山东省烟台重点中学2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题（含答案）

这是一份山东省烟台重点中学2023-2024学年高二下学期2月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了如图，在平行六面体中，为的中点，在正方体中，点在线段上，且等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､考生号､座号填写在相应位置.
2.选择题答案必须用2B铅笔正确填涂；非选择题答案必须用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清楚3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠､不破损.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，且.有下列命题：
①若，则；
②若，则；
③若，且，则；
④若，且，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5.在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C.2 D.4
7.已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.（“部分选对得部分分”说明：若有两个选项符合题意，只选一个且正确的得3分；若有三个选项符合题意，只选一个且正确的得2分，只选两个且正确的得4分.）
9.如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则（ ）
A.
B.平面平面
C.三棱锥的体积为
D.三棱锥的外接球的表面积为
10.如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与直线始终是异面直线
B.存在点，使得
C.四面体的体积为定值
D.当时，平面平面
11.如图，正三棱柱的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为分别是的中点，则下列结论成立的是（ ）
A.直线与是异面直线
B.直线与平面平行
C.直线与直线所成角的余弦值为
D.直线与平面所成角的余弦值为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，在4个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的是__________.（写出所有符合要求的序号）.
13.已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为__________.
14.如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出相应的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在平行六面体中，为与的交点.
（1）用向量表示；
（2）求线段的长及向量与的夹角.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，，平面平面为的中点.
（1）若是线段的中点，求证：平面；
（2）若，求证：平面.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
18.（17分）
如图，在中，，点在上，，点在上，，以为折痕把折起，使点到点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（17分）
如图，在三棱柱中，平面平面，点为的中点，点在线段上，且.
（1）求平面与平面的夹角的余弦值；
（2）点在上，若直线在平面内，求线段的长.
参考答案
一､选择题
1-8BCAD CBAC
二､选择题
9.CD 10.BCD 11.BCD
三､填空题
12.①③ 13. 14.
四､解答题
15.解：（1）因为为与的交点，所以.
又因为，所以.
（2）因为
，
所以.
因为，所以
.
16.解：（1）取的中点，连接是的中点，.
又.又平面平面.
同理可证，平面.而平面平面平面.
（2）连接，由为的中点，得.
又平面平面，平面平面平面平面.
在Rt中，.
在Rt中，.
在直角梯形中，可得，
.
又平面.
17.解：（1）如图，取中点，连接.
在中，分别为中点，，且.
在矩形中，为中点，，且，且.
四边形是平行四边形，.
平面平面平面.
（2）四边形是矩形，.
平面平面，平面平面平面平面平面平面平面.
，
平面.
平面点到平面的距离等于点到平面的距离.
而.
18.解：（1）因为，所以.因为，所以.
连接，设直线与直线相交于点.建立如图所示的直角坐标系.
设，则
所以
所以.所以.
因为是平面的一个法向量，，所以平面.
（2）由（1）得，
设平面的法向量为，则所以
取，则.所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值.
19.解：取中点为，建立如图所示的直角坐标系，则
，
为平面的一个法向量.
（1）设，因为，所以
.
所以，即，因此.设
，因为，所以.
所以，即.
因为.
所以.
设平面的法向量为，所以即
取，则.所以是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，则
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）设，则.
因为直线在平面内，所以，即，所以，即.