2024年新高考数学培优专练13 利用导数证明或求函数的单调区间（原卷版+解析）

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1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是的极值点
C．存在零点D．在单调递增
【答案】AD
【分析】
求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数，即可判断选项B、D，由，即可判断选项C，从而可得结论．
【详解】
由题可知的定义域为，
对于A，，则，故A正确；
对于B、D，，所以函数单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；
对于C，，故函数不存在零点，故C错误．
故选：AD．
3．已知函数，，则下列结论正确的有（ ）
A．在区间上单调递减
B．若，则
C．在区间上的值域为
D．若函数，且，在上单调递减
【答案】ACD
【分析】
先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，
对于选项A：当时，可得，可得在区间上单调递减；当，可得，可得在区间上单调递减，最后作出判断；
对于选项B：由在区间上单调递减可得，可得，进而作出判断；
对于选项C：由三角函数线可知，所以，，进而作出判断；
对于选项D：，可得，然后利用导数研究函数在区间上的单调性，可得，进而可得出函数在上的单调性，最后作出判断.
【详解】
， ，
当时，，由三角函数线可知，
所以，即，所以，
所以，所以在区间上单调递减，
当，，，所以，，
所以在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，故选项A正确；
当时，，
所以，即，故选项B错误；
由三角函数线可知，所以，，
所以当时，，故选项C正确；
对进行求导可得：
所以有，
所以，所以在区间上的值域为，
所以，在区间上单调递增，因为，
从而，所以函数在上单调递减，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.
4．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】BD
【分析】
本题首先可根据以及判断出A错误，然后根据当时的函数单调性、当时的函数单调性、以及判断出B正确和C错误，最后根据得出，根据函数单调性即可证得，D正确.
【详解】
函数的定义域为，
当时，，；
当时，，，
A项：，，
则曲线在处的切线方程为，即，A错误；
B项：当时，，函数是减函数，
当时，，函数是减函数，
因为，，所以函数恰有2个零点，B正确；
C项：由函数的单调性易知，C错误；
D项：当、时，
因为，
所以，
因为在上为减函数，所以，，
同理可证得当、时命题也成立，D正确，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于，则函数是增函数，若导函数值小于，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.
5．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递增
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
【答案】AC
【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
对于A，当时，，，
因为时，，即，所以在上单调递增，故A正确；
对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；
对于C，当时，，，，
当时，，，则恒成立，即在上单调递增，
又，
，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一极小值点，
由，可得，
因为，所以，则，故C正确；
对于选项D，，，
令，得，
，，则，
令，得，则，
令，得，则，此时函数单调递减，
令，得，则，此时函数单调递增，
所以时，取得极小值，极小值为，
在的极小值中，最小，
当时，单调递减，所以函数的最小值为，
当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
二、单选题
6．已知定义域为R的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件得到，构造函数，利用已知条件得到函数为奇函数且函数在上单调递减，由奇偶性可知，函数在上单调递减，得到，利用单调性求解即可.
【详解】
依题意，，
故，
令，
可知，函数为奇函数.
因为当时，，
即当时，，
故函数在上单调递减，
由奇偶性可知，函数在上单调递减，
因为，
故，
即，
故，
故，
故实数m的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
关键点睛：构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
当时，,,求出此时函数的单调区间，根据选项的图象，可得答案.
【详解】
当时，，
则
当时，，则在上单调递增.
当时，，则在上单调递减.
根据选项，只有选项C满足
故选：C
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
构造，由，可得为奇函数，利用导数可知在上单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.
【详解】
，
令，且，则在上单调递减.
又
为奇函数，在上单调递减.
，且
代入得，
转化为，即
由于在上递减，则，解得：
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用进行抽象函数构造，常见类型：
（1）利用与的构造，常用构造形式有：出现“”用，出现“”用；
（2）利用与的构造，常用构造形式有：出现，构造函数；出现，构造函数；
9．函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案.
【详解】
因为，
所以，
当时，，则在为减函数，
因为，
所以，即，
故选：B
10．已知函数，则其单调增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导，求函数的单调递增区间，即求不等式，解不等式即可的答案.
【详解】
由，函数定义域为，
求导，令，得或（舍去）
所以单调增区间是
故选：A.
11．某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是（ ）
A．函数的图象过点(2，1)
B．函数在x＝0处有极值
C．函数的单调递减区间为[0，2]
D．函数的图象关于点(1，0)对称
【答案】D
【分析】
首先假设4个选项都正确，依题意只有一个错误选项，即可得到BC都正确，从而求出、的值，
【详解】
解：题意对于A选项，；
对于B选项，；
对于C选项，由递减区间可得；
因为有且仅有一个选项错误，所以B、C正确，所以，
对于D选项，函数的图象关于点(1，0)对称，则有，
可赋值得到：当x=0时，，当x=1时，，即可得到解得与解得，显然有两个取值，故D错误；
所以A正确，解得，所以，所以，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，故ABC均正确；
故选：D
【点睛】
本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值，函数的对称性的应用，若，则关于成中心对称；
12．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；
【详解】
解：因为，定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，所以排除A、D；
令，则，所以当时，所以在上单调递减，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即函数在上单调递减，故排除C，
故选：B
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
13．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以,故应选D.
