山东省滨州市邹平市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份山东省滨州市邹平市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列体育图标中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. x4⋅x3=x12B. (a6)2÷(a4)3=a
C. (a3)2⋅a4=a10D. (ab2)3÷(−ab)2=−ab4
3.下列运算正确的是( )
A. (−2023)0=0B. 2023−1=−2023C. (−2)−2=−14D. (−2)−3=−18
4.下列各式化成最简二次根式正确的是( )
A. 2449= 247B. 35=5 15C. 47=2 7D. 0.3= 3010
5.下列说法正确的是( )
A. 根据分式的基本性质，ba可化为bmamB. 分式m2−1m2+1是最简分式
C. 若分式x2x−3有意义，则x>0D. 若x2−9x+3=0，则x=±3
6.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是
( )
A. M点B. N点C. P点D. Q点
7.下列分解因式中，不正确的是( )
A. a2+2ab+1=(a+b)2B. a2−b2=(a+b)(a−b)
C. a2+ab2=a(a+b2)D. a2+4ab+4b2=(a+2b)2
8.下列各式计算正确的是( )
A. (−2)2=−2B. 5 2−3 2=2C. 3− 2=1D. 12÷ 3=2
9.下面图形能够验证勾股定理的有( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，AB=AC，若要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不能是( )
A. ∠B=∠CB. BE=CD
C. BD=CED. ∠ADC=∠AEB
11.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，且△ABC面积是24，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
12.如图，钓鱼竿AB的长为5.4米，露在水面上的鱼线BC长为1.8米.当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB′的位置时，露在水面上的鱼线B′C′长为4.2米，则CC′的长为( )
A. 2米
B. 2 2米
C. 6 25米
D. 9 25米
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.若代数式 5−x− 2x−6有意义，则实数x的取值范围是______．
14.已知：m−1m=3，则m2+1m2= ______．
15.化简：x2−2x+12x+2÷(3x−1x+1−1)= ______．
16.若一个三角形的三边长为3、x、5，则使此三角形是直角三角形的x的值是______．
17.如图，东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北分别有C，D两个棉花种植场，其中CA=24千米，DB=18千米，在铁路AB上有一个棉花加工厂E，棉花种植场C，D到E的距离相等，且AC=BE，则CE= ______千米．
18.如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G.如果测得∠GEC=36°，那么∠ADF= ______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1) 54÷ 3× 13−( 12× 12− 48)；
(2) 125− 45 0.2−( 5−1)2．
20.(本小题10分)
某公司研发6000件新产品，需要甲、乙两个工厂精加工后才能投放市场.已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，而乙工厂每天加工的件数是甲工厂每天加工件数的1.5倍，问甲厂、乙厂每天各加工多少件新产品？
21.(本小题10分)
在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：4a2−9+b2−4ab；
(2)若a−b=−5，b−c=3，求式子ab−bc+ac−a2的值．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE/​/BC交BD的延长线于点E.若F是DE上的一点，且BF=DE，求证：AD=AF．
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD是BC边上的中线，作CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M．
(1)求证：△ADF是等边三角形；
(2)若AB=12，求线段MF的长．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=20cm.动点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t=4时，求△BPC的面积；
(2)若AP平分∠CAB，求t的值；
(3)若点P运动到边AB上，且使得CP=AC，求t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、x4⋅x3=x7，原计算错误，不符合题意；
