2023年山东省菏泽市牡丹二十二中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省菏泽市牡丹二十二中中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的绝对值是( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2.Iphne15系列苹果手机预计于2023年9月份上市中国大陆，其内部的A16芯片加入光线追踪功能，将宽度压缩到0.000000005米，将数字0.000000005米用科学记数法表示为( )
A. −5×109米B. −0.5×108米C. 0.5×10−8米D. 5×10−9米
3.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”(如图).“阳马”的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为( )
A. 68°
B. 56°
C. 45°
D. 54°
5.某企业2020年6～10月生产利润的变化情况如折线图所示，下列说法与图中反映的信息相符的是( )
A. 6～7月份利润的增长快于7～8月份利润的增长
B. 6～10月份利润的方差为14000(万元)2
C. 6～10月份利润的众数是1300万元
D. 6～10月份利润的中位数为1300万元
6.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 6210x=3xB. 3(x−1)=6210
C. 3(x−1)=6210xD. 3(x−1)=6210x−1
7.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=2，点P从A点出发，沿折线ADC运动，过点P作对角线AC的垂线，交折线ABC于Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解：4a3−4a= ______．
10.关于x的不等式组6−3x<02x≤a恰好有2个整数解，则a满足的条件是______．
11.一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是______．
12.如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为⊙O上一点，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为______(结果保留π)．
13.已知x1、x2是方程x2−kx+14k(k+4)=0的两个根，且满足(x1−1)(x2−1)=134，则k= ．
14.在平面直角坐标系中一组菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，A3C3B3C2，A4C4B4C3，…按如图方式放置，已知点A1(1,0)，A2(3,0)，A3(5,0)，…，An(2n−1,0)，点B1(0,1)，B2(0,3)，B3(0,5)，…，Bn(0,2n−1)，则菱形A5C5B5C4的面积为______．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：−12023+| 3−2|+tan60°−(π−3.14)0+(12)−2．
16.(本小题8分)
先化简，再求值：2a+1a+1+a2−2aa2−1÷(2a−1a−1−a−1)，其中a=−32．
17.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF.求证：DE/​/BF．
18.(本小题8分)
如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF.经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m.请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．
19.(本小题8分)
在4月22日“世界地球日”前夕，某企业计划向草原地区捐赠甲、乙两种树苗，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵40元，且甲种树苗棵数比乙种树苗棵数的2倍多400棵，购买两种树苗的总金额为7.2万元．
(1)求计划捐赠的甲、乙两种树苗共多少棵；
(2)为保证绿化效果，该企业决定在原计划的基础上，追加捐赠甲、乙两种树苗共700棵，所有树苗的运输费等其它费用共需3000元，若保证总费用不超过10万元，则追加的甲种树苗至少有多少棵？
20.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=−34x+b的图象与反比例函数y=kx(k≠0)图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为(−2,3)．
(1)求一次函数和反比例函数解析式．
(2)若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．
(3)根据图象，直接写出不等式−34x+b>kx的解集．
21.(本小题8分)
某市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机调查部分学生；根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了多少名学生？扇形统计图中“灰”所在扇形的圆心角的度数是多少度？
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2400名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(4)王老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
22.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若csB=35，AD=2，求FD的长．