考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.
【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.
14．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据导函数与单调性关系，可知为上的单调函数，设，
利用换元法即可得，进而可得为增函数，即可知也为增函数，先求得，并令，结合正弦函数的性质即可确定k的取值范围.
【详解】
由函数没有零点，即方程无解，则或恒成立，
所以为上的单调函数，
都有，则为定值，
设，
则，易知为上的增函数，
∵，
∴，
又与的单调性相同，
∴在上单调递增，则当时，恒成立.
当时，，
所以由正弦函数性质可知，
∴.
所以，即，
故选：A.
【点睛】
本题考查了导函数与单调性关系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.
15．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：
①-3是函数y=f(x)的极值点；
②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；
③-1是函数y=f(x)的最小值点；
④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.
以上正确命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】A
【分析】
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】
根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；
则是函数的极小值点，故①正确；
∵在上单调递增，不是函数的最小值点，故③不正确；
∵函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故④不正确.
故选：A
【点睛】
方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：
1. 先求出原函数的定义域；
2. 对原函数求导；
3. 令导数大于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；
4. 若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．
16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞1，则不等式的解集为（ ）
A．(-∞，2)∪(2，+∞)B．(-∞，2)∪(0，2)
C．(-2，0)∪(2，+∞)D．(-2，0)∪(0，2)
【答案】B
【分析】
设由奇偶性的定义可判断该函数的奇偶性，结合导数即可求出函数的单调性，从而可求出不等式的解集.
【详解】
解：设，则，
即在上单调递增，因为在上为偶函数，即，
则，，由，
得在上为奇函数，所以在上单调递增，等价于 ，
当时，，则；
当时，，则；
综上所述，的解集为，
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用导数求函数的单调性，考查了利用单调性解不等式，属于中档题.本题的关键是合理构造新函数.
17．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是值域的子集，只要求出两函数在上的值域，列出不等式组可求得答案
【详解】
依题意，
则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，；
而函数在上单调递减，
故，
则只需，
故，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
18．若定义在上的函数满足，且当时，，则满足的值（ ）
A．恒小于0B．恒等于0C．恒大于0D．无法判断
【答案】C
【分析】
当时，求导，得出导函数恒小于零，得出在内是增函数.再由得的图象关于直线对称，从而得在内是减函数，由此可得选项．
【详解】
当时，，则在内是增函数.
由得的图象关于直线对称，∴在内是减函数，
.∴.
故选：C．
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性，抽象函数的对称性的应用，以及由函数的单调性比较其函数的大小关系，属于中档题．
19．下列区间是函数的单调递减区间的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案.
【详解】
由已知得，
A.当时，，所以，是单调递增函数，错误；
B. 时，，，是单调递减函数，正确；
C. 时，，所以，是单调递增函数，错误；
D. 时，，所以，是单调递增函数，错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.
20．已知为偶函数，且，令，若时，，关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】C
【分析】
先对函数求导，根据题中条件，判定时，函数单调递增，根据函数奇偶性，得到在上单调递减；结合函数奇偶性与单调性，即可求出不等式的解集.
【详解】
因为，则，
当时，，所以，
即函数在上单调递增；
又为偶函数，所以在上单调递减；
因为，所以，
则不等式可化为，
则，即，解得.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由导数的方法判定函数单调性，考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型.
21．已知，则函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，对求导得，构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出恒成立，从而得出在上恒成立，根据导函数和原函数的关系，即可求出的单调减区间.
【详解】
解：由题可知，，且的定义域为，
则，
令，则，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为：，
故恒成立，故在上恒成立，
所以在上单调递减，即函数的单调减区间为.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，还涉及利用构造函数法解决恒成立问题，考查运算能力和转化思想.
22．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据分段函数一侧的单调性，确定另一侧的单调性，再比较分界点处函数值的大小，求实数的取值范围.
【详解】
因为函数在上是单调函数，并且当时，，
，所以函数在单调递增，所以时，也是增函数，所以，即，
并且在分界点处需满足当时，，
解得：，
综上可知 实数的取值范围是.
故选：B
【点睛】
本题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.
23．已知f(x)是定义在R上的连续函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)-f(-x)+4x=0.若当x>0时，f′(x)>-2，则不等式f(x-2)-f(x)>4的解集为（ ）
A．(-∞，-1)B．(-∞，1)C．(-1，+∞)D．(1，+∞)
【答案】B
【分析】
设函数，根据条件得出函数的奇偶性和单调性，再由条件可得，根据单调性和偶函数的性质解出不等式即可.
