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江西省吉安、抚州、赣州市2020届高三一模理科数学试题含答案
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这是一份江西省吉安、抚州、赣州市2020届高三一模理科数学试题含答案，共15页。
抚州市2020年高中毕业班教学质量监测卷
理科数学
说明：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1＋i)z＝i(i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|log2(x－1)>2}，图中阴影部分所表示的集合为
A.(－∞，0]∪[4，5] B.(－∞，0)∪(4，5]
C.(－∞，0)∪[4，5] D.(－∞，4]∪(5，＋∞)
3.已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为，则实数a等于
A.±1 B.±2 C.± D.±
4.已知{an}是等比数列，a1>0，前n项和为Sn，则“2S8
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
并计算得到K2≈19.05，下列小波对地区A天气判断不正确的是
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
6.圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为
A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋16x＋y2＋39＝0 C.x2－16x＋y2－39＝0 D.x2＋y2－4x＝0
7.，log26，3log32的大小关系是
A.
A. B. C.＋1 D.＋1
9.已知函数f(x)＝，g(x)＝x3，则方程f(x)＝g(x－1)所有根的和等于
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，直线l1//l2，点A是l1、l2之间的一定点，并且点A到l1、l2的距离分别为2、4，过点A且夹角为的两条射线分别与l1、l2相交于B、C两点，则△ABC面积的最小值是
A.4 B.6 C.8 D.12
11.在三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，PC⊥AC，PA＝PB，且PC＋AC＝4。若三棱锥P－ABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为
A. B. C. D.
12.设f(x)是在(0，＋∞)上的可导函数，且f'(x)≥＝f(x)，f(1)＝4，f(2)＝16，则下列一定不成立的是
A.f()＝8 B.f(3)＝40 C.f(4)＝72 D.f(5)＝120
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(2x2＋x－1)5的展开式中x的系数是 。
14.设向量a＝(2cosθ，sinθ)，向量b＝(1，－6)，且a·b＝0，则等于 。
15.已知一个四棱柱的三视图如图(图中小正方形的边长为1)，则该四棱柱的全面积等于 。
16.已知数列{an}的通项公式是an＝2n，在a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an＋1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列。这样得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…。记数列{bn}的前n项和为Sn，有下列判断：
①xn1＋xn2＋…＋xnn＝3n·2n－1；②a10＝b66；③b72＝3072；④S55＝14337。
其中正确的判断序号是 。
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分。
17.(本小题满分12分)已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝。
(1)求外接圆O的面积。
(2)求。
18.(本小题满分12分)如图所示，已知四边形ABCD是菱形，平面AEFC⊥平面ABCD，EF//AC，AE＝AB＝AC＝2EF＝2。
(1)求证：平面BED⊥平面AEFC。
(2)若EA⊥AC，求二面角B－FD－C的余弦值。
19.(本小题满分12分)2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中。当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉。已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率)。为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线。
(1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线。
(2)若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元。1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计)，以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分。根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立，互不影响)：
生产商准备根据运输车得分情况给出现金捐款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，者汽车A、B用(1)中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元)，求随机变量Y的期望值。(援助总额＝一次性费用＋生产成本＋现金捐款总额)
20.(本小题满分12分)已知离心率为的椭圆C：的左顶点为A，左焦点为F，及点P(－4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。
(1)求椭圆C的方程
(2)斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记，线段MN上的点Q满足，试求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axex＋b(其中e是自然对数的底数，a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程是2ex－y－e＝0。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)设函数g(x)＝－mx－lnx，若g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)－＝0。
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
(2)设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|3x＋1|。
(1)当g(x)≥10时，恒有f(x)≥9，求a的最小值。
(2)当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围。
2020年高三质量监测理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】 ,所以复数的共轭复数对应的点是，在第四象限.
2.【答案】C
【解析】集合，由Venn图可知阴影部分对应的集合为，其中，则
3.【答案】A
【解析】抛物线即中，则.
4.【答案】B
【解析】因为是等比数列，，所以
或，
为递增数列，所以是必要不充分条件.
5.【答案】D
6.【答案】B
解析：设圆心为，由题意知圆心到直线的距离为，解得，则圆C的方程为，即为.
7．【答案】B
【解析】，，
，所以 .
8．【答案】Ｄ
【解析】在三角形中，，所以
，，
所以离心率.
9.【答案】C.
【解析】通过图象可以知道函数图象都关于点对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为.
10.【答案】C
【解析】设与垂线的夹角为，则，，
所以面积，
所以当，即当时，面积最小，最小值是.
11.【答案】D
【解析】因为三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，则AC＝BC，PA=PB，取边AB的中点D，连接PD，DC，则AB⊥PD，AB⊥DC，AB⊥面PCD，则AB⊥PC，且PC⊥AC，则PC⊥面ABC，不妨设，则，则，当时，，所以.
