2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.4 抛物线（精练）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 9.4 抛物线（精练）（提升版）（原卷版+解析版），共21页。
A．B．C．D．
2． (2023·全国·课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
3． (2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
4． (2023·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
5． (2023·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
题组二 直线与抛物线的位置关系
1． (2023·安徽·高三开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（ ）
A．B．或C．或D．或
2． (2023·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·课时练习）已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）
4． (2023·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．
5． (2023·山东）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．
题组三 弦长
1． (2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
2． (2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
3． (2023·海南 ）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______
4 (2023·长宁区 ）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
题组四 综合运用
1． (2023·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则
D．若直线与与拋物线都相切，则
3． (2023·全国·单元测试）（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A．B．为线段的中点
C．D．
4． (2023福建）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为6
5． (2023·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（ ）
A．B．点在直线上
C．为直角三角形D．面积的最小值为16
6． (2023·全国·）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
7． (2023·湖南·高三开学考试）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
8． (2023·湖南）（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为B．线段的长度为
C．D．线段的中点到轴的距离为
9． (2023·河北）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．以为直径的圆与准线相切
C．若，则D．
9.4 抛物线（精练）（提升版）
题组一 抛物线的定义及应用
1． (2023·广西贵港）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.
2． (2023·全国·课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】
【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．
故答案为：；．
3． (2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，
所以的最小值为，
故答案为：
4． (2023·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，
则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而，故的最小值为，
故答案为：3
5． (2023·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.
题组二 直线与抛物线的位置关系
1． (2023·安徽·高三开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】D
【解析】因为焦点，设，令，
由，消可得
，，所以，
所以所以，解得：
所以的斜率为，则的倾斜角或
故选：D.
2． (2023·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设直线方程为：，，联立方程得，有.
，，，
故中点，即圆心C的坐标为
直径.
因为以为直径的圆经过，故有，
即，
化简得：，故直线方程为：，当时，，
即直线经过定点.
故选：D
3． (2023·全国·课时练习）已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，
当时，，易知直线过点，且与抛物线只有一个公共点，符合题意．
当时，联立，可得，．当时，，解得或，此时直线l的方程为或，即或，
易知直线和直线都过点，且与抛物线都只有一个公共点，符合题意．
故直线l的方程可以是或或．
故答案为：（答案不唯一）
4． (2023·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】设直线的方程为，
且直线与抛物线交于，，联立，
可得，所以，
所以，取等号时，
所以抛物线过焦点的弦长最短为，
又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，
所以，所以，取，此时抛物线方程为．
故答案为：（答案不唯一，满足即可）
5． (2023·山东）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．
【答案】或或
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．
当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；
当时，设直线l的方程为，由，得，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或，
即或．
综上，直线l的方程为或或．
题组三 弦长
1． (2023·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
【答案】4
【解析】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为且，
所以，即，
所以，可得，因为，所以.
故答案为：.
2． (2023·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
【答案】8
【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设的方程为，，
则由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案为：8．
3． (2023·海南 ）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______
【答案】
【解析】由抛物线可得，设直线的方程为，
由 ，可得，
设，，则，
所以，
则线段的中点坐标，
到直线的距离为，
则点，到直线的距离之和，
所以当时，取最小值，
此时，
故答案为：.
4 (2023·长宁区 ）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
【答案】16
【解析】联立，得：，即，
设，，则，，
所以.故答案为：16.
题组四 综合运用
1． (2023·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】设，由得，所以，所以，
又点在直线l上，所以，所以A正确，B错误；
对于C，因为直线l经过抛物线的焦点，所以，所以C正确；
对于D，因为，所以
，所以，所以D错误，
故选:AC．
2． (2023·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则
D．若直线与与拋物线都相切，则
【答案】ACD
【解析】设方程为，由得，，
，，
A．由得得，所以直线过点，A正确；
B．，
由，当时，，，B错误；
C．，，，
，即，所以，，，C正确；
D．设（或）方程为，
由上面推理过程得，，
代入得，，
不妨设，，则，所以直线过点，D正确．
故选：ACD．
3． (2023·全国·单元测试）（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）
A．B．为线段的中点
C．D．
【答案】AB
【解析】易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，
解得，．
由，得，
∴．
过点作垂直准线于点，易知，
∴，∴．.
∵，∴为线段的中点．
故选：AB．
4． (2023福建）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为6
【答案】ACD
【解析】由抛物线方程知，准线方程为，由题意可知，直线的斜率存在，
可设：，设，．
对于选项A，易知，∵为的中点，
∴点到准线的距离，
∴以线段为直径的圆与直线相切，A正确；
对于B，由，得，
，，，
∴，∴，
设的中点为，则，，
∵不恒成立，∴以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误；
对于C，若，则，不妨设，，∵，∴，，则，，∴，C正确；
对于D，∵，∴当时，，D正确．
故选:ACD．
5． (2023·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（ ）
A．B．点在直线上
C．为直角三角形D．面积的最小值为16
【答案】BCD
【解析】由题可知，抛物线的焦点，
显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，
，，
由得，，，
故切线的方程为：①
故切线的方程为：②
联立①②得
，
对于A，，，不正确，故A不正确；
对于B，，显然点在直线上，故B正确；
对于C，，，，，
将，，且，，代入上式化简得：
，，为直角三角形，故C正确；
对于D，到直线的距离为：，
，
，当时，，故D正确.
故选：BCD
6． (2023·全国·）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
【答案】ACD
【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
7． (2023·湖南·高三开学考试）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.
故选：ACD.
8． (2023·湖南）（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为B．线段的长度为
C．D．线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【解析】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
9． (2023·河北）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．以为直径的圆与准线相切
C．若，则D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．
对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；
对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．
又的坐标为，所以，故C错误．
对于D，连接，则由，
得，又轴，所以，
同理，
所以，
所以，所以，所以D正确.
故选：ABD.