵PD=x，BQ＝2DP，BC＝13，
∴QC=BC－BQ=13－2x，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，
∴x=13－2x，
∴PD＝x＝，故（1）正确；
（2）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，BQ＝2DP，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，故（2）正确；
（3）在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∵BC＝13，
∴EF＝，
又∵PD∥CG，
∴，
∴CG＝2PD.
∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．
作DN⊥BC，垂足为点N，过E作EM⊥BC于M，
∴EM∥DN，DN=AB=12，
∴△BEM∽△BDN，
∴，
∴EM＝8.
∴S四边形EFGQ＝，故（3）正确；
（4）作PH⊥BC，垂足为点H，则PH=AB=12，BH=AP=11－x，
（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，
∴2x+＝11﹣x，
解得x＝，
（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝，
解得x＝2或x＝，
综上，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或，故（4）正确，
∴正确的结论有4个．
故选：D．
【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用所学知识熟练求解是解答的关键．
二、填空题
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
【答案】8
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：8
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________
【答案】90°或108°
【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可．
【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝x，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，
∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，
△ADG为等腰三角形时，存在三种情况：
①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA，
即x+45°+x+45°+x＝180°，
x＝45°，
∴∠C＝90°，
②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD，
x＝45+x，
x＝90°，
∴∠C＝180°（不符合题意，舍去），
③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，
2x+45+x＝180， x＝54°，
∴∠C＝108°，
综上，∠C的度数为90°或108°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．
12．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
【答案】或
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面积为12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题
14．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)3cm
(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
（1）
解：∵在中，，，，
∴．
（2）
解：
当时，点与点重合，
∴，
即；
当时，如下图所示：
∴．
∵，
∴，
解得：．
综上：当为直角三角形时，或；
（3）
解：当时，如下图所示：
∵，
∴，
即．
当时，如下图所示：
∴；
当时，如下图所示：
则，，
在中，，
即，
解得： ．
综上：当为轴对称图形时，或或．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
15．如图，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
(1)=________cm；
(2)出发0.5秒后，求的周长；
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一动点Q，从点C出发，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)4
(2)()cm
(3)或3或
(4)2
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案．
（2）根据路程=速度×时间求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
（3）分三种情况进行讨论，①，②，③，根据等腰三角形的性质分别列出方程即可求解．
（4）根据题意列出方程，解方程即可求解．
（1）
∵∠C=90°，=5cm，=3cm，
∴(cm)，
故答案为：4．
（2）
∵动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，
∴s时，cm．
∴cm
∴在Rt△ACP中，由勾股定理，得
(cm)
（3）
①当时，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得；
②当时，如图2，
则，解得；
③当时，如图3，作于点D，则cm，
由勾股定理，得cm，
∴cm，
∴，
解
综上所述，当t=或3或时，为等腰三角形；
（4）
由题意，得，解得，
即当时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质及判定、三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的判定与性质进行分类讨论是解决本题的关键．
16．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）．
(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？
(2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？
(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1），当时四边形是平行四边形，得，计算即可求出t；
（2）分二种情况进行讨论，①当为直角时，可证得四边形为矩形，得，即，计算即求出t；②当为直角时，，得，计算即可求出t；
（3）分三种情况进行讨论，①若，在中，，由，将各数据代入，可将t求出；②若，在中，，将各数据代入，可将t求出；③若，由得，将各数据代入，可将t求出．
（1）
解：如下图，
∵ ，
∴当时四边形是平行四边形，
由题意可知：，，
即 ，
解得：，
时，四边形BQDP是平行四边形；
（2）
解：如下图，作，
为锐角，
∴只能或者为直角，
，，
，t的范围为，
①当为直角时，
∵ ，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
②当为直角时，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述，或时，以B、D、P为顶点的三角形是直角三角形；
（3）
解：如下图：
由上图可知，，若以B、 P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，
由得，解得；
②若，在中，，
由得，即 ，
此时，，
所以此方程无解，
∴，
③若，由得得（不符合题意，舍去），
综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
(1)当t＝2时，CD＝ ；AD＝ ；
(2)当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
【答案】(1)
(2)或或9秒．
【分析】（1）先由勾股定理求解的长，再由速度乘以时间可得 从而可得的长度；
（2）分三种情况讨论：①当CD=BC时，CD=15，②当CD=BD时，③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，结合等腰三角形的性质可得答案．
（1）
解：Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，
∴
∵由题意可得：
∴
当t=2时，CD=4,DA=21.