【详解】
设函数，
由，可得
即，所以为偶函数.
又，所以在上单调递增.
由，可得
即，即
所以，即，解得
故选：B
【点睛】
本题考查构造函数，利用导数判断出函数的单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.
24．已知函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
构造函数，，利用导数得到函数在上单调递增，且，又函数在上单调递增，且，所以函数，在上单调递增，且，再利用函数奇偶性的定义得到函数是偶函数，所以，，利用指数函数和对数函数的性质得到，结合函数的单调性即可得到．
【详解】
解：函数，
设，，
则在恒成立，
函数在上单调递增，
，
即函数在上单调递增，且，
又函数在上单调递增，且，
函数，在上单调递增，且，
又，
函数是偶函数，
，，
，，而，，
，
又函数在上单调递增，
，
即，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数的奇偶性，是中档题．
三、解答题
25．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）2.
【分析】
（1）当时，对函数求导，利用导数判断其单调性即可；
（2）对函数求导，可得，分和两种情况，分别讨论函数的单调性，结合当时，恒成立，可求出答案.
【详解】
（1）当时，，所以.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，所以.
①当时，由，可得恒成立，所以单调递增，
所以，而，所以恒成立；
②当时，令，可得；由，可得.
所以在单调递减，在单调递增.
因为恒成立，所以，
即，所以.
设，则，
因为，所以，所以，
故在单调递减.
又因为，，，
所以存在，使得，
且当时，；当时，.
又因为且为整数，所以的最大值为2.
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
（1）讨论最值法：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式的参数的范围；
（2）分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数最值，从而求出参数的取值范围.
26．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当，时，证明：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由得到 求导由， 求解.
（2）求导，分，讨论求解.
【详解】
（1）当时， ，.
所以
当时，；
当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
所以.
①当，时，恒成立，
所以单调递增，
所以，而，所以恒成立；
②，时，由可得；由可得.
所以在单调递减，在单调递增，
所以.
设，则，
所以在单调递减，
故，
所以，从而.
综上，当，时，.
【点睛】
方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2、利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式.
27．函数.
（1）若，求的单调性；
（2）当时，若函数有两个零点，求证：.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导得，设，利用导数可得的单调性，并可得的零点，即可求出的单调性；
（2）由函数有两个零点，所以，即有两个不等实根，利用导数求得的单调性，结合题意可得，求出的范围，利用对勾函数的单调性即可证明.
【详解】
（1）因为，（），
所以.
设，则，
所以在单调递增，
又因为，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：因为函数有两个零点，
所以方程有两个不等实根.
设，即有两个不等实根，
则.
设，则由可知，
而的对称轴方程为，且，
所以存在使得，即，
且当时，，则，所以单调递减；
当时，，则，所以单调递增.
因为有两个不等实根，所以必有，即.
将，代入整理可得.
设，则易得在上单调递减，
又，所以，
结合对勾函数在单调递增可知，
即成立，命题得证.
【点睛】
解题的关键是利用导数判断函数的单调性，当导函数无法直接判断正负时，可构造新函数，并继续求导，即可求出导函数的单调性和极值，进而可得导函数的正负，即原函数的单调性，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题.
28．设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）由得，对函数求导，根据导数的方法，即可求出单调区间；
（2）先对函数求导，根据导数的方法判定函数单调性，得到，为使有两个不同的零点，首先，解得，再判断和时，函数都有零点，即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，
则，
令，则，
所以当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
即函数的单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）因为，
所以，
因为，
由得；由得；
所以在上单调递减，在上单调递增；
因此，
要使有两个不同的零点，
则首先，即，所以，解得；
当时，，
令，，则，，
由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此在上单调递增，因此，即在上恒成立，
所以当时，，
此时；
当时，，
令，可得；
取且知，
故满足在和各有一个零点；
综上，的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：
利用导数解决函数零点问题的方法：
1.直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；
2.构造新函数法：将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；
3.分离参变量法：即由分离参变量，得，研究直线与的图像的交点问题.
29．已知函数.
（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由a= -2，求导，再由，求解即可,
（2）求导，根据f(x)有两个极值点x1，x2，得到x1，x2为方程的两个不等实根，然后结合韦达定理得到，再
令，用导数法证明即可.
【详解】
（1）f(x)的定义域是.
当a= -2时，，，
当时，，当时，，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
因为f(x)有两个极值点x1，x2，
故x1，x2为方程的两个不等实根，
所以，
.
,
令，
则，
在单调递增，
故
.
【点睛】
思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式．
30．设函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若时，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求得，然后可得答案；
（2）分、、三种情况讨论，每种情况下利用导数研究其单调性，结合可得答案.
