2023-2024学年山东省滨州市邹平市魏桥实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省滨州市邹平市魏桥实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形是轴对称图形的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列运算正确的是( )
A. 3a+a=4a2B. (−2a)3=−8a3C. (a3)2÷a5=1D. 3a3⋅2a2=6a6
3.下列变形中，从左到右不是因式分解的是( )
A. x2−2x=x(x−2)B. x2+2x+1=(x+1)2
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x+2=x(1+2x)
4.下列式子运算结果为x+1的是( )
A. x2−1x·xx+1B. x+1x·1x−1C. x2+2x+1x+1D. x2x−1·11−x
5.如果把分式2mm+n中的m和n都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大6倍B. 缩小3倍C. 不变D. 扩大3倍
6.一个正多边形的一个内角是一个外角的3倍，则正多边形的边数为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.若关于x的分式方程x−6x−5+1=2k5−x无解，则k的值为( )
A. −12B. −1C. 1D. 12
8.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，连接MN，则①△ACE≌△DCB；②∠AOB=150°；③DN=AM；④△CMN是等边三角形．其中，正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )
A. 60°B. 90°C. 75°D. 105°
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
11.如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为( )
A. 60°
B. 105°
C. 75°
D. 15°
12.如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.当x ______ 时，分式x2−9x−3有意义；当x ______ 时，分式x2−9x−3的值为0．
14.已知x2+kx+9是完全平方式，则k=______．
15.等腰三角形腰AB=10，底边BC=12，则△ABC的周长为______．
16.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF/​/BC交AB、AC于点E，F.当EF=5，BE=2时，CF的长为______ ．
17.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=18，AB=8，BC=4，则DE=______．
18.如图，在△ABC中，∠B=60°，点D在边BC上，且AD=AC，若AB=6，CD=4，则BD=______．
三、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
因式分解：
(1)x3−25x；
(2)9a2(x−y)+4b2(y−x)；
(3)−3a3m+6a2m−3am．
20.(本小题7分)
化简并求值：
(1)化简：(a2+3a)÷a2−9a−3；
(2)先化简，再求值：(m+2−5m−2)⋅2m−43−m，其中m=−12．
21.(本小题8分)
解分式方程：(1)3x2−3x−1x−3=2x；
(2)12x−1+34x−2=12．
22.(本小题5分)
如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠CAB的平分线，交BE于点F，∠C=78°，∠CBA=38°，求∠AFB的度数．
23.(本小题6分)
△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)．

(1)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1 ______ ，B1 ______ ，C1 ______ ；并画出△A1B1C1．
(2)在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标是______ ．
24.(本小题9分)
某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2018年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前4年完成任务．
(1)实际每年绿化面积为多少万平方米？
(2)为加大创建力度，市政府决定从2021年起加快绿化速度，要求不超过3年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
25.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF/​/AC交CE的延长线于点F．
(1)求证：△ACD≌△CBF；
(2)连结DF，求证：AB垂直平分DF；
(3)连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
26.(本小题10分)
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究(1)：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是______．
研究(2)：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是______；
研究(3)：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：这五个图形都是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、3a+a=4a，本选项计算错误，不符合题意；
B、(−2a)3=−8a3，本选项计算正确，符合题意；
C、(a3)2÷a5=a6÷a5=a，本选项计算错误，不符合题意；
D、3a3⋅2a2=6a5，本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
本题考查的是单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
B.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
C.原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
4.【答案】C
【解析】解：A．x2−1x·xx+1=x2−1x+1=x−1，故不符合题意；
B.x+1x·1x−1=x+1x2−x，故不符合题意；
C.x2+2x+1x+1=x+1，故符合题意；
D.x2x−1·11−x=−x2(x−1)2，故不符合题意．
故选：C．
根据分式的运算法则逐项计算即可．
本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
5.【答案】C
【解析】解：2×3m3m+3n=6m3(m+n)=2mm+n，
所以如果把分式2mm+n中的m和n都扩大3倍，那么分式的值不变，
故选：C．
根据题意得出2×3m3m+3n，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6.【答案】A
【解析】解：设这个正多边形的一个外角为x°，则
180−x=3x，
解得x=45，
360÷45=8，
∴这个正多边形是正八边形，
即这个正多边形的边数是8，
故选A．
设这个正多边形的一个外角为x°，则根据“正多边形的一个内角是一个外角的3倍”列方程求得x的值，再利用多边形的外角和定理即可求解．