故答案为：
（2）
①当CD=BC时，CD=15，
∴；
②当CD=BD时，如图，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=，
∴；
③当BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF； 则CF=DF，
∴
∴
∴CD=2CF=9×2=18，
∴t=18÷2=9．
综上所述，t=或或9秒时，△CBD是等腰三角形．
故答案为：或或9秒．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
（1）
解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）
解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
19．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．
(1)如图1，如果，求的值；
(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长．
【答案】(1)0.09
(2)或
(3)
【分析】（1）先证明，求出，再证明，利用面积比等于相似比的平方即可得解；
（2）分当点E在线段上和当点E在线段的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和线段的转化，得到，再利用，列比例式求解即可；
（3）证明，，得到，设，，根据，求出，再代入到即可得解．
（1）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
当点E在线段上，
∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
设，
由（1）得，，
∴，
∴，
解得，；
则的长是为；
当点E在线段的延长线上时，如图2，
∵是等腰三角形，
由(1）可知：，
综上所述：为或；
（3）
由（1）得，，
∵，
∴，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过已知条件推出三角形相似，利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）．
(1)填空：_____，______．
(2)若动点满足与相似，求直线的解析式．
(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)，，，
【分析】（1）根据边、（）的长分别是方程的两个根，即可得到，；
（2）分两种情况：和，由相似三角形的对应边成比例求得点的坐标，由待定系数法求得直线的解析式；
（3）在没有指明等腰三角形的哪一边为腰时，需要分类讨论．根据是等腰三角形，分种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点的坐标．
（1）
解：∵，
∴，
∴，，
∵、（）的长分别是方程的两个根，
∴，，
故答案是：；．
（2）
解：若，
则，即
∴；
若，可得（与题意不符，舍去）
设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为：．
（3）
解：如图所示，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为，，，．
理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
根据是等腰三角形，分种情况讨论
①当时，点的坐标为；
②当，过作轴的垂线，垂足为，则，是等腰直角三角形，
∴点的坐标为；
③当时，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，
点的坐标为；
④当时，，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，
点坐标为，
综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，，，．
故答案是：，，，．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当△PAD是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．
21．如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，，，点D是的中点．
(1)___________；点D的坐标为___________；
(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；
(3)如图2．点P为线段上一动点（含线段端点），连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，当成为以为底的等腰三角形时，直接写出Q点的横坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）在中，解直角三角形求出即可求出点C坐标，再根据中点定义求出点D坐标；
（2）分两种情况讨论：①当梯形的面积与梯形的面积之比是时，②当梯形的面积与梯形的面积之比是时；分别求解即可；
（3）当点P在线段上运动时，点Q在线段上运动，根据等边三角形性质求出点M、N坐标，从而可求得直线的解析式为，取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，求得直线解析式为，然后联立两解析式，求得两直线交点横坐标即可．
（1）
解：如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；．
（2）
解：如图1中，设．
分两种情况讨论：①当梯形的面积与梯形的面积之比是时，
由题意，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当梯形的面积与梯形的面积之比是时，，
∴，
，
解得：；
∴；
综上，点E坐标或；
（3）
解：如图，当点P与点B重合时，点Q在点M处，当点P与点A重合时，点Q在点N处，当点P在线段上运动时，点Q在线段． 运动，如图，
∵等边，，
∴，
同理 ，
∴直线的解析式为：，
取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，
则，，
∴直线解析式为：，
