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2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 6.7 均值与方差在生活中的运用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 6.7 均值与方差在生活中的运用（精讲）（基础版）（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了均值与方差的性质，利用均值最决策，均值与其他知识的结合等内容，欢迎下载使用。
考点呈现
例题剖析
考点一 均值与方差的性质
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
【答案】D
【解析】根据分布列可知，解得，，
，所以.故选：D.
【例1-2】 (2023·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
E（X）不变 B．E（X）减小
C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
【答案】D
【解析】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．故选：D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由，解得由随机变量的分布列的性质得，得所以故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由分布列的性质得，∴，故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习（理））设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】D
【解析】，
，令，则，易得单调递减，又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小.故选：D.
考点二 利用均值最决策
【例2】 (2023·江西九江）电子竞技（Electrnic Sprts）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：
首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；
第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；
第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；
第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.
现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.
(1)估计战队获得冠军的概率；
(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：
方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；
方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.
请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】(1)由题意可知，战队获得冠军有以下3种可能情况：
①“胜胜胜”概率为
②“败胜胜胜”概率为
③“胜败胜胜”概率为
则战队获得冠军的概率为；
(2)战队获得殿军的情况是“败败”，故战队获得殿军的概率为，
则获得亚军或季军的概率为，
设方案1中战队获奖金额为，则其分布列为
若选择方案1，则战队获奖金额的期望为（万元）
设方案2中战队获奖金额为，则其分布列为
若选择方案2，则战队获奖金额的期望为（万元）
∵，故选择方案1、方案2均可.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.
（i）求5个样品全部测试合格的概率；
（ii）求4个样品测试合格的概率.
(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.
【答案】(1)（i）（ii）
(2)选择甲方案测试的样品个数为，或者
【解析】(1)（i）因为3个样品选择甲方案, 2个样品选择乙方案,
所以5个样品全部测试合格的概率为
（ii）4个样品测试合格分两种情况,
第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,
此时概率为
第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,
此时概率为
所以 4 个样品测试合格的概率为
(2)设选择甲方案测试的样品个数为, 则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,
当时, 此时所有样品均选择方案乙测试, 则,
所以, 不符合题意;
当时, 此时所有样品均选择方案甲测试, 则
所以,符合题意;
当时, ,
所以
若使, , 则,
由于, 故时符合题意,
综上, 选择甲方案测试的样品个数为 3,4 或者5时, 测试合格的样品个数的期望不小于3 .
2． (2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
【答案】(1)
(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，理由见解析.
【解析】(1)解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，
，
所以该团队能进入下一关的概率为．
(2)解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，
根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；
则，，，
，
所以．
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
由交换前，
所以交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
考点三 均值与其他知识的结合
【例3】 (2023·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②(2)
【解析】(1)①由题意得：，解得：，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的[40，50)的学生为， [50，60)的学生为， [60，70)的学生为，
这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有，
，
共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有，共6种情况，
所以这2人均来自[60，70)的概率为.
(2)小明考试的次数为2次的概率为，
考试次数为3次的概率为，
考试次数为4次的概率为，
考试次数的期望值为，
所以，解得：，
因为，所以
即的取值范围是.
【一隅三反】
1． (2023·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
【答案】(1)(2)，选方案一；，方案一、方案二均可；，选方案二．
【解析】(1)采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
(2)若采用方案一，设其答对题数为，得分为X
则，，
∴
若采用方案二，设其得分为Y，则，20，30，50，60，90
，
，，
令，则，解得或（舍去）
即，选方案一数学期望大
，则，方案一、方案二数学期望一样
，则，选方案二数学期望大
综上所述：选方案一；方案一、方案二均可；选方案二．
2． (2023·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
【答案】(1)甲的合格率为，乙的合格率为
(2)分布列见解析，
(3)当时，最大
【解析】(1)根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
(2)设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
(3)设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.
(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；
(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：记事件“此批零件检测未通过，恰好检测5次”则前4次有1次未通过，第5次未通过.
即恰好检测5次未通过的概率为；
(2)由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，
设每件零件可获利X元，；50；
；；，
则，
解得，
即：每件零件为合格零件的概率p的最小值为2
3
6
P
a
X
0
a
1
P
X
0
1
2
P
a
0
p
1
P
24
15
0
40
30
0
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
10
a
30
a+5
10
0
1
2
6.7 均值与方差在生活中的运用（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 均值与方差的性质
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
【例1-2】 (2023·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
E（X）不变 B．E（X）减小
C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习（理））设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
考点二 利用均值最决策
【例2】 (2023·江西九江）电子竞技（Electrnic Sprts）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：
首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；
第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；
第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；
第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.