B、(a6)2÷(a4)3=a12÷a12=1，原计算错误，不符合题意；
C、(a3)2⋅a4=a6⋅a4=a10，正确，符合题意；
D、(ab2)3÷(−ab)2=a3b6÷a2b2=ab4，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式等计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘除法指数是相加减，积的乘方和幂的乘方指数是相乘．
3.【答案】D
【解析】解：A、(−2023)0=1，故A不符合题意；
B、2023−1=12023，故B不符合题意；
C、(−2)−2=14，故C不符合题意；
D、(−2)−3=−18，故D符合题意；
故选：D．
根据负整数指数幂，零指数幂进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、 2449=2 67，原式化简错误，不符合题意；
B、 35= 155，原式化简错误，不符合题意；
C、 47=2 77，原式化简错误，不符合题意；
D、 0.3= 3010，原式化简正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的性质进行求解即可．
本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A.当m=0时，由ba不能推出bmam，故本选项不符合题意；
B.分式m2−1m2+1是最简根式，故本选项符合题意；
C.要使分式x2x−3有意义，必须x−3≠0，即x≠3，故本选项不符合题意；
D.∵x2−9x+3=0，
∴x2−9=0且x+3≠0，
∴x=3，故本选项不符合题意．
故选：B．
根据分式的基本性质，最简分式的定义，分式有意义的条件和分式的值为零逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，最简分式的定义，分式有意义的条件和分式的值为零等知识点，注意：①分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的数，分式的值不变，②分式的分子和分母除1以外再没有其它的公因式叫最简分式，③已知A、B都是整式，如果AB中分母B≠0，那么分式有意义．
6.【答案】A
【解析】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．
故选A．
根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A、a2+2ab+b2=(a+b)2，故A符合题意；
B、a2−b2=(a+b)(a−b)，故B不符合题意；
C、a2+ab2=a(a+b2)，故C不符合题意；
D、a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故D不符合题意；
故选：A．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8.【答案】D
【解析】解：A． (−2)2=2，所以A选项不符合题意；
B.5 2−3 2=2 2，所以B选项不符合题意；
C. 3与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. 12÷ 3= 12÷3= 4=2，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B、C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键．
利用面积法证明勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：第一个图形：中间小正方形的面积c2=(a+b)2−4×12ab；化简得c2=a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积(b−a)2=c2−4×12ab；化简得a2+b2=c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积=12(a+b)(a+b)=2×12×ab+12c2，化简得a2+b2=c2；可以证明勾股定理．
故能够验证勾股定理的有3个．
故选：D．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.已知条件AB=AC，还有公共角∠A，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、添加∠B=∠C可利用ASA定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加BE=CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
C、添加BD=CE可得AD=AE，可利用SAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠ADC=∠AEB可利用AAS定理判定△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
故选B．
11.【答案】C
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=24，解得AD=8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=8+3=11．