∵是以为底的等腰三角形，
∴点Q是直线与直线的交点，
联立直线与直线的解析式，得
，
解得：，
∴点Q的横坐标为．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，待定系数法求一欠函数解析式，两直线交点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，本题综合性较强，属中考压轴题目．
22．如图，在直角坐标平面内有点，点分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，交于点．
(1)求证：为定值；
(2)若与相似，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)为或或
【分析】（1）过点N作轴于点H，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN：NP为定值．
（2）当与相似时，当点M在上时，只可能是，所以所以 ， 所以，，即；当点M在上时，只可能是，所以，根据题意可以判定不成立，所以．
（3）由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即三种情况进行讨论．
（1）
证明：过点N作轴于点H，
∵，
∴
∴
设，得：
①当点M在上时，点N在线段上时：
∴
∴，
∵，
∴，
②当点M在上时，点N在线段的延长线上时：
∴，
∵，
∴；
∴为定值．
（2）
当与相似时：
①当点M在上时，只可能是，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴，
解得：
②当点M在上时，只可能是，
∴，
∵
∴
∵
∴，矛盾，
∴不成立；
综上所述：的长为．
（3）
∵
∴
∴或
∴
①当点M在上时，，
（ⅰ）当时，
∴
解得：，
∴，
（ⅱ）当时，则，
∵，矛盾，
∴不成立；
（ⅲ）当时，则，
∵
∴
∴，
∴
∴△MNA为等腰三角形，
∴，
∴，
∴
②当点M在上时，
（ⅰ）当时，
∴，
解得
（ⅱ）当或时，
∵，∴不成立．
综上：当为等腰三角形时，为或或
【点睛】本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形--分析图形--数形结合--解决问题，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，难度较大．
23．如图1，在等腰中，，点E，F分别为的中点，H为线段上一动点（不与点E，F重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，连接．
(1)证明：；
(2)如图2，连接交于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有；
②若，当EH的长度为多少时，为等腰三角形？
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析，②或2．
【分析】（1）由，可得，进而命题得证；
（2）①同理(1)可得，从而得出，进而命题得证；
②分为三种情形分析：当时，得出，从而得出H是的中点；当时，得出，当时，点H和点F重合，从而得出结果．
（1）
证明：∵
即：
在中，
∴
（2）
①证明：∵点E，F分别为的中点
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形
同理(1)可得：
∴
∴
即：
②解：当时，
∴
∵=2
∴
∴
当时，
∴
∴
∴
∴
当时，
∴
此时点H与点F重合，不符合题意
∴或2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
特点
等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图 1，如果 AB＝AC，直接列方程；
②如图 2，如果 BA＝BC，那么 1/2 AC＝AB cs ∠A ；
③如图 3，如果 CA＝CB，那么 1/2 AB＝AC cs ∠A ．
图 1 图 2 图 3
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
结论
等腰三角形的性质并能灵活应用
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案．
【详解】∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称．
连接AD，与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小时的位置．
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴．
∵，BC＝4，
∴．
∵MA＝MC，
∴△CDM的周长＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解题的关键．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；
【详解】解：∵是的中垂线，
∴，
∴为等腰三角形，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵DE⊥AB，FG⊥DE
∴，
∴，
∴△CFG为等边三角形，故②正确；
∵，
若△FDC为等腰三角形，则：△FDC为等边三角形，
∵△CFG为等边三角形，
∴△FDC不可能为等腰三角形，故③错误；
综上正确的个数有2个；
故选C．
【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握相关性质和判定方法．
3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
【答案】B
【分析】当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，可得△BPD为等边三角形，可得AP＝BP＝AB，当AP＝AD时，勾股定理求得AD即可求解．
【详解】解：当AP＝PD时，P点在AD的垂直平分线上，
∵△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，
∵AP＝DP，
∴∠ADP＝∠BAD＝30°，
∴∠BPD＝30°+30°＝60°，
∴△BPD为等边三角形，
∴BP＝DP，
∴AP＝BP＝AB＝1；
当AP＝AD时，
∵∠ADB＝90°，AB＝2，