现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.
(1)估计战队获得冠军的概率；
(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：
方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；
方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.
请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.
（i）求5个样品全部测试合格的概率；
（ii）求4个样品测试合格的概率.
(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.
2． (2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
考点三 均值与其他知识的结合
【例3】 (2023·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.
【一隅三反】
1． (2023·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
2． (2023·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.
(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；
(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？2
3
6
P
a
X
0
a
1
P
X
0
1
2
P
a
0
p
1
P
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
10
a
30
a+5
10
考点呈现
例题剖析
考点一 均值与方差的性质
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
【答案】D
【解析】根据分布列可知，解得，，
，所以.故选：D.
【例1-2】 (2023·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
E（X）不变 B．E（X）减小
C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
【答案】D
【解析】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．故选：D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由，解得由随机变量的分布列的性质得，得所以故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由分布列的性质得，∴，故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习（理））设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】D
【解析】，
，令，则，易得单调递减，又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小.故选：D.
考点二 利用均值最决策
【例2】 (2023·江西九江）电子竞技（Electrnic Sprts）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：
首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；
第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；
第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；
第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.
现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.
(1)估计战队获得冠军的概率；
(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：
方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；
方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.
请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】(1)由题意可知，战队获得冠军有以下3种可能情况：
①“胜胜胜”概率为
②“败胜胜胜”概率为
③“胜败胜胜”概率为
则战队获得冠军的概率为；
(2)战队获得殿军的情况是“败败”，故战队获得殿军的概率为，
则获得亚军或季军的概率为，
设方案1中战队获奖金额为，则其分布列为
若选择方案1，则战队获奖金额的期望为（万元）
设方案2中战队获奖金额为，则其分布列为
若选择方案2，则战队获奖金额的期望为（万元）
∵，故选择方案1、方案2均可.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.
（i）求5个样品全部测试合格的概率；
（ii）求4个样品测试合格的概率.
(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.
【答案】(1)（i）（ii）
(2)选择甲方案测试的样品个数为，或者
【解析】(1)（i）因为3个样品选择甲方案, 2个样品选择乙方案,
所以5个样品全部测试合格的概率为
（ii）4个样品测试合格分两种情况,
第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,
此时概率为
第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,
此时概率为
所以 4 个样品测试合格的概率为
(2)设选择甲方案测试的样品个数为, 则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,
当时, 此时所有样品均选择方案乙测试, 则,
所以, 不符合题意;
当时, 此时所有样品均选择方案甲测试, 则
所以,符合题意;
当时, ,
所以
若使, , 则,
由于, 故时符合题意,
综上, 选择甲方案测试的样品个数为 3,4 或者5时, 测试合格的样品个数的期望不小于3 .
2． (2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
【答案】(1)
(2)先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小，理由见解析.
【解析】(1)解：记“团队能进入下一关”的事件为，则“不能进入下一关”的事件为，
，
所以该团队能进入下一关的概率为．
(2)解：设按先后顺序各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，
根据题意知的所有可能的取值为1，2，3；
则，，，
，
所以．
若交换前两个人的派出顺序，则变为，
由此可见，当时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
由交换前，
所以交换后的派出顺序则变为，
当时，交换后的派出顺序可增大均值．
所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
考点三 均值与其他知识的结合
【例3】 (2023·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②(2)
【解析】(1)①由题意得：，解得：，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的[40，50)的学生为， [50，60)的学生为， [60，70)的学生为，
这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有，
，
共有21种情况，其中这2人均来自[60，70)的情况有，共6种情况，
所以这2人均来自[60，70)的概率为.
(2)小明考试的次数为2次的概率为，
考试次数为3次的概率为，
考试次数为4次的概率为，
考试次数的期望值为，
所以，解得：，
因为，所以
即的取值范围是.
【一隅三反】
1． (2023·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
【答案】(1)(2)，选方案一；，方案一、方案二均可；，选方案二．
【解析】(1)采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题
∴其概率为
(2)若采用方案一，设其答对题数为，得分为X
则，，
∴
若采用方案二，设其得分为Y，则，20，30，50，60，90
，
，，
令，则，解得或（舍去）
即，选方案一数学期望大
，则，方案一、方案二数学期望一样
，则，选方案二数学期望大
综上所述：选方案一；方案一、方案二均可；选方案二．
2． (2023·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
【答案】(1)甲的合格率为，乙的合格率为
(2)分布列见解析，
(3)当时，最大
【解析】(1)根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为，乙同学合格的概率为.
