专题13 利用导数证明或求函数的单调区间(原卷版)

专题13 利用导数证明或求函数的单调区间

【知识总结】

1．函数的导数与单调性的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。

【例题讲解】

【例1】　(1)已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是(　　)

A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]

C．[1，＋∞) D．(－∞，1]

(2)已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx，其中a∈R。

①若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－y＋3＝0平行，求a的值；

②求函数f(x)的单调区间。

【变式训练】　已知函数f(x)＝lnx＋，其中常数k>0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性。

【例题训练】

一、多选题

1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．设函数的导函数为，则（    ）

A． B．是的极值点

C．存在零点 D．在单调递增

3．已知函数，，则下列结论正确的有（    ）

A．在区间上单调递减

B．若，则

C．在区间上的值域为

D．若函数，且，在上单调递减

4．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A．曲线在处的切线方程为

B．恰有2个零点

C．既有最大值，又有最小值

D．若且，则

5．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，在单调递增

B．当时，在处的切线为轴

C．当时，在存在唯一极小值点，且

D．对任意，在一定存在零点

二、单选题

6．已知定义域为R的函数的图象连续不断，且，，当时，，若，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．函数的图象大致是（    ）

A． B．C． D．

8．设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，则其单调增区间是（    ）

A． B． C． D．

11．某数学兴趣小组对形如的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是（    ）

A．函数的图象过点(2，1)

B．函数在x＝0处有极值

C．函数的单调递减区间为[0，2]

D．函数的图象关于点(1，0)对称

12．函数的图象大致是（    ）

A． B．
 

C． D．
 

13．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）

A．

B．

C．

D．

14．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：

①-3是函数y=f(x)的极值点；

②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；

③-1是函数y=f(x)的最小值点；

④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.

以上正确命题的序号是（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2）＝1，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞1，则不等式的解集为（    ）

A．(-∞，2)∪(2，+∞) B．(-∞，2)∪(0，2)

C．(-2，0)∪(2，+∞) D．(-2，0)∪(0，2)

17．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

18．若定义在上的函数满足，且当时，，则满足的值（    ）

A．恒小于0 B．恒等于0 C．恒大于0 D．无法判断

19．下列区间是函数的单调递减区间的是（    ）

A． B． C． D．

20．已知为偶函数，且，令，若时，，关于的不等式的解集为（    ）

A．或 B．

C． D．或

21．已知，则函数的单调减区间为（    ）

A． B． C． D．

22．若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

23．已知f(x)是定义在R上的连续函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)-f(-x)+4x=0.若当x>0时，f′(x)>-2，则不等式f(x-2)-f(x)>4的解集为（    ）

A．(-∞，-1) B．(-∞，1) C．(-1，+∞) D．(1，+∞)

24．已知函数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

三、解答题

25．函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒成立，求整数的最大值.

26．函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当，时，证明：.

27．函数.

（1）若，求的单调性；

（2）当时，若函数有两个零点，求证：.

28．设为实数，已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.

29．已知函数.

（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.

30．设函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若时，求的取值范围.

31．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）在平面直角坐标系中，直线与曲线交于，两点，设点的横坐标为，的面积为.

（i）求证：；

（ii）当取得最小值时，求的值.

32．已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若的定义域为时，值域为，求的最大值.

33．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.

（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.

34．已知函数是自然对数的底数，是的导函数．

（1）若，求证：在单调递增；

（2）证明：有唯一的极小值点（记为），且．

35．已知函数，，，且.

（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，求函数的单调区间；

（3）设，为的导函数.若存在，使成立，求的取值范围.