23.(本小题8分)
有共同顶点的△ABC与△ADE中，CA=CB，EA=ED，且∠ACB=∠AED=α，连接BD，CE，线段BD，CE相交于点H．
(1)如图①，当α=60°时，BDCE的值是______，∠BHC的度数是______；
(2)如图②，当α=90°时，求BDCE的值和∠BHC的度数，并说明理由；
(3)如果α=90°，ACAE=2，当点H与△ADE的顶点重合时，请直接写出BDDE的值．
24.(本小题8分)
如图(1)，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B(3,0)、点C(0,3)，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式与点P的坐标；
(2)当0(3)连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，
①是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；
②是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(图(2)、图(3)供画图探究)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【解答】
解：−3的绝对值是3．
故选：A．
【分析】
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】D
【解析】解：0.000000005米=5×10−9米．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】
解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=12∠DAC=34°．
由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°−34°=56°，
∴∠α=56°．
故选：B．
先根据矩形的性质得出AD//BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由折线统计图知这组数据为1000、1100、1300、1200、1300，
A、6～7月份利润增长了1100−1000=100，7～8月份利润，增长了1300−1100=200，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B、6～10月份利润的平均数为15×(1000+1100+1300+1200+1300)=1180(万元)，
方差为15×[(1000−1180)2+2×(1300−1180)2+(1200−1180)2+(1100−1180)2]=13600(万元)，故B说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
C、6～10月份利润的众数是1300万元，故C说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意；
D、6～10月份利润的中位数为1200万元，故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意．
故选：C．
先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．
本题考查了折线统计图，主要利用了方差的定义，众数的定义，中位数的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为6210x，
由题意得：3(x−1)=6210x，
故选：C．
设6210元购买椽的数量为x株，根据单价=总价÷数量，求出一株椽的价钱为6210x，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴为直线x=−b2a<0，得出b>0，
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=cx经过二、四象限，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：①当0≤x≤1时，点Q在AB上时，点P在AD上，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAC=∠ACB，
∵PQ⊥AC，
∴∠PAC+∠APQ=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠APQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴AQAP=BCAB，
∵BC=4，AB=2，
∴AQ=2AP，
∴当0≤x≤1时，y=12AQ⋅AP=12×2x⋅x=x2，
∴此时函数图象是开口向上的抛物线；
②当1∴y=S△APQ=12AP⋅AB=12×2x=x，
此时函数图象是过原点的直线；
③当4用同(1)相同的方法可知，△PQC∽△ACD，
∴QC=12PC，
由题意知，x=AD+DP，
∴DP=x−4，
∴CP=CD−DP=2−(x−4)=6−x，
∴CQ=12(6−x)=3−12x，
∴BQ=BC−CQ=4−(3−12x)=12x+1，
∴y=S△APQ=S矩形ABCD−S△ABQ−S△PCQ−S△ADP=4×2−12×2×(12x+1)−12(3−12x)(6−x)−12×4(x−4)=−14x2+12x+6，
此时函数图象为开口向下的抛物线．
故选：C．
分0≤x≤1，1本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是分段讨论点P和Q的位置．
9.【答案】4a(a+1)(a−1)
【解析】解：4a3−4a=4a(a2−1)=4a(a+1)(a−1)．
故答案为：4a(a+1)(a−1)．
先提取公因式4a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
10.【答案】8≤a<10
【解析】解：6−3x<0①2x≤a②，