故选：C．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由题意可知，AB′=AB=5.4米，BC=1.8米，B′C′=4.2米，
在Rt△ABC和Rt△AB′C′中，由勾股定理得：AC= AB2−BC2= 5．42−1．82=18 25(米)，AC′= AB′2−B′C′2= 5．42−4．22=12 25(米)，
∴CC′=AC−AC′=18 25−12 25=6 25(米)，
故选：C．
直接利用勾股定理求出AC、AC′的长，即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC和AC′的长是解题的关键．
13.【答案】3≤x≤5
【解析】解：若代数式 5−x− 2x−6有意义，则：5−x≥02x−6≥0．
解得3≤x≤5．
故答案为：3≤x≤5．
要使代数式 5−x− 2x−6有意义，则二次根式的被开方数大于等于0．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14.【答案】11
【解析】解：m−1m=3，，
∴(m−1m)2=9，
∴m2−2m⋅1m+1 m2=9，
则m2+1m2=9+2=11，
故答案为：11．
首先由m+1m=3，两边平方，运用完全平方公式计算即得答案．
此题考查的知识点是完全平方公式，关键是已知等式两边平方，运用完全平方公式计算．
15.【答案】x−14
【解析】解：原式=(x−1)22( x+1)÷3x−1−x−1x+1
=(x−1)22(x+1)⋅x+12(x−1)
=x−14；
故答案为：x−14．
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式基本性质把分式化简．
16.【答案】4或 34
【解析】解：当5是直角三角形的斜边时，32+x2=52，解得x=4；
当5是直角三角形的直角边时，32+52=x2，解得x= 34．
故使此三角形是直角三角形的x的值是4或 34．
故答案为：4或 34．
由于直角三角形的斜边不能确定，故应分5是斜边或直角边两种情况进行讨论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
17.【答案】30
【解析】解：由题意知，∠A=∠B=90°，AC=BE=24千米，CE=ED，DB=18千米．
在Rt△ACE与Rt△BED中，
CE=EDAC=BE，
∴Rt△ACE≌Rt△BED(HL)，
∴AE=BD=18千米，
∴CE= AC2+AE2= 242+182=30(千米)，
故答案为：30．
由HL证得Rt△ACE≌Rt△BED，则其对应边相等得出AE=BD=18千米，根据勾股定理求解即可．
本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
18.【答案】84°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠GEC=36°，
∴∠BEG=180°−∠GEC=180°−36°=144°，
由翻折的性质得：∠BED=∠GED，∠BDE=∠FDE，
∴∠BED=12∠BEG=12×144°=72°，
∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−60°−72°=48°，
∴∠BDE=∠FDE=48°，
∴∠BDF=∠BDE+∠FDE=96°，
∴∠ADF=180°−∠BDF=180°−96°=84°．
故答案为：84°．
首先根据等边三角形的性质得∠B=60°，再根据∠GEC=36°得∠BEG=144°，由翻折的性质得∠BED=∠GED=12∠BEG=72°，∠BDE=∠FDE，然后根据三角形的内角和定理可得∠BDE=∠FDE=48°，则∠BDF=96°，最后根据邻补角的定义可得∠ADF的度数．
此题主要考查了图形的翻折及其性质，等边三角形的性质，熟练掌握图形的翻折及其性质，理解等边三角形的三个内角都等于60°是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式= 54×13×13−( 12×12−4 3)
= 6− 6+4 3
=4 3；
(2)原式=5 5−3 5 55−(5−2 5+1)
=10−6+2 5
=4+2 5．
【解析】(1)先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后把 48化简后合并即可；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的除法法则和完全平方公式计算，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工1.5x件新产品，
由题意得：6000x−60001.5x=25，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×80=120，
答：甲工厂每天加工80件新产品，乙工厂每天加工120件新产品．
【解析】设甲工厂每天加工x件新产品，则乙工厂每天加工1.5x件新产品，根据甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用25天，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)4a2−9+b2−4ab
=(4a2−4ab+b2)−9
=(2a−b)2−32
=(2a−b−3)(2a−b+3)；
(2)ab−bc+ac−a2
=(ab−bc)+(ac−a2)
=b(a−c)+a(c−a)
=b(a−c)−a(a−c)
=(a−c)(b−a)，
∵a−b=−5，b−c=3，
∴a−c=−2，b−a=5，