∴AD＝，
∴AP＝．
当AD＝PD时，不合题意，
综上，AP的值为1或．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD=60°，故④错误．
【详解】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°-40°-∠ADB，∠CDE=180°-40°-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=60°，故④错误；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（ ）
A．8个B．10个C．12个D．14个
【答案】A
【分析】分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察圆和垂直平分线与正方形边的交点个数即可．
【详解】解：∵在正方形ABCD中，AB＝4，
∴，
∵ EF＝2，
∴，
∴当时，点E，F在AC上，
如图，分别以E、F为圆心，EF的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，
观察图象得：△PEF是等腰三角形时，P点最多有8个．
故选∶A
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确画出图形．
6．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；
②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或
以上结论正确是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
【答案】A
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①正确；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②错误；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④正确，即可求解．
【详解】解：连接CF，过点P作PH⊥PC交CD于H，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），
∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB＋∠PCF＝180°，
∴点B，点C，点F三点共线，故①正确；
∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，
则点P与点C重合，
此时∠CPD不存在，故②错误；
取AD的中点N，连接PN，如图所示：
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，
∴AN＝DE＝DN＝2，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，
∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，
∴△DPN≌△DGE（SAS），
∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，
∴当NP⊥AC时，NP有最小值为，
∴EG有最小值为，故③正确；
∵AD＝CD＝4，
∴，
当点P是AC中点时，AP＝PD＝PC＝，则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝4时，△PCD是等腰三角形，
∴，故④正确；
综上分析可知，①③④正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（ ）
A．或B．C．或D．
【答案】D
【分析】先根据，且为等腰三角形，可知为等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，设，表示出点坐标，代入直线解析式，求出的值，即可求出的长．
【详解】解：如图所示：
，且为等腰三角形，
为等腰直角三角形，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
设，
根据勾股定理，得，，
①，代入直线，
得，
解得，
，
②，代入直线，
得，
此方程无解．
综上所述：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
8．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质即可得到；
当时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
【详解】，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x.下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】（1）由平行四边形的性质即可求值；
（2）由平行线分线段成比例即可求解其比值；
（3）点P在AD上运动时，由相似三角形的判定与性质可得EF与QG的比始终是1：3，且BQ＝CG，所以其面积为定值，进而求出其面积即可；
（4）以线段PQ为腰，则可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分情况求解即可．
【详解】解：（1）∵PD=x，BQ＝2DP，BC＝13，
∴QC=BC－BQ=13－2x，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，
∴x=13－2x，
∴PD＝x＝，故（1）正确；
（2）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，BQ＝2DP，
∴，
∵EF∥BC，
∴，
∴，故（2）正确；
（3）在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
∵BC＝13，
∴EF＝，
又∵PD∥CG，
∴，
∴CG＝2PD.
∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．
作DN⊥BC，垂足为点N，过E作EM⊥BC于M，
∴EM∥DN，DN=AB=12，
∴△BEM∽△BDN，
∴，
∴EM＝8.
