250，山东省日照市东港区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

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（满分120分，时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷共8页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．选择题，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，请先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题，须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，答在区域外或试卷上均不得分．
第Ⅰ卷（选择题 30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举办，中国代表团共获得383枚奖牌雄踞奖牌榜榜首，充分展现了中华健儿良好的精神风貌和竞技水平．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，由此即可求解，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，A，B，C选项不能找到直线使得图形成轴对称图形，D选项可以找到一条直线可以使图形左右对称，
故选：D．
2. 下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断．
【详解】解：①符合因式分解的定义，是因式分解；
②右边不是整式的积，不是因式分解；
③等式左边不是多项式，不是因式分解；
④是整式的乘法运算，不是因式分解，
是因式分解的个数是个，
故选：A．
3. 如图，AB//DE，AC//DF，AC＝DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB＝DEB. ∠B＝∠EC. EF＝BCD. EF//BC
【答案】C
【解析】
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
【详解】解：（1）∵AB//DE，AC//DF，∴∠A=∠D，
AB=DE，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF；故C选项正确；
（4）∵EF//BC，AB//DE，
∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
4. 如果分式的值为0，则x的值是
A. 1B. 0C. －1D. ±1
【答案】A
【解析】
【详解】根据分式分子为0分母不为0的条件，要使分式的值为0，则必须．
故选A．
5. 已知，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查完全平方公式的变形，利用完全平方公式变形解决问题是解题关键．由可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故选B．
6. 截至2023年12月31日，中国内地累计有59个城市投运城轨交通线路公里，中国地铁的发展速度之快，让世界相形见绌．小明和小强分别从A地和B地出发赶往机场乘坐飞机，出行方式、路径及路程如下表所示：
由于地面交通拥堵，地铁的平均速度约为公交平均速度的两倍，于是小明比小强少用了半小时到达机场．若设公交的平均速度为公里/时，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了列分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，然后根据小贝比小京少用了半小时到达机场，列出方程即可．
【详解】解：设公交的平均速度为x公里/时，则地铁的平均速度为2x公里/时，
由题意得：，
故选B．
7. 如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若分别是上的动点，则的最小值为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】过 作 于点 ，交 于点 ， 过 点 作 于 ，则 即为 的最小值，再根据三角形的面积公式求出 的长，即为 的最小值；
【详解】过 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于 ，如图：

∵ 平分 于点 于 ，
∴，
∴ 是 最小值，此时 与 重合， 与 重合，
∵三角形 的面积为 ，
∴，
∴，
即 的最小值为 6 ；
故选：D
【点睛】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解 的长度即为 最小值
8. 从，，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，且关于的分式方程有非负数解，则符合条件的的值的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式组无解确定出的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定的一个取值范围，综上可确定的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．
【详解】解：
解①得，
解②得，
∵不等式组无解
∴
∵
∴
∵关于的分式方程有非负数解
∴且
∴且a≠-1
∴综上所述，且
∴符合条件的值有、、共三个．
故选：C
【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定的取值范围是解决问题的关键．
9. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕点转动．点固定，，点可在槽中滑动．如图2，若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，为的中线，的面积记为；为的中线，的面积记为；为的中线，的面积记为；……按此规律，为的中线，面积记为．若的面积为S，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中线的性质得到，，…，据此规律，可得，，从而推出，可得结果．
【详解】解：∵的面积为S，为的中线，
∴，
∴；
∵为的中线，
∴，
∴，
…，按此规律，
∴，
∴
故选B．
【点睛】本题考查了图形类规律，中线的性质，解题的关键是根据中线得到各部分面积的计算方法．
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
11. 若点，关于轴对称，则____________..
【答案】4
【解析】
【详解】根据关于x轴对称的点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，可知b=3，a-2=-a，解得a=1，因此可求得a+b=4.
故答案为4.
12. 若多项式是关于的完全平方式，则的值为______．
【答案】13或##或13
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征建立方程即可确定出的值．
【详解】解：∵是关于x的完全平方式，
∴，
解得：或，
故答案为：13或．
13. （如图1）从边长为的正方形剪出一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述过程所揭示的因式分解的等式是______．
图1 图2
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可．
【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：．
14. 已知：，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题关键．先根据可得，再代入计算即可得．
【详解】解：由得：，
，
，
故答案为：．
15. 如图，为的平分线上一点，于点，，则，则________．