12.【答案】A
【解析】设，则，则为单调递增函数或常数函数，而，，所以在区间 上是常数函数，则，即
而.
（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）
13.【答案】
【解析】,
所以的系数为.
14.【答案】
【解析】因为，则，即，
则.
15.【答案】
【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于
.
16.【答案】①③④
【解析】① ；
②在数列中是第项，所以；
③；
④
.
17．【解析】（1）由余弦定理得：……2分
所以，因此， ……………… 4分
所以外接圆的面积为. ………………6分
（2）设的中点为，则， ……………… 7分
所以=. …………… 12分
18．【解析】（1）证明：菱形中，， ……………… 1分
又因为平面平面，则，……………… 3分
，所以平面平面； ……………… 5分
（2）设与交于点，连接，因为，且，所以，因为，所以，而平面平面 ，所以.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，……… 7分
设平面的法向量为，
因为， ，所以
令x=2… 9分
又平面的法向量为，
，……………… 11分
由题可知，二面角的余弦值为. ……………… 12分
19．【解析】
（1）频率分布表如下：
所用的时间（单位：小时）
路线1的频率
路线2的频率
设分别表示汽车在约定交货时间前小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；、分别表示汽车在约定交货前小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； ……………… 2分
，， ……………… 3分
，， ……………… 4分
所以汽车选择路线1，汽车选择路线2． ……………… 6分
（2）设表示汽车选择路线1时的得分，表示汽车选择路线2时的得分，
的分布列分别是：
……………… 8分
设则的分布列如下：
……………… 10分
， ……………… 11分
所以 （万元）
所以援助总额的期望值为. ……………… 12分
20．【解析】（1）依题意：，解得， ……… 4分
所以椭圆的方程是； ……………… 5分
（2）解法一：
设，则，
相减得：……(*) ………………7分
又由，知，，
由，知，， ……………… 9分
代入(*)式得：，即， ……………… 10分
又因为点在椭圆内，所以， ……………… 11分
所以△的面积. ……………… 12分
解法二：设，则，，
……………… 7分
设直线的方程为，代入椭圆的方程得：
，由△得，. ……………… 8分
所以 ，消去得到，
所以, ………… 11分
因此 △的面积. ………… 12分
解法三：设直线的方程为，代入椭圆的方程得：
，由△得，. ……………… 6分
所以 ，， ……………… 7分
，
原点到直线的距离 ……………… 9分
所以△的面积,
又因为，所以.
……………… 12分
21．【解析】（1）对函数求导得，……… 1分
由条件可知解得，
所以. ……………… 3分
.令得，于是，当，函数单调递减；当，函数单调递增.
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. ……………… 5分
（2）由（1）知
解法1 要使在上恒成立，只需即可.
因为所以在上单调递增.因为当时，，当时，，所以，上存在唯一的零点，满足，
所以 ……………… 7分
且在（）上单调递减，在上单调递增，
于是……………… 8分
由，此时必有，两边同时取自然对数，则有即.
构造函数，则，所以函数上单调递增，又，所以，即.……………… 11分
故于是实数的取值范围是
……………… 12分
解法2： 要使在上恒成立，等价于上恒成立.令，则只需即可. ……………… 6分
，则，所以在上单调递增，又，所以有唯一的零点，且，上单调递减，在上单调递增.
……………… 8分
因为，两边同时取自然对数，则有
即.
构造函数，则，所以函数上单调递增，又，所以，即.……………… 11分
所以.
于是实数m的取值范围是 ……………… 12分
解法3：要使在上恒成立，
等价于上恒成立.
先证明，令，于是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当t=1时取等号） ……………… 8分
所以，当时，有，即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是
……………… 12分
22．【解析】（1）由消去参数，得，
所以圆的普通方程为. .………………………2分
由，得， .………………………3分
所以直线的直角坐标方程为. .………………………5分
（2）设点的坐标为，则点到直线的距离为
， .………………8分
当时，取最小值，. .…………10分
23．【解析】（1）或 ⇔，
……………… 1分
或， ……………… 3分
依题意有：,即.
故的最小值为. ……………… 5分
（2），
……………… 7分
当且仅当时等号成立．
解不等式，得的取值范围是． ……………… 10分
抚州市2020年高中毕业班教学质量监测卷
理科数学
说明：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知(1＋i)z＝i(i为虚数单位)，在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|log2(x－1)>2}，图中阴影部分所表示的集合为
A.(－∞，0]∪[4，5] B.(－∞，0)∪(4，5]
C.(－∞，0)∪[4，5] D.(－∞，4]∪(5，＋∞)
3.已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为，则实数a等于
A.±1 B.±2 C.± D.±
4.已知{an}是等比数列，a1>0，前n项和为Sn，则“2S8
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
并计算得到K2≈19.05，下列小波对地区A天气判断不正确的是
A.夜晚下雨的概率约为
B.未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C.有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D.出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
6.圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为
A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋16x＋y2＋39＝0 C.x2－16x＋y2－39＝0 D.x2＋y2－4x＝0
7.，log26，3log32的大小关系是
A.
