江西省上饶市2024届高三一模数学试题(含答案)

这是一份江西省上饶市2024届高三一模数学试题(含答案)，共12页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知函数，则下列说法正确的是，已知抛物线，下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．B．4C．D．
3．关于函数，下列选项中是对称中心的有（ ）
A．B．C．D．
4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得．类比上述过程，则（ ）
A．B．C．D．
5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
7．已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过2024的直线的条数是（ ）
A．4035B．4036C．4037D．4038
8．作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的有（ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为7
B．若，，，则
C．在一组样本数据，，…，，（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
D．某学校参加学科节数学学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第70百分位数是85．
10．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为30°B．到直线的距离为
C．平面D．平面
11．已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．当时，
C．当时，单调递减D．的取值范围是
12．空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为
B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本小题共四小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为______（用数字作答）．
14．在平行四边形中，，，，点，分别是，的中点，则______．
15．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．
16．已知为坐标原点，双曲线：（，）的右焦点为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴上方），若点与点分别满足、，且，，，四点共圆，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足．
（1）求；
（2）若，且的面积为，是的中线，求的长．
18．（本题12分）如图，三棱台，在边上，平面平面，，，，，．
（1）证明：；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
19．（本题12分）设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前2024项和．
20．（本题12分）机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数2次及以上按2次计算）
（1）汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）
（2）张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）．张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望．
21．（本题12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点与曲线相交的两条线段和相互垂直（斜率存在，且、、、在曲线上），、分别是和的中点．求证：直线过定点．
22．（本题12分）已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）（ⅰ）证明：对任意的都有；
（ⅱ）求证：．
上饶市2024届高三一模数学
参考答案
一、选择题
二、填空题
13．80 14．3 15． 16．
部分选择填空详解
12．半径为2的两球球心为，；半径为4的两球球心为，，易知，，．易知；
若外切，设小球中心为，半径为，则点在四面体内，且，，取中点，中点，连接，易知在上，，，，同理，代入得；同理：若内切则．
16．解：（解法一）由已知得，点，，，，、
，，，四点共圆，
又，
，即：，
，，
（解法二）由已知得，点，，，
因为，根据圆的性质，可知，
，
解得，所以
三、解答题
17．解：（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
即，
又因为，所以，所以．
又因为，所以，
所以，所以．
（2）因为，所以得，
由余弦定理得：．
又，
所以，
得，故的长为．
18．证明：（1）在中，，，
由，解得，，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以；
（2）由（1）知平面，则以为原点，，的方向分别为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
19．（1）（）；（2）
解：（1）有已知得：，
当时，，．
当时，得
．
，
数列是以2为首项2为公差的等差数列
（）
（2）有已知得：
．
．
20．解：（1）由于王先生过去三年都没有出险，若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费，共需5400元．
若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元
，故出险理赔更划算
（2）设商业险保费数额为随机变量，则的可能值为5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．
则
则
（元）
21．（1）设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线方程为（）；
（2）由题意可知，设直线为（），，，，
则因为分别是的中点，所以，，
，
因为，在椭圆上，
所以，由①－②，得，
即，于是有，
所以，
，解得．．
，将上式点坐标中的换成，
同理可得．
①当直线不垂直于轴时，直线的斜率，
其方程，化简得，
直线过定点．
②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点．
综上所述，直线过定点．
22．解：（1），，，
在上为增函数，在上为减函数
，，且时，．
（2）（ⅰ）记，
则，，
在上为减函数，，
存在，使得，
时，；时，
在上为增函数，在上为减函数
又，，
（ⅱ）不妨设，则，
由（1）知，又，
要证
只要证
记，
在上为增函数，
成立，成立
出险情况
商业险折扣
若基准保费3000元时对应保费
三年内6赔
1.8
5400
三-年内5赔
1.5
4500
三年内4赔
1.2
3600
三年内3赔
1
3000
三年内2赔
0.8
2400
三年内1赔
0.7
2100
三年内0赔
0.6
1800
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
B
C
C
C
BCD
BC
ABD
ACD
5400
4500
3600
3000
2400
2100
1800
0.001
0.003
0.027
0.049
0.216
0.192
0.512