江西省上饶市2024届高三一模数学试题及答案

这是一份江西省上饶市2024届高三一模数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．B．4C．D．
3．关于函数，下列选项中是对称中心的有（ ）
A．B．C．D．
4．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得．类比上述过程，则（ ）
A．B．C．D．
5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的导函数为B．在上单调递减
C．的最小值为D．的图象在处的切线方程为
7．已知抛物线：，则过抛物线的焦点，弦长为整数且不超过的直线的条数是（ ）
A．B．C．D．
8．作圆一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据，，…，的方差为7
B．若，，，则
C．在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点（）都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
D．某学校参加学科节数学学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第70百分位数是85．
10．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为30°B．到直线的距离为
C．平面D．平面
11．已知定义在上的函数满足，，且当时，，若函数在上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．当时，
C．当时，单调递减D．的取值范围是
12．空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为
B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
三、填空题
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）．
14．在平行四边形中，，，，点，分别是，的中点，则 ．
15．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
16．已知为坐标原点，双曲线：（，）的右焦点为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴上方），若点与点分别满足、，且，，，四点共圆，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题
17．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.
18．如图，三棱台，在边上，平面平面，，，，，．
(1)证明：；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
19．设为正项数列的前项和，若，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项和．
20．机动车辆保险即汽车保险（简称车险），是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险．机动车辆保险一般包括交强险和商业险两部分，其中商业险包括基本险和附加险．经验表明商业险保费（单位：元）由过去三年的出险次数决定了下一年的保费倍率，上饶市某机动车辆保险公司对于购买保险满三年的汽车按如下表格计算商业险费用．（假设每年出险次数2次及以上按2次计算）
(1)汽车的基准保费由车的价格决定，假定王先生的汽车基准保费为3000元，且过去8年都没有出险，近期发生轻微事故，王先生到汽车维修店询价得知维修费为1000元，理赔人员根据王先生过去一直安全行车的习惯，建议王先生出险理赔，王先生是否该接受建议？（假设接下来三年王先生汽车基准保费不变，且都不出险）
(2)张先生有多年驾车经验，用他过去的驾车出险频率估计概率，得知平均每年不出险的概率为0.8，出一次险的概率为0.1，出两次险的概率为0.1（两次及以上按两次算）．张先生近期买了一辆新车，商业险基准保费为3000元（假设基准保费不变），求张先生新车刚满三年时的商业险保费分布列及期望．
21．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点与曲线相交的两条线段和相互垂直（斜率存在，且在曲线上），、分别是和的中点．求证：直线过定点．
22．已知函数，若为实数，且方程有两个不同的实数根．
(1)求的取值范围：
(2)①证明：对任意的都有；
②求证：．
出险情况
商业险折扣
若基准保费3000元时对应保费
三年内6赔
1.8
5400
三-年内5赔
1.5
4500
三年内4赔
1.2
3600
三年内3赔
1
3000
三年内2赔
0.8
2400
三年内1赔
0.7
2100
三年内0赔
0.6
1800
参考答案：
1．D
【分析】根据指数不等式化简集合,进而根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】，故 ，所以.
故选:D
2．A
【分析】先根据复数的代数形式的乘除运算化简复数，再写出复数的共轭复数，再根据运算可得，即可得到的虚部.
【详解】因为，所以，
所以，所以的虚部为.
故选：A.
3．C
【分析】先求出函数对称中心，再逐项检验即可求解.
【详解】令解得，故对称中心为，
经检验只有，符合题意.
故选：C
4．B
【分析】令，代入解方程即可.
【详解】对于，令，
则，解得，
故选：B.
5．B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
6．C
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的性质、几何意义逐一判断即可.
【详解】A：，因此本选项不正确；
B：由上可知：，
当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；
C：由上可知：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；
D：由上可知，因为，
所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，
故选：C
7．C
【分析】根据抛物线的几何性质，焦点弦为通径最短，即可求解.
【详解】由抛物线：，可得焦点，
又根据抛物线几何性质得通径长为，
又，根据对称性，
所以弦长为整数且不超过的直线的条数是.
故选：C
8．C
【分析】由题意画出图形，把正十二边形的各点表示出来，结合选项一一判断即可.
【详解】如图：
可知，
，
直线的方程，即，A正确；
直线的方程，即，B正确；
直线的方程为，即，D正确.
经检验直线不符合,
故选：C.
9．BCD
【分析】根据方差的性质，可判定A不正确；根据条件概率的计算公式，可判定B正确；根据相关系数的含义，可判定C正确；根据百分位数的计算方法，可判定D正确.
【详解】对于A中，由数据之间满足，且样本数据的方差为，
所以数据，，…，的方差为，所以A错误；
对于B中，若，，
因为，可得，所以，
所以，所以B正确；
对于C中，因为样本点都在直线上，
可得样本数据是确定的函数关系，且，所以样本数据的线性相关系数为，
所以C正确；
对于D中，由10人的成绩： 72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，
可得，所以这10人成绩的第70百分位数是，所以D正确.
故选：BCD.
10．BC
【分析】建立适当空间直角坐标系后，对A，可借助空间向量计算直线与底面所成角的正弦值即可判断；对B，借助空间中点到直线的距离公式计算即可得；对C，借助空间向量可得，结合线面平行的判定定理即可得；对D，假设平面，则有，结合空间向量计算可得与不垂直，故假设不成立，即可得解D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、，
对A：由，，故，
易得平面的法向量可为，
则，故A错误；
对B：由，，有，又，
故，故B正确；
对C：由，，故，又，
有，故，又平面，平面，
故平面，故C正确；
对D：由，，故，又，
有，故与不垂直，
若平面，由平面，则会有，与已知矛盾，
故假设不成立，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】先根据题意得函数是偶函数，且是周期为2的周期函数，进而利用数形结合思想讨论各选项即可得答案.
【详解】根据题意得：知是偶函数，
由知是周期为2的周期函数，
因为当时，，所以有如图的函数图象，
对于A：由图可知图象关于对称，所以A正确；
对于B：当时，，所以B正确；
对于C：当时，由周期为2可知单调性与时的单调性相同，
易知当时，单调递增，所以C错误；
对于D：设，
则函数在上至少有三个不同的零点，
等价于函数与图象在上至少有三个不同的交点，
结合图象可知，则有，
即，解得，所以D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，根据内切关系可得三棱锥的各棱长，根据线线关系确定线面关系从而可求以四个球球心为顶点的四面体体积及与这四个球都外切或内切的球的半径，逐项判断即可得结论.
【详解】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，易知，，,
取中点，连接，