∴S四边形EFGQ＝，故（3）正确；
（4）作PH⊥BC，垂足为点H，则PH=AB=12，BH=AP=11－x，
（i）当PQ＝PG时，QH＝GH＝QG＝，
∴2x+＝11﹣x，
解得x＝，
（ii）当PQ＝GQ时，PQ＝，
解得x＝2或x＝，
综上，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为、2或，故（4）正确，
∴正确的结论有4个．
故选：D．
【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用所学知识熟练求解是解答的关键．
二、填空题
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
【答案】8
【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：8
【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________
【答案】90°或108°
【分析】设∠ADB＝x，则∠C＝2x，从而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三种情况：①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA；②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD；③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，分别求解即可．
【详解】解：设∠ADB＝x，则∠C＝2x，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝x，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，
∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，
△ADG为等腰三角形时，存在三种情况：
①当AD＝DG时，∠DAG＝∠DGA，
即x+45°+x+45°+x＝180°，
x＝45°，
∴∠C＝90°，
②当AD＝AG时，∠ADG＝∠AGD，
x＝45+x，
x＝90°，
∴∠C＝180°（不符合题意，舍去），
③当AG＝DG时，∠GAD＝∠ADG＝x，
2x+45+x＝180， x＝54°，
∴∠C＝108°，
综上，∠C的度数为90°或108°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．
12．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
【答案】或
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
【答案】8
【分析】连接AD，AM，根据等腰三角形的性质可知AD垂直BC，则根据△ABC的面积即可求出AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，最小为AD的长，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面积为12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即当A，M，D三点共线时，BM＋MD的值最小，
∴AD的长为BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
三、解答题
14．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】(1)3cm
(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
（1）
解：∵在中，，，，
∴．
（2）
解：
当时，点与点重合，
∴，
即；
当时，如下图所示：
∴．
∵，
∴，
解得：．
综上：当为直角三角形时，或；
（3）
解：当时，如下图所示：
∵，
∴，
即．
当时，如下图所示：
∴；
当时，如下图所示：
则，，
在中，，
即，
解得： ．
综上：当为轴对称图形时，或或．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
15．如图，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
(1)=________cm；
(2)出发0.5秒后，求的周长；
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一动点Q，从点C出发，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
【答案】(1)4
(2)()cm
(3)或3或
(4)2
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案．
（2）根据路程=速度×时间求出、的长，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
（3）分三种情况进行讨论，①，②，③，根据等腰三角形的性质分别列出方程即可求解．
（4）根据题意列出方程，解方程即可求解．
（1）
∵∠C=90°，=5cm，=3cm，
∴(cm)，
故答案为：4．
（2）
∵动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，
∴s时，cm．
∴cm
∴在Rt△ACP中，由勾股定理，得
(cm)
（3）
①当时，如图1，则，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
解得；
②当时，如图2，
则，解得；
③当时，如图3，作于点D，则cm，
由勾股定理，得cm，
∴cm，
∴，
解
综上所述，当t=或3或时，为等腰三角形；
（4）
由题意，得，解得，
即当时，直线把的周长分成相等的两部分．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质及判定、三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的判定与性质进行分类讨论是解决本题的关键．
16．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）．
(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？
(2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？
(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1），当时四边形是平行四边形，得，计算即可求出t；
（2）分二种情况进行讨论，①当为直角时，可证得四边形为矩形，得，即，计算即求出t；②当为直角时，，得，计算即可求出t；
（3）分三种情况进行讨论，①若，在中，，由，将各数据代入，可将t求出；②若，在中，，将各数据代入，可将t求出；③若，由得，将各数据代入，可将t求出．
（1）
解：如下图，
∵ ，
∴当时四边形是平行四边形，
由题意可知：，，
即 ，
解得：，
时，四边形BQDP是平行四边形；
（2）
解：如下图，作，
为锐角，
∴只能或者为直角，
，，
，t的范围为，
①当为直角时，
∵ ，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
②当为直角时，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述，或时，以B、D、P为顶点的三角形是直角三角形；
（3）
解：如下图：
由上图可知，，若以B、 P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，
由得，解得；
②若，在中，，
由得，即 ，
此时，，
所以此方程无解，
∴，
③若，由得得（不符合题意，舍去），
综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
(1)当t＝2时，CD＝ ；AD＝ ；
(2)当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
【答案】(1)
(2)或或9秒．
【分析】（1）先由勾股定理求解的长，再由速度乘以时间可得 从而可得的长度；
（2）分三种情况讨论：①当CD=BC时，CD=15，②当CD=BD时，③当BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，结合等腰三角形的性质可得答案．
（1）
解：Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，
∴
∵由题意可得：
∴
当t=2时，CD=4,DA=21.