本题考查多边形的内角(和)与外角(和)，熟记多边形的外角和为360°是解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：当x−5=0时，x=5，
方程两边乘以(x−5)，得
x−6+x−5=−2k，
2x=11−2k，
把x=5代入2x=11−2k，
得k=0.5，
故选：D．
先求增根，再把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求出k．
主要考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的计算过程是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
在△ACE和△DCB中，
AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB,
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确；
∴∠BDC=∠EAC，DB=AE，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CBD=∠AEC，
∵∠AOB=180°−∠OAB−∠DBC，
∴∠AOB=180°−∠AEC−∠OAB=120°，②错误；
在△ACM和△DCN中，
∠MAC=∠NDCAC=DC∠ACM=∠DCN=60°,
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴AM=DN，④正确；
∵△ACM≌△DCN，
∴∠AMC=∠DNC，②正确；
CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，④正确；
故选：C．
易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB=120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM=CN，即可证明⑤正确；即可解题．
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△DCB和△ACM≌△DCN是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：如图所示：
∵∠1与∠4是对顶角，∠2与∠3是对顶角，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴此三角形是直角三角形，
∴∠3+∠4=90°，即∠1+∠2=90°．
故选：B．
根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，熟知三角板的特点及三角形内角和定理是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
由∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，BD=AD=6，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形性质的应用．
【解答】
解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD=12BD=6×12=3．
故选：A．
11.【答案】C
【解析】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，
∴∠DAC=30°(三线合一)，
在△ADE中，AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=12(180°−30°)=75°，
故选：C．
根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC=30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，
∠AOE=∠BOFOA=OB∠OAE=∠OBF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴△AOE的面积=△BOF的面积，
∴四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14×22=1；
故选：C．
证明△AOE≌△BOF(ASA)，得出△AOE的面积=△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积=14正方形ABCD的面积=14×22=1即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13.【答案】≠3 ；=−3
【解析】【分析】
本题考查了分式的有意义的条件和分式值为0的条件，掌握分式的基本知识是解题的关键．
分别根据分式有意义的条件，分式值为0的条件求解．
【解答】
解：当x−3≠0，即x≠3时，分式x2−9x−3有意义；
当x2−9=0且x−3≠0，即x=−3时，分式x2−9x−3的值为0．
14.【答案】±6
【解析】解：因为x2+kx+9是完全平方式，
所以kx=±2·x·3，
所以k=±6．
故答案为：±6．
这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，据此解答即可．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
15.【答案】32
【解析】解：等腰三角形腰AB=10，底边BC=12，则△ABC的周长=10+10+12=32，
故答案为：32．
根据等腰三角形的性质和周长解答即可．
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是根据等腰三角形的性质和周长解答．
16.【答案】3
【解析】解：如图，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠CBO；
∵EF/​/BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE；同理可证CF=OF，
∴EF=BE+CF，
∵EF=5，BE=2，
∴OF=EF−OE=EF−BE=3，
∴CF=OF=3，
故答案为：3．
利用平行和角平分线得到BE=OE，OF=CF，可得出结论EF=BE+CF，由此即可求得CF的长．
本题主要考查等腰三角形的判定和性质，结合平行得到BE=EO，CF=OF是解题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE=DF，
∵S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB⋅DE+12BC⋅DF=18，
即12×8⋅DE+12×4⋅DE=18，
解得：DE=3，
故答案为：3．
根据角平分线的性质得到DE=DF，然后根据三角形的面积列方程即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】1
【解析】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AD=AC，CD=4，
∴DE=EC=12CD=2．
在直角△ABE中，
∵∠AEB=90°，∠B=60°，
∴∠BAE=90°−∠B=30°，
∴BE=12AB=12×6=3，
∴BD=BE−DE=3−2=1．
故答案为：1．
过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出DE=EC=12CD=2.由含30度角的直角三角形的性质求出BE=12AB=3，那么BD=BE−DE=1．
本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出BE与DE是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x3−25x
=x(x2−25)
=x(x+5)(x−5)；
(2)9a2(x−y)+4b2(y−x)
=9a2(x−y)−4b2(x−y)
=(x−y)(9a2−4b2)