解不等式①得：x>2，
解不等式②得：x≤a2，
∵关于x的不等式组6−3x<02x≤a恰好有2个整数解，
∴不等式组的整数解为：3，4，
∴4≤a2<5，
∴8≤a<10，
故答案为：8≤a<10．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，求其整数解，进而即可求出a满足的条件．
本题考查解不等式组及求不等式组的整数解，掌握不等式组的解集遵循的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解本题的关键．
11.【答案】六
【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6，
∴这个多边形为六边形．
故答案为：六．
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于(n−2)⋅180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
12.【答案】43π− 3
【解析】解：过点O作OD⊥BC于点D，
∵AB为⊙O的直径，AB=4，∠ABC=30°，
∴OB=12AB=2，OD=12OB=1，∠BOD=90°−30°=60°，
∴∠BOC=2×60°=120°，BD=CD= 22−12= 3，
∴图中阴影部分的面积为120π×22360−12×2 3×1=43π− 3，
故答案为：43π− 3．
作OD⊥BC于点D，利用垂径定理求得∠BOC=120°，OD=1，BD=CD= 3，根据扇形面积公式和三角形的面积即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．
13.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x1−1)(x2−1)=134，找出关于k的一元二次方程是解题的关键．
由方程x2−kx+14k(k+4)=0有实数根，可得出根的判别式Δ≥0，解之可得出k≤0，利用根与系数的关系，可得出x1+x2=k，x1x2=14k(k+4)，结合(x1−1)(x2−1)=134，可得出关于k的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】
解：∵方程x2−kx+14k(k+4)=0有实数根，
∴Δ=(−k)2−4×1×14k(k+4)≥0，
∴k≤0．
∵x1、x2是方程x2−kx+14k(k+4)=0的两个根，
∴x1+x2=k，x1x2=14k(k+4)，
∵(x1−1)(x2−1)=134，
∴x1x2−(x1+x2)+1=134，即14k(k+4)−k+1=134，
整理得：k2=9，
解得：k1=−3，k2=3(不符合题意，舍去)，
∴k的值为−3．
故答案为：−3．
14.【答案】9
【解析】解：∵A1(1,0)，A2(3,0)，点B1(0,1)，B2(0,3)，
∴C1(1,1)，
∵菱形A1C1B1O，A2C2B2C1，
∴A2B2的中点坐标为(32,32)，
由菱形的对角线互相平分可得：C2(2,2)，
∴OC1= 12+12= 2，
C1C2= (2−1)2+(2−1)2= 2，
同理可得：C2C3= 2，C3C4= 2，
根据此规律可得C4C5= 2，
又∵A5(9,0)，B5(0,9)，
∴A5B5= 92+92=9 2，
∴菱形A5C5B5C4的面积为12× 2×9 2=9，
故答案为：9．
先求出A5B5以及C4C5的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案．
本题主要考查菱形的面积公式，关键是要找出CnCn+1的长度的规律，牢记菱形的面积公式．
15.【答案】解：−12023+| 3−2|+tan60°−(π−3.14)0+(12)−2
=−1+2− 3+ 3−1+4
=4．
【解析】直接根据乘方、去绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案．
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握乘方、去绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：原式=2a+1a+1+a2−2aa2−1÷2a−1−(a2−1)a−1
=2a+1a+1+a2−2aa2−1÷2a−a2a−1
=2a+1a+1+a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−1−a(a−2)
=2a+1a+1−1a+1
=2aa+1，
当a=−32时，原式=2×(−32)−32+1=6．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB/​/CD，
∴∠BAF=∠DCE，
在△ABF和△CDE中，
AB=CD∠BAF=∠DCEAF=CE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠DEF=∠BFA，
∴DE/​/BF．
【解析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质及平行线的判定，关键是正确证明△ABF≌△CDE．
根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB/​/CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAF=∠DCE，然后利用“边角边”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠BFA，进而得到DE/​/BF．
18.【答案】解：过B作BH⊥EF于点H，
∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BC=1.5m，
∴AB=3m，
∵AD=1m，
∴BD=2m，
在Rt△EDB中，
∵∠EBD=60°，
∴∠BED=90°−60°=30°，
∴EB=2BD=2×2=4m，
又∵∠HBA=∠BAC=30°，