A. B. C.＋1 D.＋1
9.已知函数f(x)＝，g(x)＝x3，则方程f(x)＝g(x－1)所有根的和等于
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，直线l1//l2，点A是l1、l2之间的一定点，并且点A到l1、l2的距离分别为2、4，过点A且夹角为的两条射线分别与l1、l2相交于B、C两点，则△ABC面积的最小值是
A.4 B.6 C.8 D.12
11.在三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，PC⊥AC，PA＝PB，且PC＋AC＝4。若三棱锥P－ABC的每个顶点都在球O的球面上，则球O的半径的最小值为
A. B. C. D.
12.设f(x)是在(0，＋∞)上的可导函数，且f'(x)≥＝f(x)，f(1)＝4，f(2)＝16，则下列一定不成立的是
A.f()＝8 B.f(3)＝40 C.f(4)＝72 D.f(5)＝120
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.(2x2＋x－1)5的展开式中x的系数是 。
14.设向量a＝(2cosθ，sinθ)，向量b＝(1，－6)，且a·b＝0，则等于 。
15.已知一个四棱柱的三视图如图(图中小正方形的边长为1)，则该四棱柱的全面积等于 。
16.已知数列{an}的通项公式是an＝2n，在a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an＋1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列。这样得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…。记数列{bn}的前n项和为Sn，有下列判断：
①xn1＋xn2＋…＋xnn＝3n·2n－1；②a10＝b66；③b72＝3072；④S55＝14337。
其中正确的判断序号是 。
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分。
17.(本小题满分12分)已知点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝。
(1)求外接圆O的面积。
(2)求。
18.(本小题满分12分)如图所示，已知四边形ABCD是菱形，平面AEFC⊥平面ABCD，EF//AC，AE＝AB＝AC＝2EF＝2。
(1)求证：平面BED⊥平面AEFC。
(2)若EA⊥AC，求二面角B－FD－C的余弦值。
19.(本小题满分12分)2020年春节期间，全国人民都在抗击“新型冠状病毒肺炎”的斗争中。当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足，某医院甚至面临断货危机，南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资，得知消息后，立即决定无偿捐赠这批医用防护物资，需要用A、B两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉。已知从南昌到武汉有两条合适路线选择，且选择两条路线所用的时间互不影响据调查统计2000辆汽车，通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下：
假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发，汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率)。为最大可能在约定时间送达这批物资，来确定这两车的路线。
(1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线。
(2)若路线1、路线2的“一次性费用”分别为3.2万元。1.6万元，且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计)，以上费用均由生产商承担，作为援助金额的一部分。根据这两辆车到达时间分别计分，具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立，互不影响)：
生产商准备根据运输车得分情况给出现金捐款，两车得分和为0，捐款40万元，两车得分和每增加1分，捐款增加20万元，者汽车A、B用(1)中所选的路线运输物资，记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元)，求随机变量Y的期望值。(援助总额＝一次性费用＋生产成本＋现金捐款总额)
20.(本小题满分12分)已知离心率为的椭圆C：的左顶点为A，左焦点为F，及点P(－4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。
(1)求椭圆C的方程
(2)斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记，线段MN上的点Q满足，试求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axex＋b(其中e是自然对数的底数，a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程是2ex－y－e＝0。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)设函数g(x)＝－mx－lnx，若g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)－＝0。
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
(2)设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|3x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|3x＋1|。
(1)当g(x)≥10时，恒有f(x)≥9，求a的最小值。
(2)当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围。
2020年高三质量监测理科数学参考答案
1.【答案】D
【解析】 ,所以复数的共轭复数对应的点是，在第四象限.
2.【答案】C
【解析】集合，由Venn图可知阴影部分对应的集合为，其中，则
3.【答案】A
【解析】抛物线即中，则.
4.【答案】B
【解析】因为是等比数列，，所以
或，
为递增数列，所以是必要不充分条件.
5.【答案】D
6.【答案】B
解析：设圆心为，由题意知圆心到直线的距离为，解得，则圆C的方程为，即为.
7．【答案】B
【解析】，，
，所以 .
8．【答案】Ｄ
【解析】在三角形中，，所以
，，
所以离心率.
9.【答案】C.
【解析】通过图象可以知道函数图象都关于点对称，并且两个函数图象有三个交点，所以和为.