=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)；
(3)−3a3m+6a2m−3am
=−3am(a2−2a+1)
=−3am(a−1)2．
【解析】(1)先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提取公因式x−y，再利用平方差公式分解因式即可；
(3)先提取公因式−3am，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练的提取公因式，再利用公式法分解因式是解本题的关键．
20.【答案】(1)解：(a2+3a)÷a2−9a−3
=a(a+3)1⋅a−3(a+3)(a−3)
=a；
(2)解：(m+2−5m−2)⋅2m−43−m
=m2−4−5m−2⋅2(m−2)−(m−3)
=−(m+3)(m−3)m−2⋅2(m−2)m−3
=−2m−6；
当m=−12时，
原式=−2×(−12)−6=1−6=−5．
【解析】(1)先把分式转化为乘法，再约分即可；
(2)先计算括号内的分式的加减运算，再约分得到化简的结果，再把m=−12代入化简后的代数式进行计算即可．
本题考查的是分式的除法运算，分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)3x2−3x−1x−3=2x，
3−x=2(x−3)，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x(x−3)=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴原方程无解；
(2)12x−1+34x−2=12，
2+3=2x−1，
解得：x=3，
检验：当x=3时，4x−2≠0，
∴x=3是原方程的根．
【解析】(1)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
(2)按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
22.【答案】解：∵∠C=78°，∠CBA=38°，
∴∠CAB=180°−∠C−∠CBA=180°−78°−38°=64°．
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠EAF=∠FAB=12∠CAB=32°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠AFB=∠EAF+∠AEF=32°+90°=122°．
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由角平分线的性质得出∠EAF的度数，根据三角形外角的性质可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
23.【答案】解：(1)(−1,1)，(−4,2)，(−3,4) ;
△A1B1C1即为所画的三角形，
(2) (2,0)．
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1(−1,1)，B1(−4,2)，C1(−3,4)；
△A1B1C1即为所画的三角形，
故答案为：(−1,1)，(−4,2)，(−3,4)；
(2)先确定A(1,1)关于x轴的对称点D(1,−1)，再连接DB交x轴于P即可；
此时PA+PB=PD+PB=BD，则PA+PB的值最小；
设BD的解析式为：y=kx+b，
∴k+b=−14k+b=2，解得k=1b=−2，
∴BD的解析式为：y=x−2，
当y=0时，x=2，
∴P(2,0)．
故答案为：(2,0)．
(1)先根据关于y轴对称的特点描出A1，B1，C1，再根据其位置写出其坐标，再顺次连接即可；
(2)先确定A(1,1)关于x轴的对称点D(1,−1)，再连接DB交x轴于P即可；再求解BD的解析式即可得到P的坐标．
本题考查的是作图−轴对称变换，利用轴对称的性质确定线段和的最小值，求解一次函数的解析式，以及一次函数与x轴的交点坐标，掌握“轴对称的性质”进行画图是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，
根据题意得：360 x−3601.5x=4，
解得：x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，
∴1.5x=45．
答：实际每年绿化面积45万平方米．
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米，
根据题意得：45×3+3(45+a)≥360，
解得：a≥30．
答：平均每年绿化面积至少增加30万平方米．
【解析】(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.5x万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4年完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】(1)证明：∵CE⊥AD，
∠BCF+∠ADC=90°，
∵∠BCA=90°，BF/​/AC，
∴∠CBF=180°−∠BCA=90°，
∴∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠CFB=∠ADC，
在△ACD和△CBF中，
∠ACD=∠CBF∠ADC=∠CFBAC=CB，
∴△ACD≌△CBF(AAS)；
(2)证明：由(1)得：△ACD≌△CBF，
∴CD=BF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴BF=BD，
∵∠BCA=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°−∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠ABF，
∵BF=BD，
∴AB垂直平分DF；
(3)解：△ACF是等腰三角形，理由如下：
由(1)得：△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
由(2)得：AB垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形．
【解析】(1)由AAS证明△ACD≌△CBF即可；
(2)由全等三角形的性质得CD=BF，由CD=BD，得BF=BD，证出∠ABC=∠ABF，由等腰三角形的性质即可得出结论；
(3)由全等三角形的性质得AD=CF，由垂直平分线的性质得AD=AF，得出AF=CF即可．
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26.【答案】(1)∠1=2∠A;
(2)∠1+∠2=2∠A；
(3)如图3，∠2−∠1=2∠A，理由是：
∵∠2=∠AFE+∠A，∠AFE=∠A′+∠1，
∴∠2=∠A′+∠A+∠1，
∵∠A=∠A′，
∴∠2=2∠A+∠1，
∴∠2−∠1=2∠A．

【解析】解：(1)如图1，∠1=2∠A，理由是：
由折叠得：∠A=∠A′，
∵∠1=∠A+∠A′，
∴∠1=2∠A；
故答案为：∠1=2∠A；
(2)如图2，猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC=360°，
∴∠1+∠2=360°−∠ADE−∠A′DE−∠AED−∠A′ED=360°−2∠ADE−2∠AED，
∴∠1+∠2=2(180°−∠ADE−∠AED)=2∠A；
故答案为：∠1+∠2=2∠A；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据折叠的性质和三角形外角的性质得出结论；
(2)先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
(3)利用两次外角的性质得出结论．
本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角的性质得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．