∴∠EBH=∠EBD−∠HBD=30°，
∴EH=12EB=2m，
∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5(m)．
答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．
【解析】过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
19.【答案】解：(1)设计划捐赠乙种树苗x棵，则捐赠甲种树苗(2x+400)棵，
依题意得：30(2x+400)+40x=72000，
解得：x=600，
∴2x+400=2×600+400=1600．
答：计划捐赠甲种树苗1600棵，乙种树苗600棵．
(2)设追加甲种树苗m棵，则追加乙种树苗(700−m)棵，
依题意得：30m+40(700−m)+72000+3000≤100000，
解得：m≥300．
答：追加的甲种树苗至少有300棵．
【解析】(1)设计划捐赠乙种树苗x棵，则捐赠甲种树苗(2x+400)棵，利用总价=单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出计划捐赠乙种树苗的棵数，再将其代入(2x+400)中即可求出计划捐赠甲种树苗的棵数；
(2)设追加甲种树苗m棵，则追加乙种树苗(700−m)棵，根据要保证总费用不超过10万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：(1)∵点A(−2,3)是一次函数y=−34x+b的图象与反比例函数y=kx(k≠0)图象的交点，
∴3=−34×(−2)+b，k=−2×3=−6
∴b=32，k=−6
∴一次函数解析式为y=−34x+32，反比例函数解析式为y=−6x;
(2)根据题意得y=−34x+32y=−6x,
解得x1=−2y1=3，或x2=4y2=−32
∴S△ABF=S△ACF+S△BCF=12×4×(4+2)=12；
(3)x<−2或0【解析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合问题，以及利用待定系数法求解析式．
(1)将点A坐标分别代入解析式，即可求解；
(2)一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B坐标，即可求△ABF的面积；
(3)由图象可得，当−34x+32>−6x时，x<−2或021.【答案】解：(1)∵44÷22%=200(名)，
∴此次调查一共随机调查200名学生，
∵360°×110200=198°，
∴“灰”所在扇形的圆心角的度数为198°．
(2)绿色部分的人数为200−(16+44+110)=30(名)，补图如下：

(3)2400×16200=192(名)，
答：估计该校投放到红色桶的人数有192名．
(4)列表如下：
由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为212=16．
【解析】(1)根据选择蓝色垃圾桶的有44人，占总人数的22%，可求得总人数．再根据选择灰色垃圾桶的有110人，得出选择灰色垃圾桶的占比，从而得出扇形统计图中相应的圆心角度数．
(2)由总人数减去选择红、蓝、灰色垃圾桶的各部分人数之和得到选择绿色垃圾桶的人数，从而补全条形统计图．
(3)从调查结果看，选择投放到红色垃圾桶的人数为16人，总人数为200人，故在全校总人数为2400人的情况下，估计该校投放到红色桶的人数有2400×16200=192(名)．
(4)选用列表或树状图的方法，求得一共有12种等可能性，其中符合题意的有2种可能性，从而得出符合题意的概率为16．
本题考查了通过统计图求相关量，并运用列表法或树状图求得相关概率，充分运用图表信息是解题的关键．
22.【答案】解：
(1)连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
又∵OC=OD，
∴∠ADC=∠OCD，
又∵∠DCF=∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD=90°，
∴∠OCF=90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
(2)∵∠B=∠ADC，csB=35，
∴cs∠ADC=35，
在Rt△ACD中，
∵cs∠ADC=35=CDAD，AD=2，
∴CD=AD⋅cs∠ADC=2×35=65，
∴AC= AD2−CD2= 22−(65)2=85，
∴CDAC=34，
∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴CDAC=FCFA=FDFC=34，
设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+2，
又∵FC2=FD⋅FA，
即(4x)2=3x(3x+2)，
解得x=67或x=0(舍去)，
∴FD=3x=187．
【解析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
(1)根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角以及等腰三角形的性质可得答案；
(2)由csB=35，根据锐角三角函数的意义，圆周角定理和勾股定理可求出CD、AC及CDAC=34，证明△FCD∽△FAC，再根据相似三角形的性质得到FDFC=34，设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+2，进而可求出答案．
23.【答案】1 60°
【解析】(1)解：如图①，AB与CF交于点M，
∵∠ACB=∠AED=60°，CA=CB，EA=ED，
∴△AED和△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠EAD=60°，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD，
∵∠HMC=∠AMB，
∴∠BHC=∠CAB=60°，
故答案为：1；60°；