故答案为：
（2）
①当CD=BC时，CD=15，
∴；
②当CD=BD时，如图，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠A=∠DBA，
∴BD=AD，
∴CD=AD=，
∴；
③当BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF； 则CF=DF，
∴
∴
∴CD=2CF=9×2=18，
∴t=18÷2=9．
综上所述，t=或或9秒时，△CBD是等腰三角形．
故答案为：或或9秒．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①；②存在的值，使为等腰三角形，的值为或或4
【分析】（1）将点代入，求出m的值，再将确定的点C代入中，即可求b的值；
（2）①由题意可知P点的坐标为，则，再由，求出t的值即可；
②由①分别求出，再根据等腰三角形的边的关系分三种情况建立方程，求出t的值即可．
（1）
解：将点代入，
∴，
∵直线过点C，
∴，
解得；
（2）
解：①∵，
∴直线解析式为，
∴，
直线与x轴交点A为，与y轴交点B，
由题意可知P点的坐标为，
∴，
∴，
解得；
②存在t的值，使为等腰三角形，理由如下：
∵A，，P，
∴，
当时，，
解得或；
当时，，
解得（舍或（舍；
当时，，
解得；
综上所述：的值为或或4．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
19．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．
(1)如图1，如果，求的值；
(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长．
【答案】(1)0.09
(2)或
(3)
【分析】（1）先证明，求出，再证明，利用面积比等于相似比的平方即可得解；
（2）分当点E在线段上和当点E在线段的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形的性质和线段的转化，得到，再利用，列比例式求解即可；
（3）证明，，得到，设，，根据，求出，再代入到即可得解．
（1）
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
当点E在线段上，
∵ 是以为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
设，
由（1）得，，
∴，
∴，
解得，；
则的长是为；
当点E在线段的延长线上时，如图2，
∵是等腰三角形，
由(1）可知：，
综上所述：为或；
（3）
由（1）得，，
∵，
∴，
∴A、B、O、E四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴
∴，
解得，，（舍去），
则的长是为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过已知条件推出三角形相似，利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）．
(1)填空：_____，______．
(2)若动点满足与相似，求直线的解析式．
(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)，，，
【分析】（1）根据边、（）的长分别是方程的两个根，即可得到，；
（2）分两种情况：和，由相似三角形的对应边成比例求得点的坐标，由待定系数法求得直线的解析式；
（3）在没有指明等腰三角形的哪一边为腰时，需要分类讨论．根据是等腰三角形，分种情况讨论：当时，当时，当时，当时，分别根据等腰直角三角形的性质，求得点的坐标．
（1）
解：∵，
∴，
∴，，
∵、（）的长分别是方程的两个根，
∴，，
故答案是：；．
（2）
解：若，
则，即
∴；
若，可得（与题意不符，舍去）
设直线解析式为，则，
∴直线的解析式为：．
（3）
解：如图所示，
当是等腰直角三角形时，点的坐标为，，，．
理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
根据是等腰三角形，分种情况讨论
①当时，点的坐标为；
②当，过作轴的垂线，垂足为，则，是等腰直角三角形，
∴点的坐标为；
③当时，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，
点的坐标为；
④当时，，
过作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，，
点坐标为，
综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，，，．
故答案是：，，，．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系数法求一次函数解析式的综合应用，解题时注意：当△PAD是等腰三角形时，需要分情况讨论，解题时注意分类思想的运用．解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形．
21．如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，，，点D是的中点．
(1)___________；点D的坐标为___________；
(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；
(3)如图2．点P为线段上一动点（含线段端点），连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，当成为以为底的等腰三角形时，直接写出Q点的横坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）在中，解直角三角形求出即可求出点C坐标，再根据中点定义求出点D坐标；