【答案】
【解析】
【分析】作于点，根据角平分线的性质可得，再由可得，即可证明得到，即可证明，求解即可．
【详解】作于点，

∵为的平分线上一点，于点，
∴，，
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 如图，等腰中，，，于点D，点在的延长线上，点在线段上，且．有下面四个结论：
①；②；③是等边三角形；④．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据等边对等角，求出的度数，即可判断①；易证，，即可判断②；连接，先根据三角形的内角和求出，再证明，可得出，求出，即可判断③；在线段上截取，连接，证明，即可判断结论④．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵，，，
∴，
∴，
中，，
∴
与不全等，故②不正确；
③连接，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；故③正确；
④在上截取，连接，

，，
是等边三角形，
∴，，
由②知是等边三角形，
∴，
，
在和中，

∴，
，
∴，
故④正确；
综上：正确的有①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容并灵活运用是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）因式分解：；
（2）计算：
（3）解方程：
【答案】（1）；（2）；（3）原方程无解．
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，分解因式，解分式方程，掌握相应的运算法则与解法步骤是解本题的关键；
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可；
（3）先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3），
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解．
18. 先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝2．
【答案】
，
【解析】
【分析】先将分式化简，再把值代入计算即可．
【详解】原式＝
＝，
当a＝2时，
原式＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值，关键在于熟练掌握化简方法．
19. 如图，在平面直角坐标系中：
描出点、；
描出点A关于y轴对称的点C，点B关于x轴对称的点D；
依次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，则四边形ABCD的面积为______．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）12
【解析】
【分析】根据点的坐标描点即可；
由轴对称的定义作图即可得；
利用割补法将原四边形分割成两个三角形即可得．
【详解】解：如图，点A、B即为所求；
如图，点C和点D即为所求；
四边形ABCD的面积为，
故答案为12．
【点睛】本题主要考查作图轴对称变换，割补法求图形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
20. 如图，点C在线段上，，，，于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的度数；
（3）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出；
（2）根据全等三角形的性质得，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和即可求解；
（3）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质即可证明平分．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
【小问2详解】
∵，
∴
∵，
∴
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，
∴平分
【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21. 在一次数学活动中，小红同学将一个长为，宽为的长方形，如图①所示，沿图中虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．小红同学通过观察图①②，用两种不同的方法表示出了图②中阴影部分的面积，并得出，，这三个代数式之间的一个等量关系．
图① 图②
（1）请写出代数式的一个等量关系，并说明理由；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
（1） 分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．
（2）直接把（1）中得到的关系式用的值对应替换即可．
【小问1详解】
解：阴影部分的面积可表示为： 或
∴．
【小问2详解】
∵，
∴
；
22. 如图，在ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断BCF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BCF是等腰三角形，见解析
【解析】
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，（1）根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角对等边”即可得解．
【详解】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于点E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD；
（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
23. 某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植两种经济作物，预计种经济作物亩产值是A种经济作物亩产值的3倍．
（1）为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，种经济作物年总产值30万元的目标，2022年两种经济作物应各种植多少亩？
（2）将两种经济作物承包给20位工人维护和管理，已知每位工人维护和管理A种经济作物的承包费用是4000元，每位工人维护和管理种经济作物的承包费用是3000元，且每位工人只维护和管理一种经济作物，如果总的承包费不超过万元，那么至多安排多少人维护和管理A种经济作物？
【答案】（1）2022年A种经济作物种植20亩，种经济作物种植10亩
（2）至多安排12人维护和管理A种经济作物
【解析】
【分析】（1）设2022年A种经济作物种植x亩，则B种经济作物种植（）亩，利用亩产值总产值种植亩数，结合预计B种经济作物亩产值是A种经济作物亩产值的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出A种经济作物种植的亩数，再将其代入（）中即可求出B种经济作物种植的亩数；
（2）设安排m人维护和管理A种经济作物，则安排（）人维护和管理B种经济作物，利用总的承包费每亩的承包费用种植亩数维护和管理的工人人数，结合总的承包费不超过万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设2022年A种经济作物种植亩，则种经济作物种植亩，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：2022年A种经济作物种植20亩，种经济作物种植10亩；
【小问2详解】
解：设安排人维护和管理A种经济作物，则安排人维护和管理种经济作物，
依题意得：，
解得：．
答：至多安排12人维护和管理A种经济作物．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24. 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．

（1）如图1，点在边上，若，求的长．
（2）若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：．
（3）若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于．
①求证：；
②若，求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）求证，进一步可证，于是；
（2）求证，进一步可证，过点作，则，得是的平分线，求证，于是，得．
（3）①延长至使，连接，可证，得，进一步求证，于是，得，可证；②由①知：，得，而，于是
【小问1详解】
，
在和中
【小问2详解】
，
即
在和中
∴
过点作，则，
∴
是的平分线
故
【小问3详解】
①延长至使，连接，
∵
∴
又，
和中
即
②由①知：
故
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定；添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．出行方式
路径
路程
地铁
A地机场
全程约43公里
公交
B地机场
全程约54公里