(2)证明：∵CA=CB，且∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，AB= AC2+BC2= 2AC，
同理∠EAD=∠ADE=45°，AD= AE2+DE2= 2AE，
∴∠EAC=∠DAB，且ADAE=ABAC= 2，
∴△ACE∽△ABD，
∴BDCE=ABAC= 2．
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠AGB=∠CGH，
∴∠BHC=∠CAB=45°；
∴BDCE的值为 2，∠BHC的度数为45°；
(3)解：分三种情况：
①当点H与△ADE的顶点D重合时，如图③−1，
∵α=90°，ACAE=2，
由(2)知：BDCE= 2，
设AE=DE=a，
∴AC=2a，
∴CE= AC2−AE2= 3a，
∴BD= 6a，
∴BDDE= 6aa= 6；
②当点H与△ADE的顶点E重合时，如图③−2，
在Rt△ABC中，AC=BC=2a，
∴AB= 2AC=2 2a，
在Rt△ABE中，AE=DE=a，
∴BE= AB2−AE2= 7a，
∴BD=BE+DE= 7a+a，
∴BDDE= 7a+aa= 7+1；
③当点H与△ADE的顶点A重合时，如图③−3，
∵AD= 2AE= 2a，AB= 2AC=2 2a，
∴BD=AB+AD=3 2a，
∴BDDE=3 2aa=3 2．
综上所述：BDDE= 6或3 2或 7+1，
(1)证明△BAD≌△CAE(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ACE=∠ABD，则可得出答案；
(2)由直角三角形的性质得出ADAE=ABAC= 2，证明△CAE∽△BAD，由相似三角形的性质得出BDCE=ABAC= 2.∠ACE=∠ABD，则可得出答案；
(3)分三种情况：①当点H与△ADE的顶点D重合时，如图③−1，②当点H与△ADE的顶点E重合时，如图③−2，③当点H与△ADE的顶点A重合时，如图③−3，结合(2)则可得出答案．
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．
24.【答案】解：(1)将点B(3,0)、点C(0,3)代入y=x2+bx+c，得
c=39+3b+c=0，解得：b=−4c=3，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3，
∵y=(x−2)2−1，
∴顶点P的坐标为(2,−1)．
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，则
b=33k+b=0，解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
如图(1)，过点E作y轴的平行线交直线BC于点F，
设点E(x,x2−4x+3)，则点F(x,−x+3)，
∴EF=−x+3−(x2−4x+3)=−x2+3x，
∴S△CBE=12EF⋅(xE−xC)+12EF⋅(xB−xE)=12EF⋅(xB−xC)=12×(3−0)×(−x2+3x)=−32x2+92x，
∵S△CBE=−32(x−32)2+278，
∴当x=32时，△EBC的面积最大值为278；
∴E(32,−34).
(3)①对y=x2−4x+3，当y=0时，x2−4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴A(1,0)，
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴OC=OB=3，AB=2，BC=3 2，AC= 10，
∴∠ABC=45°，
∵B(3,0)，P(2,−1)，
∴∠PBN=45°，PB= 2，
∴∠PBN=∠ABC，
如图(2)，当△ABC∽△PBN时，BNBC=PBAB，
∴BN3 2= 22，
∴BN=3，
∴N1(0,0)；
当△ABC∽△NBP时，ABNB=BCBP，
∴2NB=3 2 2，
∴NB=23，
∴N2(73,0)；
综上所述，当点N的坐标为(0,0)或(73,0)时，以点B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似．
②如图(3)，C(0,3)，P(2,−1)，
设M(2,y)，N(x,0)，
(i)以CN为对角线时，
0+x=2+23+0=−1+y，解得：x=4y=4，
∴M1(2,4)，N1(4,0)；
(ii)以CP为对角线时，
0+2=2+x3+(−1)=y+0，解得：x=0y=2，
∴M2(2,2)，N2(0,0)；
(iii)以CM为对角线时，
0+2=2+x3+y=−1+0，解得：x=0y=−4，
∴M3(2,−4)，N3(0,0)；
综上所述，当点M的坐标为(2,4)或(2,2)或(2,−4)时，存在以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】(1)先将点B和点C代入抛物线y=x2+bx+c求得b和c的值，然后得到抛物线的解析式，再求得点P的坐标；
(2)过点E作y轴的平行线交直线BC于点F，然后设点E的坐标，得到点F的坐标，再表示出线段EF的长度，最后表示出△CBE的面积，从而利用二次函数的性质求得△CBE的面积最大值；
(3)①先求得点A的坐标，进而结合点B和点C的坐标求得∠ABC的度数、AB、AC、BC的长度，然后由点B和点P的坐标得到∠PBN的度数，再分△ABC∽△NBP和△ABC∽△PBN两种情况讨论，最后利用相似三角形的性质求得BN的长度即可得到点N的坐标；
②先设点M和点N的坐标，然后分情况利用平行四边形的中心对称性列出方程求得点M和点N的坐标．
本题考查了二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是会利用相似三角形的性质和平行四边形的性质分类讨论．A
B
C
D
A
(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)
(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)
(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)