【详解】
（1）的定义域为，
当时，，，
当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，当且仅当时等号成立..
若，，不符合条件.
若，，.
令，得或，
若，则当时，单调递减，此时，不符合条件.
若，则当时，，单调递增，
此时，即当时，.
综上所述，的取值范围是
【点睛】
方法点睛：在处理函数有关的不等式时，一般是利用函数的单调性和特殊点的函数值解决.
31．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，设点的横坐标为，的面积为.
（i）求证：；
（ii）当取得最小值时，求的值.
【答案】（1）的增区间为和；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【分析】
（1）求导，令，再利用导数法研究其正负即可.
（2）（i）设，(其中)，则的面积，即，由，得到，然后再由及，利用斜率公式得到求解；（ii）由（1）得到为增函数，则最小最小最小，令，再利用导数法求解.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
，
令，则.
因为；，
所以在上为减函数，在上为增函数.
当时，，即，
当时，，即.
所以当时，，
所以在区间和上都是增函数.
因此的增区间为和，没有减区间.
（2）（i）证明：，设(其中)，
由题意，得的面积，即.
由，得，
由及，得，
所以，
故成立.
（ii）由（1），得为增函数，
于是最小最小最小.
令，则，
再令，
则，
所以当时，单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当时，，即；
当时，，即，
所以是的极小值点，也的最小值点，
所以当时，取得最小值，等价于最小，此时，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
32．已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若的定义域为时，值域为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）的单调递增区间为、；单调递减区间为；（3）3.
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，根据点斜式求出切线方程；
（2）令和分别可得单调递减和递增区间；
（3）根据在上的单调性，结合；；；以及值域为可得，从而可得结果.
【详解】
（1）由，得，所以
所以切线方程为，即：
（2）令，得，令，得或，.
所以的单调递增区间为、；单调递减区间为.
（3）由（1）知，函数在区间和上单调递增；在区间上单调递减，且；；；.
所以当时，的值域为；当时，，的值域为.
所以的最大值等于.
【点睛】
关键点点睛：第3问根据在上的单调性，利用；；；以及值域为解题是关键.
33．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.
（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；
（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）时，观光专线的修建总成本最低，理由见解析.
【分析】
（1）先由题意得到，所以，得出观光专线的总长度，再由导数的方法判定其单调性，即可证明结论成立；
（2）设翻新道路的单位成本为，总成本为，由（1），根据题中条件，得到，，对其求导，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意，，所以，
又，
所以观光专线的总长度，
因为当时，，
所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.
（2）设翻新道路的单位成本为，总成本为，
由题意可得，，，
，令，得，
因为，所以，
当时，，当时，.
所以，当时，最小.
故当时，观光专线的修建总成本最低.
【点睛】
思路点睛：
导数的方法求函数最值的一般思路：
（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；
（2）由函数在给定区间的单调性，即可求出最值.
34．已知函数是自然对数的底数，是的导函数．
（1）若，求证：在单调递增；
（2）证明：有唯一的极小值点（记为），且．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）函数求导，记，函数求导，二次求导，分析函数的单调性，即可得证；（2）当，利用零点存在性定理得到在有唯一的零点．设有唯一的零点，记为，分析函数单调性得到是唯一的极小值点，由单调性知，，即可得出结论.
【详解】
（1），
记，
则，，
因为，
所以，
所以在单调递增，
，
当时，，
所以在单调递增，
（2）当时，在单调递增，
又，，
所以函数在有唯一的零点．
当时，，，
故，使得，
且时，，单调递减，
时，，单调递增，
又，，
所以函数在有唯一的零点．
综上所述，在有唯一的零点．
当时，，
又有唯一的零点，记为，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以是唯一的极小值点，
即且满足，
由单调性知，
另一方面，，
记，则，
所以单调递减，
又因为，
所以，
综上所述， ．
【点睛】
方法点睛：究函数的单调性和极值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和③写出单调区间，并判断极值点.
35．已知函数，，，且.
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；
（3）设，为的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）调递增区间是，；单调递减区间是，；（3）.
【分析】
（1）先求导函数，再由函数在处取得极值，得，代入求解参数，，
（2）由（1）可得，再求出函数的导函数，利用令和求解函数的单调区间；
（3）将代入化简，再求，然后得，令其为0，得，令，则问题转化为求在区间上的值域，利用导数求解．
【详解】
解：（1）函数的定义域为.
，由题知
即解得，，
所以函数.
（2）
令得或，
令得或.
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是，
（3），
，
由条件存在，使成立，得，对成立，
又
对成立，
化简得，令，则问题转化为求在区间上的值域，
求导得，
令，为二次函数，图象开口向上，△，则，又，
则，在区间上单调递增，值域为，
所以的取值范围是．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．