∴ab−bc+ac−a2=(a−c)(b−a)=−2×5=−10．
【解析】(1)先分组，再运用公式法进行因式分解；
(2)对式子进行因式分解，再代入求值．
此题主要考查了因式分解的应用，先分组再应用完全平方公式进行因式分解是解本题的关键，难度适中．
22.【答案】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵AE//BC，
∴∠AEF=∠CBD，
∴∠ABD=∠AEF，
∴AB=AE，
∵BF=DE，
∴BF−DF=DE−DF，
∴BD=EF，
在△ABD和△AEF中，
AB=AE∠ABD=∠AEFBD=EF，
∴△ABD≌△AEF(SAS)，
∴∠ADB=∠AFE，
∵∠ADB=180°−∠ADF，∠AFE=180°−∠AFD，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF．
【解析】根据角平分线定义及平行线的性质得出∠ABD=∠AEF，则AB=AE，根据SAS证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB=∠AFE，根据邻补角定义求出∠ADF=∠AFD，最后根据等腰三角形的判定即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠B=∠C=30°，
∴AB=AC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAF=90°−∠C=60°，
∵MF垂直平分DC，
∴DF=CF，
∴∠C=∠FDC=30°，
∴∠ADF=60°，
∴∠AFD=60°，
∴∠DAF=∠ADF=∠AFD，
∴△ADF是等边三角形；
(2)解：∵△ADF是等边三角形，
∴AF=DF，
∵DF=CF，
∴AF=12AC=12AB=6，
∴DF=6，
∵∠FDM=30°，
∴MF=12DF=3．
【解析】(1)证出AD⊥BC，由等边三角形的判定可得出结论；
(2)求出AF=12AC=12AB=6，由直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵AC=12cm，点P以每秒2cm的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，
∴当运动的时间t=4秒时，运动的路程AP=4×2=8(cm)，此时点P在AC边上，如图1所示：

∴PC=AC−AP=12−8=4(cm)，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，AB=20cm，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2=16(cm)，
∴S△BPC=12BC⋅PC=12×16×4=32(cm2)；
(2)当AP平分∠CAB时，点P在BC边上，
过点P作PD⊥AD于D，设CP=a，如图2所示：

∵∠C=90°，PD⊥AD，
∴∠C=∠ADP=90°，
∵AP平分∠CAB，
∠CAP=∠DAP，
在△ACP和△ADP中，
∠CAP=∠DAP∠C=∠ADP=90°AP=AP，
∴△ACP≌△ADP(AAS)，
∴AC=AD=12，CP=DP=a，
∵AB=20cm，BC=16cm，
∴BD=AB−AD=20−12=8(cm)，PB=BC−CP=(16−a)cm，
在Rt△BPD中，由勾股定理得：DP2+BD2=PB2，
即a2+82=(16−a)2，
解得：a=6，
∴CP=a=6cm，
∴AC+CP=12+6=18(cm)，
∴t=18÷2=9(秒)，
即当AP平分∠CAB，t的值为9秒；
(3)过点C作CE⊥AB于E，如图3所示：

由三角形的面积公式得：S△ABC=12AB⋅CE=12AC⋅BC，
∴CE=AC⋅BCAB=12×1620=9.6(cm)，
在Rt△ACE中，AC=12cm，CE=9.6cm，
由勾股定理得：AE= AC2−CE2=7.2(cm)
∵CP=AC=12cm，CE⊥AB于E，
∴AE=PE=7.2cm，
∴AP=AE+PE=14.4(cm)，
∴BP=AB−AP=20−14.4=5.6(cm)，
∴AC+BC+BP=12+16+5.6=33.6(cm)，
∴t=33.6÷2=16.8(秒)．
∴点P运动到边AB上，且使得CP=AC，t的值为16.8秒．
【解析】(1)依题意得t=4秒时，运动的路程AP=8cm，此时点P在AC边上，则PC=4cm，由勾股定理求出BC=16cm，进而可得△BPC的面积；
(2)当AP平分∠CAB时，点P在BC边上，过点P作PD⊥AD于D，设CP=a，证△ACP和△ADP全等得AC=AD=12，CP=DP=a，则BD=8cm，PB=(16−a)cm，在Rt△BPD中由勾股定理求出a=6，进而得AC+CP=18cm，据此可得t的值；
(3)过点C作CE⊥AB于E，先利用三角形的面积公式求出CE=9.6cm，再利用勾股定理求出AE=7.2cm，进而得AP=14.4cm，则BP=5.6cm，据此得AC+BC+BP=33.6cm，由此可得t的值．
此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等，理解题意，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．甲：x2−xy+4x−4y
=(x2−xy)+(4x−4y)(分成两组)
=x(x−y)+4(x−y)(直接提公因式)
=(x−y)(x+4)
乙：a2−b2−c2+2bc
=a2−(b2+c2−2bc)(分成两组)
=a2−(b−c)2(直接运用公式)
=(a+b−c)(a−b+c)