（2）分两种情况讨论：①当梯形的面积与梯形的面积之比是时，②当梯形的面积与梯形的面积之比是时；分别求解即可；
（3）当点P在线段上运动时，点Q在线段上运动，根据等边三角形性质求出点M、N坐标，从而可求得直线的解析式为，取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，求得直线解析式为，然后联立两解析式，求得两直线交点横坐标即可．
（1）
解：如图1中，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；．
（2）
解：如图1中，设．
分两种情况讨论：①当梯形的面积与梯形的面积之比是时，
由题意，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当梯形的面积与梯形的面积之比是时，，
∴，
，
解得：；
∴；
综上，点E坐标或；
（3）
解：如图，当点P与点B重合时，点Q在点M处，当点P与点A重合时，点Q在点N处，当点P在线段上运动时，点Q在线段． 运动，如图，
∵等边，，
∴，
同理 ，
∴直线的解析式为：，
取中点E，过点E作垂线，交x轴于F，
则，，
∴直线解析式为：，
∵是以为底的等腰三角形，
∴点Q是直线与直线的交点，
联立直线与直线的解析式，得
，
解得：，
∴点Q的横坐标为．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，待定系数法求一欠函数解析式，两直线交点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，本题综合性较强，属中考压轴题目．
22．如图，在直角坐标平面内有点，点分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，交于点．
(1)求证：为定值；
(2)若与相似，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)为或或
【分析】（1）过点N作轴于点H，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN：NP为定值．
（2）当与相似时，当点M在上时，只可能是，所以所以 ， 所以，，即；当点M在上时，只可能是，所以，根据题意可以判定不成立，所以．
（3）由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即三种情况进行讨论．
（1）
证明：过点N作轴于点H，
∵，
∴
∴
设，得：
①当点M在上时，点N在线段上时：
∴
∴，
∵，
∴，
②当点M在上时，点N在线段的延长线上时：
∴，
∵，
∴；
∴为定值．
（2）
当与相似时：
①当点M在上时，只可能是，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴，
解得：
②当点M在上时，只可能是，
∴，
∵
∴
∵
∴，矛盾，
∴不成立；
综上所述：的长为．
（3）
∵
∴
∴或
∴
①当点M在上时，，
（ⅰ）当时，
∴
解得：，
∴，
（ⅱ）当时，则，
∵，矛盾，
∴不成立；
（ⅲ）当时，则，
∵
∴
∴，
∴
∴△MNA为等腰三角形，
∴，
∴，
∴
②当点M在上时，
（ⅰ）当时，
∴，
解得
（ⅱ）当或时，
∵，∴不成立．
综上：当为等腰三角形时，为或或
【点睛】本题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形--分析图形--数形结合--解决问题，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例的应用，难度较大．
23．如图1，在等腰中，，点E，F分别为的中点，H为线段上一动点（不与点E，F重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，连接．
(1)证明：；
(2)如图2，连接交于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有；
②若，当EH的长度为多少时，为等腰三角形？
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析，②或2．
【分析】（1）由，可得，进而命题得证；
（2）①同理(1)可得，从而得出，进而命题得证；
②分为三种情形分析：当时，得出，从而得出H是的中点；当时，得出，当时，点H和点F重合，从而得出结果．
（1）
证明：∵
即：
在中，
∴
（2）
①证明：∵点E，F分别为的中点
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形
同理(1)可得：
∴
∴
即：
②解：当时，
∴
∵=2
∴
∴
当时，
∴
∴
∴
∴
当时，
∴
此时点H与点F重合，不符合题意
∴或2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形分类等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．
特点
等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图 1，如果 AB＝AC，直接列方程；
②如图 2，如果 BA＝BC，那么 1/2 AC＝AB cs ∠A ；
③如图 3，如果 CA＝CB，那么 1/2 AB＝AC cs ∠A ．
图 1 图 2 图 3
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
结论
等腰三角形的性质并能灵活应用
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