10.【答案】C
【解析】设与垂线的夹角为，则，，
所以面积，
所以当，即当时，面积最小，最小值是.
11.【答案】D
【解析】因为三棱锥P－ABC中，底面ABC为正三角形，则AC＝BC，PA=PB，取边AB的中点D，连接PD，DC，则AB⊥PD，AB⊥DC，AB⊥面PCD，则AB⊥PC，且PC⊥AC，则PC⊥面ABC，不妨设，则，则，当时，，所以.
12.【答案】A
【解析】设，则，则为单调递增函数或常数函数，而，，所以在区间 上是常数函数，则，即
而.
（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）
13.【答案】
【解析】,
所以的系数为.
14.【答案】
【解析】因为，则，即，
则.
15.【答案】
【解析】该四棱柱的直观图如图，全面积等于
.
16.【答案】①③④
【解析】① ；
②在数列中是第项，所以；
③；
④
.
17．【解析】（1）由余弦定理得：……2分
所以，因此， ……………… 4分
所以外接圆的面积为. ………………6分
（2）设的中点为，则， ……………… 7分
所以=. …………… 12分
18．【解析】（1）证明：菱形中，， ……………… 1分
又因为平面平面，则，……………… 3分
，所以平面平面； ……………… 5分
（2）设与交于点，连接，因为，且，所以，因为，所以，而平面平面 ，所以.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，……… 7分
设平面的法向量为，
因为， ，所以
令x=2… 9分
又平面的法向量为，
，……………… 11分
由题可知，二面角的余弦值为. ……………… 12分
19．【解析】
（1）频率分布表如下：
所用的时间（单位：小时）
路线1的频率
路线2的频率
设分别表示汽车在约定交货时间前小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达；、分别表示汽车在约定交货前小时出发选择路线1、2将物资运往武汉且在约定交货时间前到达； ……………… 2分
，， ……………… 3分
，， ……………… 4分
所以汽车选择路线1，汽车选择路线2． ……………… 6分
（2）设表示汽车选择路线1时的得分，表示汽车选择路线2时的得分，
的分布列分别是：
……………… 8分
设则的分布列如下：
……………… 10分
， ……………… 11分
所以 （万元）
所以援助总额的期望值为. ……………… 12分
20．【解析】（1）依题意：，解得， ……… 4分
所以椭圆的方程是； ……………… 5分
（2）解法一：
设，则，
相减得：……(*) ………………7分
又由，知，，
由，知，， ……………… 9分
代入(*)式得：，即， ……………… 10分
又因为点在椭圆内，所以， ……………… 11分
所以△的面积. ……………… 12分
解法二：设，则，，
……………… 7分
设直线的方程为，代入椭圆的方程得：
，由△得，. ……………… 8分
所以 ，消去得到，
所以, ………… 11分
因此 △的面积. ………… 12分
解法三：设直线的方程为，代入椭圆的方程得：
，由△得，. ……………… 6分
所以 ，， ……………… 7分
，
原点到直线的距离 ……………… 9分
所以△的面积,
又因为，所以.
……………… 12分
21．【解析】（1）对函数求导得，……… 1分
由条件可知解得，
所以. ……………… 3分
.令得，于是，当，函数单调递减；当，函数单调递增.
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. ……………… 5分
（2）由（1）知
解法1 要使在上恒成立，只需即可.
因为所以在上单调递增.因为当时，，当时，，所以，上存在唯一的零点，满足，
所以 ……………… 7分
且在（）上单调递减，在上单调递增，
于是……………… 8分
由，此时必有，两边同时取自然对数，则有即.
构造函数，则，所以函数上单调递增，又，所以，即.……………… 11分
故于是实数的取值范围是
……………… 12分
解法2： 要使在上恒成立，等价于上恒成立.令，则只需即可. ……………… 6分
，则，所以在上单调递增，又，所以有唯一的零点，且，上单调递减，在上单调递增.
……………… 8分
因为，两边同时取自然对数，则有
即.
构造函数，则，所以函数上单调递增，又，所以，即.……………… 11分
所以.
于是实数m的取值范围是 ……………… 12分
解法3：要使在上恒成立，
等价于上恒成立.
先证明，令，于是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当t=1时取等号） ……………… 8分
所以，当时，有，即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是
……………… 12分
22．【解析】（1）由消去参数，得，
所以圆的普通方程为. .………………………2分
由，得， .………………………3分
所以直线的直角坐标方程为. .………………………5分
（2）设点的坐标为，则点到直线的距离为
， .………………8分
当时，取最小值，. .…………10分
23．【解析】（1）或 ⇔，
……………… 1分
或， ……………… 3分
依题意有：,即.
故的最小值为. ……………… 5分
（2），
……………… 7分
当且仅当时等号成立．
解不等式，得的取值范围是． ……………… 10分
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