(2)设一轮比赛中，甲同学获得的个数为，则的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得的个数为0，1，2，
故的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
(3)设10轮比赛中，甲同学获得的个数为，则，
则 (且)．
由于，
因为随着的增大而增大，
所以时，，则有；
时，，则有，
故当时，最大．
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.
(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；
(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解：记事件“此批零件检测未通过，恰好检测5次”则前4次有1次未通过，第5次未通过.
即恰好检测5次未通过的概率为；
(2)由题意可得，合格产品利润为70元，不合格产品修复合格后利润为50元，不合格产品修复后不合格的利润为元，
设每件零件可获利X元，；50；
；；，
则，
解得，
即：每件零件为合格零件的概率p的最小值为2
3
6
P
a
X
0
a
1
P
X
0
1
2
P
a
0
p
1
P
24
15
0
40
30
0
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
10
a
30
a+5
10
0
1
2
6.7 均值与方差在生活中的运用（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 均值与方差的性质
【例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
【例1-2】 (2023·广西桂林）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
E（X）不变 B．E（X）减小
C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下所示，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习（理））设，随机变量的分布列是
则当p在区间内增大时，（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
考点二 利用均值最决策
【例2】 (2023·江西九江）电子竞技（Electrnic Sprts）是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼.电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神.第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”.以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：
首轮比赛：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛.根据比赛结果（每场比赛只有胜、败两种结果），两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；
第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得殿军）；胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；
第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队（该战队获得季军）；
第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军.
现有包括战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”.已知战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响.
(1)估计战队获得冠军的概率；
(2)某公司是战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：
方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；
方案2：获得冠军则奖励（其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元），其他情况不奖励.
请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习（理））产品开发是企业改进老产品､开发新产品，使其具有新的特征或用途，以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段，需要对5个样品进行性能测试，现有甲､乙两种不同的测试方案，每个样品随机选择其中的一种进行测试，已知选择甲方案测试合格的概率为，选择乙方案测试合格的概率为，且每次测试的结果互不影响.
(1)若3个样品选择甲方案，2个样品选择乙方案.
（i）求5个样品全部测试合格的概率；
（ii）求4个样品测试合格的概率.
(2)若测试合格的样品个数的期望不小于3，求选择甲方案进行测试的样品个数.
2． (2023·全国·南京外国语学校模拟预测）真人密室逃脱将玩家关在一间密闭的房间中，主持人讲述相关的故事背景和注意事项，不同的主题有不同的故事背景，市面上较多的为电影主题，宝藏主题，牢笼主题等．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加真人密室逃脱，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在5分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．甲在5分钟内解开密码锁的概率为0.8，乙在5分钟内解开密码锁的概率为0.6，丙在5分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．
(1)求该团队能进入下一关的概率；
(2)该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小？并说明理由．
考点三 均值与其他知识的结合
【例3】 (2023·内蒙古）某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.
【一隅三反】
1． (2023·湖北·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为P，且能正确回答问题的概率与回答次序无关
(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；
(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．
2． (2023·云南师大附中）某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为，不合格者为；若两名参赛选手，同时合格或同时不合格，记两名选手都是.在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得（，）个的概率为，当最大时，求.
3． (2023·湖南·长郡中学模拟预测）某工厂对一批零件进行质量检测，具体检测方案是：从这批零件中任取10件逐一进行检测，当检测到2件不合格零件时，停止检测，此批零件未通过，否则检测通过.设每件零件为合格零件的概率为p，且每件零件是否合格是相互独立的.
(1)已知，若此批零件检测未通过，求恰好检测5次的概率；
(2)已知每件零件的生产成本为80元，合格零件的售价为每件150元.现对不合格零件进行修复，修复后按正常零件进行销售，修复后不合格零件以每件10元按废品处理.若每件零件修复的费用为每件20元，每件不合格的零件修复为合格零件的概率为工厂希望每件零件可获利至少60元.求每件零件为合格零件的概率p的最小值？2
3
6
P
a
X
0
a
1
P
X
0
1
2
P
a
0
p
1
P
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
5
10
a
30
a+5
10
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