因为，点为中点，
所以，，则，
故，则，
因为平面，所以平面，
则，故A正确，B不正确；
若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为，半径为，则点在四面体内，取中点，中点，连接，

则，，又，，所以，
则球心在上，所以，
同理，代入解得或（舍），故C正确；
若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为，半径为，则，，且点在上，
所以，
同理，代入得或（舍），故D正确.
故选：ACD.
13．80
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，则，有.
故答案为：.
14．3
【分析】用，表示，后由数量积运算律可得答案.
【详解】由图可得，.
则.
又，则.
故答案为：3
15．
【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以，
故答案为：.
16．/
【分析】结合题意可得各点坐标，借助四点共圆的性质对角互补可得，结合斜率公式从而得到与、、有关的齐次式，即可解出离心率；亦可借助圆周角定理，由得到，结合两点距离公式从而得到与、、有关的齐次式，即可解出离心率.
【详解】解法一：
由已知得，点，，，，、
，，，四点共圆，，
又，，
，即：，
，，.
解法二：
由已知得，点，，，，
因为，根据圆的性质，可知，
，
解得，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用四点共圆所得的几何性质解题，可用四点共圆对角互补的性质得到，或由，利用圆周角定理得到，从而得到与、、有关的齐次式解出离心率.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得.
（2）利用三角形的面积求得，结合余弦定理、向量的模、数量积等知识求得的长.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
即，
又因为，所以，所以.
又因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，所以得，
由余弦定理得：.
又，
所以，
得，故的长为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合面面垂直的性质定理及判定定理、线面垂直的判定定理与性质定理，即可得线线垂直；
（2）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.
【详解】（1）在中，，，
由，解得，，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以；
（2）由（1）知平面，
故可以为原点，，的方向分别为，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
19．(1)（）
(2)
【分析】（1）利用，得，两式作差，整理得是等差数列即可求解；
（2）利用裂项相消和分组求和求解.
【详解】（1）由已知得：，
当时，，．
当时，得
．
，
数列是以2为首项2为公差的等差数列
（）
（2）由已知得：
．

．
20．(1)接受建议
(2)分布列见解析；期望为（元）
【分析】（1）计算出险和不出险两种情况的缴费情况，将差值与1000计较即可得结论；
（2）列出的可能值，分别计算概率再计算期望即可.
【详解】（1）由于王先生过去三年都没有出险，
若不出险，王先生接下来三年只需按最低标准1800元缴费，共需5400元．
若进行理赔，则接下来三年每年需2100元，共需6300元
，故出险理赔更划算.
（2）设商业险保费数额为随机变量，
则的可能值为5400，4500，3600，3000，2400，2100，1800．
则
则
（元）
21．(1)（）
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据斜率之积为列式整理即可；
（2）设直线为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出坐标，求出直线即可得定点.
【详解】（1）设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，
则，
整理得，则曲线方程为（）；
（2）由题意可知，设直线为（），，，，
则因为分别是的中点，所以，，
，
因为在椭圆上，
所以，由①－②，得，
即，于是有，
所以，
，解得．．
，将上式点坐标中的换成，
同理可得．
①当直线不垂直于轴时，直线的斜率，
其方程，化简得，
直线过定点．
②当直线垂直于轴时，，此时，，直线也过定点．
综上所述，直线过定点．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．(1)
(2)① 证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）求导，确定函数单调性，根据单调性画出函数草图，根据图象得答案；
（2）①构造函数，求导，确定单调性，极值和端点值即可得证明结论；②不妨设，则，利用将不等式转化为，构造函数，求导，确定单调性，求出最值证明即可.
【详解】（1），，，，
在上为增函数，在上为减函数
，，且时，．
故函数的图象如下：
因为方程有两个不同的实数根，
所以；
（2）（ⅰ）记，，
则，，设，
则，
在上为减函数，
，，
存在，使得，
时，；时，，
在上为增函数，在上为减函数，
又，，；
（ⅱ）不妨设，则，
由（1）知，又，
要证
只要证
，
记，，
，
在上为增函数，，
成立，
成立.
【点睛】方法点睛：对于双变量问题的解答，我们要根据题目条件转化为单变量问题，然后构造函数求导来解决，